学科：数学 年级：初三 辅导教师：孙老师
圆和圆的位置关系
基本内容及应注意的问题
圆和圆的位置关系的分类，既考虑了数(两圆公共点的个数)，又考虑了形(两圆的相对位置)，两圆的五种位置关系按公共点的个数(0，1，2)可分为三类：
没有公共点相离 外离
内含(包括同心)；
有1个公共点相切 外切
内切；
有2个公共点相交
与点和圆、直线和圆的位置关系相类似，两圆的位置关系(形的关系)与两圆的半径、圆心距的大小(数量关系)有关。
两圆外离d＞R＋r
两圆外切d＝R＋r
两圆相交R－r＜d＜R＋r(R≥r)
两圆内切d＝R－r(R＞r)
两圆内含d＜R－r(R＞r)
这个结论是双向的，“ ”是由两圆位置的关系，得到两圆半径与圆心距之间特定的数量关系，这是两圆位置关系的性质，利用这些性质可以把形的问题转化为数的问题来解决；“ ”是根据两圆半径与圆心距之间的某种数量关系来判定两圆的位置关系，从而把判定形的问题，转向为数的问题来解决。这在解决两圆的位置关系的问题时特别方便。
应当注意的是，判定两圆相交时，必须具备R－r＜d＜R＋r的条件。这是因为只有当d＞R－r时，两圆可能相交、外切或外离；而当d＜R＋r时，两圆可能相交、内切或内含。因此，只有当R－r＜d＜R＋r时才能判定两圆相交。
两圆的五种位置关系中，重点讨论了两圆相交、相切的性质，在解决两圆的相交问题时，如图(1)，常添连心线、公共弦等辅助线，这样，两圆半径、圆心距、公共弦长的一半就集中到了中，可以利用三角形有关知识加以解决。
4、求两圆的内、外公切线长的问题，都是利用直线和圆相切的性质，通过作出过切点的半径，把问题转化为解一个直角三角形。
在图(2)、图(3)中，o1o2＝d，⊙o1半径为R，⊙o2的半径为r，则在中：
图(2)：
图(3)：
当两圆外切时，d＝R＋r，此时
外公切线长＝
当两圆相交、外切、外离时，总有两条外公切线，且这两条外公切线长相等。如果两圆相等，那么两条外公切线平行；如果两圆不等，那么两条外公切线相交，且交点在两圆的连心线上。当两圆相切时，常作两圆的公切线为辅助线。
例题
已知两圆的半径R，r(R≥r)是方程的两个根，两圆的圆心距为d，
若d＝4，试判定两圆的位置关系；
若d＝2，试判定两圆的位置关系；
若两圆相交，试确定d的取值范围；
若两圆相切，求d的值。
解：∵R，r是方程的两根
∴R＋r＝3，R·r＝1
则，
∵d＝4 ∴d＞R＋r，则两圆外离；
∵d＝2 ∴d＜R－r，则两圆内含；
∵两圆相交 ∴R－r＜d＜R＋r，即：＜d＜3
∵两圆相切 ∴d＝R＋r或d＝R－r，即：d＝3或d＝
注意：两圆相切有两种可能(内切或外切)
例2：如图(4)，⊙o1与⊙o2相交于A、B，直线Ao1交⊙o1于C，交⊙o2于D，CB的延长线交⊙o2于E，若CD＝10，DE＝6，求⊙o2的长。
解：连结AB、AE
AC为⊙o1的直径
ABCD内接于⊙o2
AE为⊙o2的直径o2为AE中点
o1为AC中点
在中，
CD＝10，DE＝6
注意：两圆相交时，常添公共弦、连心线等作为辅助线，这些辅助线能把两圆中的角或线段联系起来，起到“桥梁”作用。
例3：
如图(5)，⊙o1与⊙o2相交于A、B，CE切⊙o1于C，交⊙o2于D、E
求证：
分析：因，所以只需证
，联想到两圆相交时常添的辅助线，再运用弦切角定理及圆内接四边形性质，问题易得证。
证：连结AB
CD切⊙o1于C
BEDA内接于⊙o2
注意：如果⊙o1的切线CE与⊙o2也相切于E(D、E重合)，则
成立吗？
例4：如图(6)，⊙o1与⊙o2内切于A，过A作大圆的弦AD、AE分别交小圆于B、C。求证：
分析：要证，只需证，即要证BC∥DE；
证明：过点A作⊙o1与⊙o2的公切线AT，则：
