3.3抛物线 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 3.3抛物线 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-03 21:51:12 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 3.3抛物线 同步练习
一、单选题
1．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则（ ）
A． B． C．3 D．9
2．过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段中点的横坐标为3，则等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①平面内到定点（1，0）和定直线：的距离之比为的点的轨迹方程是；
②点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则的最小值是6；
③平面内到两定点距离之比等于常数（）的点的轨迹是圆；
④若动点满足，则动点的轨迹是双曲线；
⑤若过点的直线交椭圆于不同的两点，，且是的中点，则直线的方程是．
其中真命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上.以为圆心的圆与准线相切于点，的纵坐标为，是圆与轴不同于的另一个交点，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．已知抛物线，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A B两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB.中点，且，则|AB|=（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线（是正常数）上有两点，，焦点，
甲：
乙：
丙：.
丁：以上是“直线经过焦点”的充要条件有几个（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如图是抛物线形拱桥，当水面在n时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为（ ）
A． B． C． D．
8．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为.设，与相交于点.若，且的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知抛物线的准线与圆只有一个公共点，设是抛物线上一点，为抛物线的焦点，若（为坐标原点），则点的坐标是（ ）
A．或 B．或
C． D．
10．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
11．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离之和的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
12．若抛物线上一点到其焦点的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）.
A． B．
C． D．
14．焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
15．已知抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点，且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______________.
17．已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝________.
18．已知抛物线的焦点为，准线为，：过点且与相切，则______.
三、解答题
19．已知椭圆，且椭圆C上恰有三点在集合中.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点O为坐标原点，直线AB与椭圆交于A、B两点，且满足，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值.如果是，请求出定值：如果不是，请明说理由.
（3）在（2）的条件下，求面积的最大值.
20．设抛物线的焦点为，点到抛物线准线的距离为，若椭圆的右焦点也为，离心率为.
（1）求抛物线方程和椭圆方程；
（2）若不经过的直线与抛物线交于两点，且（为坐标原点），直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.
21．已知抛物线C：x2= 2py经过点（2， 1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y= 1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
22．已知曲线上每一点到直线：的距离比它到点的距离大1．
（1）求曲线的方程；
（2）若曲线上存在不同的两点和关于直线：对称，求线段中点的坐标．
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．B
由，可得，结合抛物线的定义和三角形的性质，求得直线的斜率，进而得到的方程，将其与抛物线的方程联立，求得交点的横坐标，再利用抛物线的定义，即可求解.
【详解】
由题意，抛物线的焦点为，
因为，可得,
如图所示，过点作直线于点，则，
所以在直角中，，所以，
所以直线的方程为，
联立，整理得，解得或，
由抛物线的定义可知.
故选：B.
本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，以及平面向量的线性运算等知识的综合应用，其中解答中熟练运用抛物线的定义是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
2．D
根据抛物线方程得它的准线为，从而得到线段中点到准线的距离等于4．过、分别作、与垂直，垂足分别为、，根据梯形中位线定理算出，结合抛物线的定义即可算出的长．
【详解】
解：抛物线方程为，抛物线的焦点为，准线为
设线段的中点为，则到准线的距离为：，
过、分别作、与垂直，垂足分别为、，
根据梯形中位线定理，可得，
再由抛物线的定义知：，，
．
故选：D.
3．B
对于①：设动点，直接求出P的轨迹方程即可验证；
对于②：利用几何法求出的最小值即可验证；
对于③：当时，平面内到两定点距离之比等于常数1的点的轨迹是直线，即可验证；
对于④：利用双曲线的定义，进行判断；
对于⑤：用“点差法”求出直线方程进行验证即可.
【详解】
对于①：设动点，由题意可得：，即，整理化简得：，即求出的轨迹方程为：.故①错误；
对于②：设到抛物线的准线的距离为d，则，由抛物线的定义得，,所以，所以，如图示，当P运动到Q点时，P、A、F三点共线，最小，此时，故②正确；
对于③：当时，平面内到两定点距离之比等于常数1的点的轨迹是直线，故③错误；
对于④：“若动点满足，则动点的轨迹是双曲线”显然不正确，因为不满足双曲线的定义，故④不正确；
对于⑤：当直线的斜率不存在时，直线l：x=1，的中点为（1,0），不符合题意；
设直线的斜率为k，设，则.
