第二章直线和圆的方程 单元练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 第二章　直线和圆的方程
一、单选题
1．已知是实常数，若方程表示的曲线是圆，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．若两直线与平行，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．0
3．已知点与关于直线对称，则的值分别为（ ）
A．1，3 B．， C．-2，0 D．，
4．经过点，且方向向量为的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．过点作圆的最短弦，延长该弦与轴、轴分别交于两点，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为（ ）
A． B．－ C．3 D．－3
7．若圆与圆外切，则（ ）
A． B． C． D．
8．直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．如果复数z满足，那么的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
10．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
11．直线:与轴交于点，把绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知直线：，：互相垂直，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若直线的倾斜角是，则实数是_______________.
14．已知圆，直线，若直线l上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得，则m的取值范围是____________．
15．直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距2倍的直线方程：___________.
16．过点作一条直线截圆所得弦长为，则直线的方程是___________.
三、解答题
17．在中，已知，，.
（1）求边所在的直线方程；
（2）求的面积.
18．如图，等腰直角的直角顶点，斜边所在的直线方程为．
（1）求的面积；
（2）求斜边AB中点D的坐标．
19．已知圆C过点，且与圆相切于点.
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知点M在直线上且位于第一象限，若过点M且在两坐标轴上截距相等的直线l与圆C相切，求切线l的方程.
20．已知点.
（1）求过点且与原点的距离为2的直线的方程.
（2）是否存在过点且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.
21．如图，公路和公路在点P处交汇，且，点A处有一所学校，，一辆拖拉机从P沿公路前行，假设拖拉机行驶时周围100米以内会收到噪声影响．
（1）该所学校是否会受到噪声影响？请说明理由；
（2）已知拖拉机的速度为每小时18千米，如果受影响，影响学校的时间为多少？
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．B
由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数的不等式，解出即可.
【详解】
由于方程表示的曲线为圆，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.
2．A
根据两直线平行的充要条件可得，即可求的值.
【详解】
由题意知：，整理得，
∴，
故选：A
3．B
点关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段的中点在直线上，列式求解.
【详解】
，若点与关于直线对称，
则直线与直线垂直，直线的斜率是，
所以，得.
线段的中点在直线上，则，得
故选:B
4．A
由直线方向向量可得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.
【详解】
直线的方向向量为，直线的斜率，
直线的方程为，即.
故选：A.
5．B
先利用圆的性质确定最短弦所在直线的方程，再求得两点坐标，计算面积即得结果.
【详解】
依题意，点，由圆的性质可知，过点且垂直PM的直线l截得的弦长最短.
而，所以直线l的斜率为1，即方程为：，即.
所以直线l与轴、轴分别交于，
故底边，高，即面积为.
故选：B.
6．B
根据直线l与直线y＝1，x＝7分别交于P，Q，设P，Q的坐标分别为：，然后由线段PQ的中点坐标为(1，－1)，利用中点坐标公式求得a，b，再利用斜率公式求解.
【详解】
因为直线l与直线y＝1，x＝7分别交于P，Q，
所以P，Q的坐标分别为：，
因为线段PQ的中点坐标为(1，－1)，
所以，解得 ，
所以直线l的斜率为，
故选：B
本题主要考查直线的交点、中点坐标公式以及斜率公式的应用，属于基础题.
7．C
求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，圆与圆
可得，，
因为两圆相外切，可得，解得．
故选：C.
8．D
根据直线过两点，求出直线的斜率，再根据斜率求出倾斜角的取值范围.
【详解】
解：直线的斜率为，因为，所以，所以直线的倾斜角的取值范围是.
故选：D.
本题考查了利用两点求直线的斜率以及倾斜角的应用问题，属于基础题.
9．A
复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．表示圆上的点与点的距离，求出即可得出．
【详解】
复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．
表示圆上的点与点的距离．
．
的最大值是．
故选：A．
本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程表示的圆的半径为2，而不是．
10．D
根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】
设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
11．C
由题知直线l的倾斜角为30°，从而求得旋转后的倾斜角，利用特殊角的两角和与差的余弦公式求得结果.