∵ ∴BC∥DE
∴，即：
例5：如图(7)，⊙o1与⊙o2外切于A，BC分别切⊙o1和⊙o2于B、C，CA交⊙o1于D，求证：
证明：过点A作⊙o1、⊙o2的公切线AE交BC于E，连结AB
EB、EA为⊙o1的切线EB＝EA EC＝EB＝EA
同理：EC＝EA
BD为⊙o1的直径
BC为⊙o1的切线
∽
注意：当两圆外切线内切时，公切线是常添的辅助线。
例6：如图(8)，两圆内切于点C，⊙o1的弦AB切⊙o2于E，CE的延长线交⊙o1于点D，求证：
分析：要证
只须证，即要证∽，因两圆内切，所以可过点C作
公切线MN，从而证得：
又因为，从而问题得以解决。
证明：过点C作⊙o1与⊙o2的公切线MN，连结EF、AC，
则有：
又∵AB为⊙o2的切线， ∴
∴
又∵
∴∽ ∴
即：
注：本讲内容较多，例题也比较详细、全面，因此不再单独设立练习题
学科：数学 年级：初三 辅导教师：孙海全
本次我们一起来复习圆.该章是中考中考查知识点最多的一章之一.本章包含的知识的变化、所含定义、定理是其它章节中所不能比的.本章分为三大节:1.圆的有关性质;2.直线和圆的位置关系;3.圆和圆的位置关系。
一、基本知识和需说明的问题:
(一)圆的有关性质,本节中最重要的定理有4个.
1.垂径定理:本定理和它的三个推论说明: 在(1)垂直于弦（不是直径的弦）;(2)平分弦;(3)平分弦所对的弧;(4)过圆心(是半径或是直径)这四个语句中,满足两个就可得到其它两个的结论.如垂直于弦（不是直径的弦）的直径,平分弦且平分弦所对的两条弧。条件是垂直于弦（不是直径的弦）的直径，结论是平分弦、平分弧。再如弦的垂直平分线,经过圆心且平分弦所对的弧。条件是垂直弦,、分弦,结论是过圆心、平分弦.
应用:在圆中,弦的一半、半径、弦心距组成一个直角三角形,利用勾股定理解直角三角形的知识,可计算弦长、半径、弦心距和弓形的高.
2.圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系定理：在同圆和等圆中, 圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中有一组量相等,则其它各组量均相等.这个定理证弧相等、弦相等、圆心角相等、弦心距相等是经常用的.
3.圆周角定理：此定理在证题中不大用,但它的推论,即弧相等所对的圆周角相等；在同圆或等圆中,圆周角相等,弧相等.直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径,都是很重要的.条件中若有直径,通常添加辅助线形成直角.
4.圆内接四边形的性质:略.
(二)直线和圆的位置关系
1.性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.(有了切线,将切点与圆心连结,则半径与切线垂直,所以连结圆心和切点,这条辅助线是常用的.)
2.切线的判定有两种方法.
①若直线与圆有公共点,连圆心和公共点成半径,证明半径与直线垂直即可.
②若直线和圆公共点不确定,过圆心做直线的垂线,证明它是半径(利用定义证)。根据不同的条件,选择不同的添加辅助线的方法是极重要的.
3.三角形的内切圆:内心是内切圆圆心,具有的性质是:到三角形的三边距离相等,还要注意说某点是三角形的内心.
连结三角形的顶点和内心,即是角平分线.
4.切线长定理:自圆外一点引圆的切线，则切线和半径、圆心到该点的连线组成直角三角形,还要注意, A
图形中有射影定理的基本图形.
O D P
B
5.弦切角是与圆有关的第三种角,当条件是切线时,往往找弦切角,看弦切角所对的弧,再找弧所对的圆周角得两角相等.
6.和圆有关的比例线段：理解定理,会用.