因为在椭圆上，所以，两式相减得：，所以
因为是的中点，所以，所以，
所以直线的方程是.故⑤正确.
故选：B
4．D
根据，求得，从而结合抛物线定义求得，从而求得，解得p的值.
【详解】
∵，
∴，结合抛物线定义知，
∴，
作，则N为EF的中点，
∴，
∴，故
故选：D
5．D
分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，由抛物线定义知，，又F为PB.中点，求得，从而根据求得，，，进而求得.
【详解】
如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，
由抛物线定义知，，又F为PB.中点，
则，，
则，，，
则
故选：D
6．B
先证明必要性：设过抛物线：的焦点的直线为：，代入抛物线方程得：，计算、、、即可判断甲、乙、丙、丁都是必要条件，再设直线的方程为：，代入抛物线方程得：，由韦达定理验证四个结论成立时，实数的值，即可判断充分性，进而可得正确答案.
【详解】
必要性：设过抛物线：的焦点的直线为：，
代入抛物线方程得：；
由直线上两点，，
则有，
，
，
由
＝，
故：甲、乙、丙、丁都是必要条件，
充分性：设直线方程为：，则直线交轴于点，
抛物线焦点将直线的方程与抛物线方程得：，
由直线上两点，，
对于甲：
若
，
可得，直线不一定经过焦点.所以甲条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；
对于乙：若，则，直线经过焦点，所以乙条件是“直线经过焦点”的充要条件；
对于丙：，可得或，直线不一定经过焦点，所以丙条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；
对于丁：
可得，直线不一定经过焦点.所以丁条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；
综上，只有乙正确，正确的结论有1个.
故选：B
结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论
设是过抛物线的焦点的弦，若，，则：
（1），；
（2）若点在第一象限，点在第四象限，则，，
弦长，（为直线的倾斜角）；
（3）；
（4）以为直径的圆与准线相切；
（5）以或为直径的圆与轴相切.
7．D
由题建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件即求.
【详解】
建立如图所示的直角坐标系：
设抛物线方程为，
由题意知：在抛物线上，
即，
解得：，
，
当水位下降1米后，即将代入，
即，解得：，
∴水面宽为米.
故选：D.
8．D
如图所示，．由于轴，，，可得，．利用抛物线的定义可得，代入可取，再利用即可得出．
【详解】
解：如图所示，，．
所以．
轴，，，所以四边形为平行四边形，
，．
，解得，代入可取，
，
解得．
故选：．
9．B
先求出抛物线的焦点，根据抛物线的方程设，则，，再由，可求得的值，即可得答案.
【详解】
解：抛物线的准线方程为．
方程可化为．
由题意，知圆心到准线的距离，解得，
所以抛物线的方程为，焦点为．
设，则，，
所以，解得，
所以点的坐标为或．
故选B．
10．B
由抛物线的标准方程及性质，直接求解.
【详解】
由抛物线方程可知，
故准线方程为：.
故选：B.
11．D
先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．
【详解】
依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，A（0，-1）．
则F（1，0），
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，
则点P到点A（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，
d=|PF|+|PA|≥|AF|=．
故答案为：
本题考查抛物线的定义，考查求距离和，解题的关键是点P到点（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和转化为点P到点（0，-1）的距离与P到焦点F的距离之和.
12．B
直接利用抛物线的定义即可求解.
【详解】
若抛物线的准线方程：，
由抛物线的定义得：，
解得：.
故选：B.
抛物线的焦半径公式：.
13．C
根据抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合可求得的值，可得出双曲线的标准方程，进而可求得该双曲线的渐近线方程.
【详解】
抛物线的焦点，则双曲线的一个焦点为，
则，且该双曲线的焦点在轴上，，解得，
所以，双曲线的标准方程为，
该双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
14．D
根据抛物线中的几何意义计算可得；
【详解】
解：依题意设抛物线，又焦点到准线的距离为，即，
所以抛物线方程为；
故选：D
15．D
首先根据已知条件求出抛物线方程，然后将点带入，求出，进而根据两点间的距离公式即可求出.
【详解】
由题意设抛物线的方程为，抛物线的准线方程为，由抛物线的性质可得，即，所以抛物线的的方程为，将点带入抛物线的方程可得，所以.