【详解】
解：设的倾斜角为，则，
，
由题意知，
．
故选：C
12．B
由直线与直线垂直的性质得，再上，，能求出的取值范围.
【详解】
解：∵直线：，：互相垂直，
∴，∴，
∵，，∴.
∴的取值范围为.
故选：B.
本题考查两直线垂直的条件的应用，属于中档题.
13．
根据直线方程得直线斜率，结合倾斜角列方程，解得结果.
【详解】
因为直线的倾斜角是，
所以直线的斜率为
因此
或（舍）
故答案为：
本题考查斜率与倾斜角关系、由直线方程求直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．
由点与圆心距离越近，则 它所作圆的两条切线的夹角越大可得．只要圆心到直线的距离不大于半径的倍即可．
【详解】
由题意，而是锐角，所以越小，越大．
若，则，
由题意，解得．
故答案为：．
15．或
分类讨论，由直线过原点和不过原点分类讨论求解．
【详解】
直线过原点时，设直线方程为，则，，方程为，即；
直线不过原点时，设直线方程为，则，，直线方程为，即．
故答案为：或．
16．或
待定系数法设直线，由弦长公式求解
【详解】
可化为
故圆心到直线距离
若直线斜率不存在，方程为，则，满足题意
若直线斜率存在，设其方程为，
，解得，此时直线方程为
故答案为：或
17．（1）；（2）.
（1）由直线方程的两点式可得；
（2）先求直线方程，再求到的距离，最后用面积公式计算即可.
【详解】
（1），，
边所在的直线方程为，即；
（2）设到的距离为，
则，
，
方程为：即：
.
.
18．（1）20（2）
（1）求出直角顶点到斜边的距离，根据等腰直角三角形的边角关系得出斜边长，即可求出结论；
（2）由，可求出直线方程，与直线方程联立，即可求出点坐标.
【详解】
（1）顶点到斜边的距离为.
所以斜边，
故的面积为．
（2）由题意知，，设直线方程为
点代入方程点，
所以直线的方程为，
由，解得，
所以点的坐标为．
本题考查直线的一般式方程与直线垂直间的关系，考查了等腰直角三角形的性质，属于基础题.
19．（1）；（2）或.
（1）先设圆标准方程，再根据条件列出方程，解方程组得结果；
（2）由直线截距的概念，讨论两截距为0时和两截距不为0时，运算可得解.
【详解】
解：（1）设圆C的标准方程为，
圆，
可化为.
因为圆C过点，，
所以，，
又圆C与圆D相切于点，
所以C，D，E三点共线，则，
解得，半径.
所以圆C的标准方程为.
（2）设，
当直线l过原点时，切线方程为，
则，因为，所以；
当直线l不过原点时，切线方程为，
则，因为，所以.
所以切线l的方程为或.
方法点睛：确定圆的方程方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．
20．（1） 或；（2） 不存在这样的直线；理由见解析．
（1）分存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；
（2）过点且与原点的距离最大的直线为过点且与垂直的直线，分析即得解
【详解】
（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意．
②当直线的斜率存在时，设斜率为，
则直线方程为，即．
根据题意，得，解得，
所以直线方程为．
故所求直线方程为或．
（2）不存在．理由如下：
过点且与原点的距离最大的直线为过点且与垂直的直线，
，
而，故不存在这样的直线．
21．（1）会受到影响，理由见解析；（2）24秒．
（1）过点作于，由，，根据直角三角形中对的直角边是斜边的一半，即可求得的长，即可知该所中学是否会受到噪声影响；
（2）以为圆心，为半径作圆，交于点与，由勾股定理，即可求得的长，继而可求得的长，则可求得学校受影响的时间．
【详解】
（1）过点作于，
，，
，
，
该所中学会受到噪声影响；
（2）以为圆心，为半径作圆，交于点与，
则，
在中，，
，，
，
，
，
学校受影响的时间为：（秒．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页