(三)圆和圆的位置关系
1.记住5种位置关系的圆心距d与两圆半径之间的相等或不等关系.会利用d与R,r之间的关系确定两圆的位置关系,会利用d,R,r之间的关系确定两圆的位置关系.
2.相交两圆,添加公共弦,通过公式弦将两圆连结起来.
相切两圆,添加公切线,利用两圆的公切线将两圆连结起来.
3.公切线的长的计算
A B
L
O1 O2 R-r
d
外公切线：
两圆半径差R-r,公切线的长L分别是Rt△的两直角边，圆心距d是斜边.
内公切线：
R+r l
d
两圆半径和R+r,内公切线L和圆心距d构成直角三角形.
可围绕这个三角形的三边进行计算.
.
4.弧长公式
扇形面积公式
要求熟练应用公式,如怎样利用圆心角、半径求弧长或扇形面积,怎样利用弧长和圆心角求半径.
二、本次练习:
(一)填空题:
已知OC是半径,AB是弦,AB⊥OC于E,CE=1,AB=10,则OC=______.
AB是弦,OA=20cm,∠AOB=120°,则S△AOB=______.
在⊙O中,弦AB,CD互相垂直于E,AE=2,EB=6,ED=3,EC=4,则⊙O的直径是______.
在⊙O中弦AB,CD互相平行,AB=24cm,CD=10cm,且AB与CD之间的距离是17cm,则⊙O的半径是______cm.
圆的半径是6cm,弦AB=6cm,则劣弧AB的中点到弦AB的中点的距离是______cm.
在⊙O中,半径长为5cm,AB∥CD,AB=6,CD=8,则AB,CD之间的距离是______cm.
圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:6,则四边形的最大角是______度.
在直径为12cm的圆中,两条直径AB,CD互相垂直,弦CE交AB于F,若CF=8cm,则AF的长是______cm.
已知PA切⊙O于点A,PA=4cm,PCD是割线,PC=CD,若CD垂直平分半径OF,则⊙O的半径OF=______. D F
O C
P
A
10.已知CD切⊙O于D,割线CBA交⊙O于B,A,且CBA过O点,切线BE交CD于E点,若DE:EC=1:2,则AC:CD=______.
E D
C
B O
A
11.已知:AB是⊙O的直径,P是AB延长线上一点,PC切⊙O于C,CD⊥AB于D,PB=4,AB=12,sin∠APC=,则CD=______.
12.已知PA,PB分别切⊙O于A,B两点,AC是⊙O的直径,PC交⊙O于D点,∠APB=60°AB=cm,则AC=______cm,PD=______cm.
13.两圆半径分别是4,12,外公切线长是15,两圆的位置关系是______.
14.两圆相交于A,B,外公切线与两圆切于C,D,则∠CAD+∠CBD=______度.
15.两圆半径分别是R,r,(R>r)内公切线互相垂直,则内公切线长是______,圆心距是______.
16.两圆半径长是方程的两根,圆心距是2,则两圆的位置关系是______.
17.如图:PT切⊙O于T,PAB是过圆心O的割线,如果PT=4,PA=2,则cosBPT等于______.
O B
A
P
T
18.已知CD是半圆的直径,AB⊥CD于B,设∠AOB=,则的值是______. A
C O B D
19.正三角形的边长是,则内切圆与外接圆组成的环形面积是______.
20.在Rt△ABC中,∠C=90°,⊙O是△ABC的内切圆,切点是D,E,F.AD交BC交于G,若AC=3,CG=1,则⊙O的半径是______.
C
D E
G
O
A F B
21.已知扇形的圆心角是120°,扇形弧长是20,则扇形=______.
22.边长是的正三角形的边心距是______.
23.已知正六边形的半径是6,则该正六边形的面积是______.
(二)证明题:
已知AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE切⊙O于C,AD⊥CE,垂足是D,
求证:AC平分∠BAD.