故选：D.
16．
求得抛物线焦点坐标和准线方程，得到圆的圆心和半径，由此求得圆的方程.
【详解】
抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，
所以圆的圆心为，半径为，故圆的标准方程为.
故答案为：
本小题主要考查抛物线性质，考查圆的方程的求法，属于中档题.
17．
过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在△MFK中，可得∠FMK＝45°，即得解
【详解】
如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，
在Rt△NHM中，|NM|＝|NH|，则∠NMH＝45°.
在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝|FK|.
而|FK|＝1.所以|MF|＝.
故答案为：
18．2或6
代入圆方程中得到一方程，圆心到的距离等于半径得另一方程，解方程组即可.
【详解】
解：在上
所以，即（1），
和与相切，（2），
由（1）（2）得，所以或
故答案为：2或6.
考查抛物线的性质以及直线和圆的相切的性质，基础题.
19．（1）（2）点O到直线AB的距离为定值（3）
（1）利用椭圆的对称性得椭圆必过和，结合椭圆过点，求得的值，从而得到椭圆的方程；
（2）设，，对直线的斜率进行讨论，当斜率存在时设为，
由得，代入点到直线的距离公式可得答案；
（3）将弦表示成关于的函数，利用基本不等式求得弦的最大值，再代入三角形的面积公式，求得三角形面积的最大值.
【详解】
（1）和关于原点对称，故由题意知，椭圆C必过此两点
，又当椭圆过点时，，∴，
此时满足，符合题意.
所以椭圆.
又当椭圆过点时，，∴，
此时，不符合题意.
综上：椭圆.
（2）设，，若斜率存在，则设直线，
由，得，
，
由知，
，
代入得，
又原点到直线AB的距离，
且当AB的斜率不存在时，，可得，依然成立.
所以点O到直线AB的距离为定值.
（3）由（2）知，
由（2）知，，
；
因为，当且仅当，即时等号成立.
所以；
易知当AB斜率不存在时，，所以，
综上得的面积的最大值为.
本题考查椭圆的对称性、椭圆方程的求解、直线与椭圆位置关系、三角形面积最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法思想的应用，即引入坐标或变量，将所求问题用坐标或变量进行表示，再利用函数或基本不等式求最值.
20．（1）抛物线方程为，椭圆方程为；（2）.
（1）由点到抛物线准线的距离为可得，进而求出，再根据离心率求出，即可求出抛物线方程和椭圆方程；
（2）设直线方程为：，联立抛物线方程，利用可求出，再联立直线与椭圆，即可求出弦长表示出面积，即可求出最值.
【详解】
（1）由已知得，，，
所以抛物线方程为，椭圆方程为.
（2）设直线方程为：，
由消去得，，
设，则
因为
所以或（舍去），所以直线方程为：.
由消去得，.
设，则
所以
.
令，则，
所以，
当且仅当时，即时，取最大值.
本题考查抛物线方程和椭圆方程的求法，考查三角形面积的最值问题，属于较难题.
21．(Ⅰ) ，；
(Ⅱ)见解析.
(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；
(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论.
【详解】
(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，
故抛物线方程为：，其准线方程为：.
(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，
设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.
故：.
设，则，
直线的方程为，与联立可得：，同理可得，
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，
且：，，
则圆的方程为：，
令整理可得：，解得：，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22．（1）；（2）.
(1)由题意结合抛物线的定义可得轨迹方程.
(2) 设，，线段的中点的坐标为，由对称可求出直线的斜率，则可设，与抛物线方程进行联立，结合韦达定理即可求出，结合在直线上即可求出横坐标.