B
O
A
E C D
已知AB是⊙O的直径,P是⊙O外一点,PC⊥AB于C,交⊙O于D,PA交⊙O于E,BE交PC于F点
求证:CD2=CF·CP P
E D
F
A O C B
在△ABC中,AB=AC,以AB为直径做⊙O,交BC于D,过D点做⊙O的切线交AC于E,连结BE交⊙O于F
求证: (1)OE⊥AC;
(2)AE·EC=BE·EF A
O
F E
B D C
已知PA是△ABC外接圆珠笔的切线,P是BC延长线上一点,
求证:PB:PC=AB2:AC2.
A P
C
B
已知AB是大圆直径,CE切⊙O于C,BC是小圆直径
求证:(1)DE∥AC;
(2)DE·AC=2CD2; C
(3)DE=36,cosCDE= O’ E
求⊙O的半径. A O D B
已知⊙O1和⊙O2外切于点P,BH切⊙O2于B,
求证:(1)△BCP∽△HAP H
(2)若AP:PB=3:2,且C为 B
HB中点,求HA:BC的值.
O1 O2
A
如图: ⊙O和⊙O1,内切于P,PA,PB交 P
⊙O1于A,B,AB切⊙O于D,AD交⊙O1 1 2
于E,AG切⊙O1于A,AG,AD的延长线交于G, M O N
证明:(1)∠1=∠2; O1 D B
(2)PA·PB=PD·PE; A
(3)PA·PB=PD2+AD·BD; E
(4)AB=2AH; H
(5).
G
如图:AB是⊙O的直径,PB切⊙O B
于B,PA交⊙O于C,∠APB的平分
线分别交BC,AB于点D,E.交⊙O
于点F,∠A=60°且线段AE,BD 的长 F E D P
是方程 C
求证:(1)PA·BD=PB·AE; A
(2)⊙O的直径长为常数;
(3)的值.
三、本期答案
(一)填空题:
1.13 2. 3. 4.13cm 5. 6.1或7cm 7.135°
8. 9. 10. 11. 12. 13.外离
14.180° 15.R+r,(R+r) 16.内切 17. 18.1 19.
20. 21. 22.1 23.54
(二)证明题:
1.略 2.连结AB,BD,由射影定理得CD2=AC·CB,再证△BCF∽△APC.
3.(1)连结OD,则OD⊥DE,△OBD是等腰三角形,∠OBD=∠ODB=∠C,∴OD∥AC,∴OD⊥AC.
(2)由切割线定理得ED2=BE·EF,连结AD,由射影定理得DE2=AE·EC,∴AE·EC=BE·EF.
4.△ACP∽△BAP ∴
5.(1)△ACB和△CDB都Rt△ ∴∠CAD=∠BCD=∠EDB ∴DE∥AC
(2)△ACD∽△CDF ∴.
6.(1)略 (2)设BP=,AP=,由割线定理得: ∵BH=2BC∴2BC2= .由△ABH∽△AHP ∴ ∴
7.(1)(2)(3)略.(4)连结O,E交AB于F ∵∠1=∠2 ∴AE=BE,则O1E⊥AB,O1E平分AB ∴AB=2AF且∠AFE=Rt∠ △AEF≌△AEH AH=AF ∴AB=2AH
(5)∵∠FAE= ∴
8.(1)略.(2)∵AE,BD是方程的根,AE+BD=,∠BED=∠A+∠APE,∠BDE=∠DAP+∠BPE ∴∠BDE=∠BED BD=BE ∴AE+BE= ∴AB= AB是直径.
(3) △ABP是Rt△, ∴ 由(1)题结论 ∴ ∴,
BD=
∴
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从本次起,我们将要学习《圆》,该章就所讲的知识,课文的篇幅,所涉及的知识是整个平面几何的内容,是中考所占分数最多的一章.
一、本次所学内容及内容说明
第一自然段主要说明
①圆的概念:此概念有2种解释
线段OA绕端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转一周,所组成的图形叫圆.
到定点的距离等于定长的点的集合.
②圆心,半径,固定端点O叫圆心,OA的长叫半径.
作圆要两个条件:圆心确定圆的位置,圆心确定圆的大小.
③圆内部分:到定点(圆心)的距离小于定长(半径)的点的集合.
圆外部分:到定点(圆心)的距离大于定长(半径)的点的集合.
要确定一个点在圆上,圆外还是圆内,就要计算端点到圆心的距离,计算出距离与半径比较.若该距离d>r,则点在圆外,d=r,在圆上,d如⊙O的半径r=5cm,圆心O到直线l的距离d=OP=3cm.在l上有P,Q,R三点,且PD=4cm,QD>4cm,RD<4cm,则P,Q,R三点在⊙O的什么位置.
解:连结OP ∵PD=4cm OD=3cm
由勾股定理得:OP=5cm OP=r ∴P在⊙O上
∵QD>4cm OD=3cm 连结OQ
则OQ2=OP2+QD2>25 ∴OQ>5cm ∴Q在⊙O外
用同样方法证得R在⊙O内.
④弦:连结圆上位意两点的线段,
如线段CD
经过圆心的弦叫直径
如AB(直径是圆的最大的弦)
⑤弧:圆上任意两点间的部分,弧若大于半圆叫优弧,小于半圆叫劣弧.
⑥弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫
弓形.弦CD与弧CD及弦CD及优弧CD所有两个弓形.
⑦同心圆:圆心相同,半径不相等的两个圆叫同心圆.
⑧能够重合(或半径相等)的两个圆是等圆.
⑨在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫等弧。
(注意:只要说两弧是等弧,就说明这两段弧在同圆或等圆上)
过一点的圆有无数个,它的圆心是平面上除A外所有点.过两点的圆有无数个,它们的圆心在AB的垂直平分线上.过三点呢?若这三点不在同一直线上,过三点可以做且只可以做一个圆.(但这三点在同一直线上,则不能过三点作圆).
若把三点连结起来,构成三角形,则经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆.
外接圆的圆心叫三角形外心.外心的性质是到三角形各顶点的距离相等.
三角形的外接圆的做法:作三角形两边的中垂线,两条中垂线的交点是圆心,圆心到顶点的距离是半径.
垂径定理:是圆中一个极重要的定理.
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弦.
推论(1):平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,且平分弦所对的两条弦(注意括号内的条件)
(2):弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
(3):平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦且平分弦所对的另一条弧.
此定理和三个推论的内容是平分弦,垂直弦是直径平分弧.在这四个条件中满足两个就可得到其它两个的结论.如垂直于弦是直径得到平分弦.平分弧(垂径定理)平分弦,是直径可得到垂直弦.平分弧(推论1)垂直弦,平分弦可得到这条直径是直径,且平分弦(推论2)
注意:题设是两条,如
∵AB是直径
AB⊥CD于E
∴CE=DE
弧AC=弧DA 弧BC=弧DB
具体做题时,辅助线往往过圆心做弦的垂线段.连结圆心,则半径,弦的一半,圆心到弦的距离形成一个RtΔ,则可用勾股定理,锐角三角函数进行计算或证明.
三、本次练习:
判断题
直径是弦.( )
半圆是弧,但弧不一定是半圆. ( )
到点O的距离等于2cm的点的集合是以O为圆心,2cm为半径的圆. ( )
过三点可以做且只可以做一个圆. ( )
三角形的外心到三角形三边的距离相等. ( )
经过弦的中点的直径垂直于弦,且平分弦所对的两条弧. ( )
经过圆O内一点的所有弦中,以与OP垂直的弦最短. ( )
弦的垂直平分线经过圆心. ( )
⊙O的半径是5,弦AB∥CD,AB=6,CD=8,则两弦间的距离是1. ( )
10.在半径是4的圆中,垂直平分半径的弦长是.( )
11.任意一个三角形一定有一个外接圆且只有一个外接圆. ( )
(二)填空题:
若圆的半径是2cm,一条弦长是,则圆心到该弦的距离是______.
在⊙O中,弦AB为24,圆心到弦的距离为5,则⊙O的半径是______cm.
若AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,AE=9cm,BE=16cm,则CD=______cm.
若⊙O的半径是13cm,弦AB=24cm,弦CD=10cm,AB∥CD,则弦AB与CD之间的距离是______cm.
⊙O的半径是6,弦AB的长是6,则弧AB的中点到AB的中点的距离是______.
如图:⊙O的直径AB⊥CD于P,
AP=CD=4cm,则OP=______cm.