【详解】
解：（1）由题意可知，曲线上每一点到直线的距离等于该点到点的距离，所以曲线是顶点在原点，轴为对称轴，为焦点的抛物线，
所以曲线的轨迹方程为．
（2）设，，线段的中点的坐标为．
因为点和关于直线对称，所以直线垂直平分线段，则直线的斜率为．
设其方程为，由，消去，整理得．
由题意，，从而①，所以，
所以．又在直线上，所以，则点坐标为，此时，满足①式．故线段的中点的坐标．
关键点睛：
本题第二问的关键是将点关于直线对称转化为点的连线被直线垂直平分，求出过两点直线的斜率，设出方程后和抛物线联立，由韦达定理和线段中点在已知直线上即可求出中点的坐标.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则（ ）
A． B． C．3 D．9
2．过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段中点的横坐标为3，则等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①平面内到定点（1，0）和定直线：的距离之比为的点的轨迹方程是；
②点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则的最小值是6；
③平面内到两定点距离之比等于常数（）的点的轨迹是圆；
④若动点满足，则动点的轨迹是双曲线；
⑤若过点的直线交椭圆于不同的两点，，且是的中点，则直线的方程是．
其中真命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上.以为圆心的圆与准线相切于点，的纵坐标为，是圆与轴不同于的另一个交点，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．已知抛物线，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A B两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB.中点，且，则|AB|=（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线（是正常数）上有两点，，焦点，
甲：
乙：
丙：.
丁：以上是“直线经过焦点”的充要条件有几个（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如图是抛物线形拱桥，当水面在n时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为（ ）
A． B． C． D．
8．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为.设，与相交于点.若，且的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知抛物线的准线与圆只有一个公共点，设是抛物线上一点，为抛物线的焦点，若（为坐标原点），则点的坐标是（ ）
A．或 B．或
C． D．
10．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
11．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离之和的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
12．若抛物线上一点到其焦点的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）.
A． B．
C． D．
14．焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
15．已知抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点，且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______________.
17．已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝________.
18．已知抛物线的焦点为，准线为，：过点且与相切，则______.
三、解答题
19．已知椭圆，且椭圆C上恰有三点在集合中.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点O为坐标原点，直线AB与椭圆交于A、B两点，且满足，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值.如果是，请求出定值：如果不是，请明说理由.
（3）在（2）的条件下，求面积的最大值.
20．设抛物线的焦点为，点到抛物线准线的距离为，若椭圆的右焦点也为，离心率为.
（1）求抛物线方程和椭圆方程；
（2）若不经过的直线与抛物线交于两点，且（为坐标原点），直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.
21．已知抛物线C：x2= 2py经过点（2， 1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y= 1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
22．已知曲线上每一点到直线：的距离比它到点的距离大1．
（1）求曲线的方程；
（2）若曲线上存在不同的两点和关于直线：对称，求线段中点的坐标．
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．B
由，可得，结合抛物线的定义和三角形的性质，求得直线的斜率，进而得到的方程，将其与抛物线的方程联立，求得交点的横坐标，再利用抛物线的定义，即可求解.
【详解】
由题意，抛物线的焦点为，
因为，可得,
如图所示，过点作直线于点，则，
所以在直角中，，所以，
所以直线的方程为，
联立，整理得，解得或，
由抛物线的定义可知.
故选：B.
本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，以及平面向量的线性运算等知识的综合应用，其中解答中熟练运用抛物线的定义是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
2．D
根据抛物线方程得它的准线为，从而得到线段中点到准线的距离等于4．过、分别作、与垂直，垂足分别为、，根据梯形中位线定理算出，结合抛物线的定义即可算出的长．
【详解】
解：抛物线方程为，抛物线的焦点为，准线为
设线段的中点为，则到准线的距离为：，
过、分别作、与垂直，垂足分别为、，
根据梯形中位线定理，可得，
再由抛物线的定义知：，，
．
故选：D.
3．B
对于①：设动点，直接求出P的轨迹方程即可验证；
对于②：利用几何法求出的最小值即可验证；
对于③：当时，平面内到两定点距离之比等于常数1的点的轨迹是直线，即可验证；
对于④：利用双曲线的定义，进行判断；
对于⑤：用“点差法”求出直线方程进行验证即可.
【详解】
对于①：设动点，由题意可得：，即，整理化简得：，即求出的轨迹方程为：.故①错误；
对于②：设到抛物线的准线的距离为d，则，由抛物线的定义得，,所以，所以，如图示，当P运动到Q点时，P、A、F三点共线，最小，此时，故②正确；
对于③：当时，平面内到两定点距离之比等于常数1的点的轨迹是直线，故③错误；
对于④：“若动点满足，则动点的轨迹是双曲线”显然不正确，因为不满足双曲线的定义，故④不正确；
对于⑤：当直线的斜率不存在时，直线l：x=1，的中点为（1,0），不符合题意；
设直线的斜率为k，设，则.