已知⊙O中,AB是弦,CD是直径,且CD⊥AB于M.⊙O的半径是15cm,OM:OC=3:5,则AB=______.
已知O到直线l的距离OD是cm,l上一点P,PD=cm.⊙O的直径是20,则P在⊙O______.
(三)证明题:
如图:AB是⊙O的直径,CD是弦
CE⊥CD于C,DF⊥CD于D
求证:AE=BF
⊙O和⊙O1相交于A,B.过A做CAD∥OO1
求证:CD=2OO1
参考答案
判断题:
1.√ 2.√ 3.√ 4.× 5.× 6.×
7.√ 8.√ 9.× 10.× 11.√
填空题:
2.13 3.24 4.7或17 5.
6. 7.24cm 8.⊙O上
1.提示:过O做OM⊥CD于M
2.过O做OE⊥CD于E,过O1做O1F⊥CD于F.
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直线和圆的位置关系（一）
一、学习目标：
1．理解直线和圆相交，相切，相离的概念，掌握直线和圆的位置关系的判定和性质。
掌握切线的判定和性质，并能应用它们证明有关问题。
会用尺规作三角形的内切圆，掌握三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念。
基本内容及应注意的问题：
在切线的定义中，要准确理解“直线和圆有唯一公共点”的含义，它是指有一个并且只有一个公共点，与“直线和圆有一个公共点”的含义不同，避免出现“直线和圆有一个公共点时叫直线和圆相切”的错误。
由直线和圆的三种位置关系可以直观的得到圆心到直线的距离与圆半径的数量关系：
直线和⊙Ｏ相交(＜，
直线和⊙Ｏ相切(＝，
直线和⊙Ｏ相离(＞；
这三个结论，既可以作为直线和圆的各种位置关系的判定，又可作为性质。
直线和圆的位置关系既可以用它们的交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离与圆的半径的大小来区分，两种方式是一致的。
对于切线的判定定理，必须分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则便不是圆的切线。
切线的性质有一个定理和两个推论，其中定理用途较广泛，必须熟练掌握。实际上，(1) 垂直于切线；(2) 过切点；(3) 过圆心。这三个条件中，知道任意两个，就可以得出第三个。
在运用切线的判定和性质定理时，常常需要添加辅助线，一般规律为：
已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置一般是确定的。在写已知条件时，应交待直线和圆相切于哪一点，辅助线常常是连结圆心和切点，得到半径，从而得出“切线垂直于半径”的结论。
要证明某直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上某一点，则可以作出这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，常常过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径。
判定一条直线是圆的切线有三种方法：
和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线；
和圆心距离等于该圆半径的直线是圆的切线；
过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
其中(1) 是切线的定义；(2) 和(3) 本质相同，表达形式不同。解题时，可根据题目的特点选择适当的判定方法。
切线的性质主要有如下五个：
切线和圆有且只有一个公共点；
切线和圆心的距离等于该圆的半径；
圆的切线垂直于过切点的半径；
经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
其中，(1) 是切线的定义；(2) 是判定方法的逆命题；(3)、(4)、(5)即为课本上的性质定理及其推论。
任意三角形都有且只有一个内切圆（因为圆心是唯一确定的，半径只有一个定长），而任意多边形不一定有内切圆。
三角形的内心是用“三角形的内切圆的圆心”来定义的，由于三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。
例题：
已知：如图（1）AB是⊙O的直径，CB⊥AB，AC交⊙O于E，D是的BC的中点，
求证：直线DE是⊙O的切线。
证明：连结OE、BE，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90O，
∴BE⊥AC，则∠BEC=90O，
又∵D是BC的中点，
∴DE=BD=BC，∴∠DBE=∠DEB