因为在椭圆上，所以，两式相减得：，所以
因为是的中点，所以，所以，
所以直线的方程是.故⑤正确.
故选：B
4．D
根据，求得，从而结合抛物线定义求得，从而求得，解得p的值.
【详解】
∵，
∴，结合抛物线定义知，
∴，
作，则N为EF的中点，
∴，
∴，故
故选：D
5．D
分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，由抛物线定义知，，又F为PB.中点，求得，从而根据求得，，，进而求得.
【详解】
如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，
由抛物线定义知，，又F为PB.中点，
则，，
则，，，
则
故选：D
6．B
先证明必要性：设过抛物线：的焦点的直线为：，代入抛物线方程得：，计算、、、即可判断甲、乙、丙、丁都是必要条件，再设直线的方程为：，代入抛物线方程得：，由韦达定理验证四个结论成立时，实数的值，即可判断充分性，进而可得正确答案.
【详解】
必要性：设过抛物线：的焦点的直线为：，
代入抛物线方程得：；
由直线上两点，，
则有，
，
，
由
＝，
故：甲、乙、丙、丁都是必要条件，
充分性：设直线方程为：，则直线交轴于点，
抛物线焦点将直线的方程与抛物线方程得：，
由直线上两点，，
对于甲：
若
，
可得，直线不一定经过焦点.所以甲条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；
对于乙：若，则，直线经过焦点，所以乙条件是“直线经过焦点”的充要条件；
对于丙：，可得或，直线不一定经过焦点，所以丙条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；
对于丁：
可得，直线不一定经过焦点.所以丁条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；
综上，只有乙正确，正确的结论有1个.
故选：B
结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论
设是过抛物线的焦点的弦，若，，则：
（1），；
（2）若点在第一象限，点在第四象限，则，，
弦长，（为直线的倾斜角）；
（3）；
（4）以为直径的圆与准线相切；
（5）以或为直径的圆与轴相切.
7．D
由题建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件即求.
【详解】
建立如图所示的直角坐标系：
设抛物线方程为，
由题意知：在抛物线上，
即，
解得：，
，
当水位下降1米后，即将代入，
即，解得：，
∴水面宽为米.
故选：D.
8．D
如图所示，．由于轴，，，可得，．利用抛物线的定义可得，代入可取，再利用即可得出．
【详解】
解：如图所示，，．
所以．
轴，，，所以四边形为平行四边形，
，．
，解得，代入可取，
，
解得．
故选：．
9．B
先求出抛物线的焦点，根据抛物线的方程设，则，，再由，可求得的值，即可得答案.
【详解】
解：抛物线的准线方程为．
方程可化为．
由题意，知圆心到准线的距离，解得，
所以抛物线的方程为，焦点为．
设，则，，
所以，解得，
所以点的坐标为或．
故选B．
10．B
由抛物线的标准方程及性质，直接求解.
【详解】
由抛物线方程可知，
故准线方程为：.
故选：B.
11．D
先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．
【详解】
依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，A（0，-1）．
则F（1，0），
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，
则点P到点A（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，
d=|PF|+|PA|≥|AF|=．
故答案为：
本题考查抛物线的定义，考查求距离和，解题的关键是点P到点（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和转化为点P到点（0，-1）的距离与P到焦点F的距离之和.
12．B
直接利用抛物线的定义即可求解.
【详解】
若抛物线的准线方程：，
由抛物线的定义得：，
解得：.
故选：B.
抛物线的焦半径公式：.
13．C
根据抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合可求得的值，可得出双曲线的标准方程，进而可求得该双曲线的渐近线方程.
【详解】
抛物线的焦点，则双曲线的一个焦点为，
则，且该双曲线的焦点在轴上，，解得，
所以，双曲线的标准方程为，
该双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
14．D
根据抛物线中的几何意义计算可得；
【详解】
解：依题意设抛物线，又焦点到准线的距离为，即，
所以抛物线方程为；
故选：D
15．D
首先根据已知条件求出抛物线方程，然后将点带入，求出，进而根据两点间的距离公式即可求出.
【详解】
由题意设抛物线的方程为，抛物线的准线方程为，由抛物线的性质可得，即，所以抛物线的的方程为，将点带入抛物线的方程可得，所以.
故选：D.
16．
求得抛物线焦点坐标和准线方程，得到圆的圆心和半径，由此求得圆的方程.
【详解】
抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，
所以圆的圆心为，半径为，故圆的标准方程为.
故答案为：
本小题主要考查抛物线性质，考查圆的方程的求法，属于中档题.
17．
过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在△MFK中，可得∠FMK＝45°，即得解
【详解】
如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，
在Rt△NHM中，|NM|＝|NH|，则∠NMH＝45°.
在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝|FK|.
而|FK|＝1.所以|MF|＝.
故答案为：
18．2或6
代入圆方程中得到一方程，圆心到的距离等于半径得另一方程，解方程组即可.
【详解】
解：在上
所以，即（1），
和与相切，（2），
由（1）（2）得，所以或
故答案为：2或6.
考查抛物线的性质以及直线和圆的相切的性质，基础题.
19．（1）（2）点O到直线AB的距离为定值（3）
（1）利用椭圆的对称性得椭圆必过和，结合椭圆过点，求得的值，从而得到椭圆的方程；
（2）设，，对直线的斜率进行讨论，当斜率存在时设为，
由得，代入点到直线的距离公式可得答案；
（3）将弦表示成关于的函数，利用基本不等式求得弦的最大值，再代入三角形的面积公式，求得三角形面积的最大值.
【详解】
（1）和关于原点对称，故由题意知，椭圆C必过此两点
，又当椭圆过点时，，∴，
此时满足，符合题意.
所以椭圆.
又当椭圆过点时，，∴，
此时，不符合题意.
综上：椭圆.
（2）设，，若斜率存在，则设直线，
由，得，
，
由知，
，
代入得，
又原点到直线AB的距离，
且当AB的斜率不存在时，，可得，依然成立.
所以点O到直线AB的距离为定值.
（3）由（2）知，
由（2）知，，
；
因为，当且仅当，即时等号成立.
所以；
易知当AB斜率不存在时，，所以，
综上得的面积的最大值为.
本题考查椭圆的对称性、椭圆方程的求解、直线与椭圆位置关系、三角形面积最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法思想的应用，即引入坐标或变量，将所求问题用坐标或变量进行表示，再利用函数或基本不等式求最值.
20．（1）抛物线方程为，椭圆方程为；（2）.
（1）由点到抛物线准线的距离为可得，进而求出，再根据离心率求出，即可求出抛物线方程和椭圆方程；
（2）设直线方程为：，联立抛物线方程，利用可求出，再联立直线与椭圆，即可求出弦长表示出面积，即可求出最值.
【详解】
（1）由已知得，，，
所以抛物线方程为，椭圆方程为.
（2）设直线方程为：，
由消去得，，
设，则
因为
所以或（舍去），所以直线方程为：.
由消去得，.
设，则
所以
.
令，则，
所以，
当且仅当时，即时，取最大值.
本题考查抛物线方程和椭圆方程的求法，考查三角形面积的最值问题，属于较难题.
21．(Ⅰ) ，；
(Ⅱ)见解析.
(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；
(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论.
【详解】
(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，
故抛物线方程为：，其准线方程为：.
(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，
设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.
故：.
设，则，
直线的方程为，与联立可得：，同理可得，
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，
且：，，
则圆的方程为：，
令整理可得：，解得：，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22．（1）；（2）.
(1)由题意结合抛物线的定义可得轨迹方程.
(2) 设，，线段的中点的坐标为，由对称可求出直线的斜率，则可设，与抛物线方程进行联立，结合韦达定理即可求出，结合在直线上即可求出横坐标.
【详解】
解：（1）由题意可知，曲线上每一点到直线的距离等于该点到点的距离，所以曲线是顶点在原点，轴为对称轴，为焦点的抛物线，
所以曲线的轨迹方程为．
（2）设，，线段的中点的坐标为．
因为点和关于直线对称，所以直线垂直平分线段，则直线的斜率为．
设其方程为，由，消去，整理得．
由题意，，从而①，所以，
所以．又在直线上，所以，则点坐标为，此时，满足①式．故线段的中点的坐标．
关键点睛：
本题第二问的关键是将点关于直线对称转化为点的连线被直线垂直平分，求出过两点直线的斜率，设出方程后和抛物线联立，由韦达定理和线段中点在已知直线上即可求出中点的坐标.
答案第1页，共2页
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