∵OE=OB ∴∠OBE=∠OEB
因此：∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB
即：∠OED=∠OBD
∵BC⊥AB 即：∠OBD=90O
∴∠OED=90O
则DE是⊙O的切线。
评析：(1) 此例是由直径、圆周角、直角三角形斜边上的中线、切线的判定等知识构成的命题。(2) 证一条直线是圆的切线,常用的两个判定方法是：直线过圆上一已知点时，作过这点的半径转证直线垂直于这条半径；直线和圆的公共点的位置未知时，过圆心作到直线的距离，转证此距离等于圆的半径。此例显然用的是第一种方法。（3）此题的分析思路：要证DE是圆的切线，而E在圆上，据圆的切线的定义则E是切点，所以应连结OE，转证DE⊥OE。
已知：如图（2）所示，在直角梯形ABCD中，AD⊥CD于D，BC⊥CD于D，且AD+CB=AB，以斜腰AB为直径作⊙O，
求证：CD是⊙O的切线。
图（2）
分析：要证CD是⊙O的切线，切点在什么位置呢？无法判定，因此应该用证明切线的第二种方法，作圆心到直线的距离OE，转而证OE等于圆的半径。
证明：过O作OE⊥CD于E，
∵AD⊥CD，BC⊥CD
∴AD||OE||BC
∵O是AB中点，则E是CD中点。
∴OE是梯形ABCD的中位线，
∴OE=(AD+BC)
又∵AD+BC＝AB
∴OE=AB。
则DC是⊙O的切线。
如图（3）所示，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90O，E为AB上的一点，ED平分∠ADC，EC平分∠BCD。
求证：以AB为直径的圆与DC相切。图（3）
分析：要证以AB为直径的圆与DC相切，只需证AB的中点到DC的距离等于AB。
证明：过点E作EF⊥CD于F。
ED平分∠ADC
DA⊥EA于A (EA=EF E为AB中点
EF⊥DF于F (
同理可证：EF=EB EF=AB
(以AB为直径的圆与CD相切。
如图（3）所示，已知△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于D，过D作⊙O的切线FE，交AC于E，且AE⊥DE。
求证：AB=AC
图（4）
证明：连结OD
∵DE切⊙O于D，则OD⊥DE
∵AE⊥DE， ∴OD∥AC 则∠C=∠ODB
∵OB=OD ∴∠B=∠ODC
∴∠B=∠C 则AB=AC
已知：如图（5）所示，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线交于D，过D的切线分别交AB、AC的延长线于E、F，
求证：BC||EF
证明：连结OD
∵EF切⊙O于D， ∴EF⊥OD
∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD
则
由垂径定理，知：OD⊥BC
∴BC∥EF
注：此证法运用切线的性质比较灵活巧妙，只要在已知切线时用垂直方法的意识强，则不难想到。
如图（6）所示，△ABC三边长为，，，面积为S，内切圆⊙O的半径为，⊙O与△ABC的三边相切于D、E、F。
求证：
分析：要证，只需证：。
证明：连结OA、OB、OC
∵⊙O切△ABC的三边于D、E、F
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC
∴S△AOB=OD·AB=
同理可得：S△BOC= S△AOC=
∴S=S△AOB+S△BOC+S△AOC=
∴
注：若∠C=90O，则有：。
练习及作业：
填空题：
已知圆的直径为13，直线与圆心的距离为，当时，直线与圆 ；当时，直线与圆 。
R△ABC中，∠C=90O，AC=3,BC=4，则以C为圆心， 为半径的圆与AB相切；以C为圆心， 为半径的圆与AB相交。
若直线与圆的公共点个数不小于1，则直线与圆的位置关系是 。
如图（7），A为⊙O的半径OC的延长线上一点,且CA=OC，弦BC=OC，则BC= OA，∠OBA= O ，BA与⊙O的位置关系是 。
图(7)图(8)
如图（8），已知AB是⊙O的直径，延长AB到D，使BD=OB，DC切⊙O于C，则∠D= O，∠C= O。若⊙O的半径为R，则AC= 。
两个同心圆的半径分别为1和2，大圆的弦AB与小圆相切，则AB= 。
已知I为△ABC的内心，∠B=50O，则∠AIC= 。
等边三角形内切圆半径与外切圆半径之比是 。
如图（9），⊙O内切于R△ABC，∠C=90O，D、E、F为切点，若∠AOC=120O，则∠OAC= O，∠B= O，若AB=2，△ABC的外接圆半径= ，内切圆半径=。
选择题
(1) 设⊙O半径为，点O到直线I的距离为，若⊙O与至多只有一个公共点，则与的关系为（ ）
≥ (B) ＜ (C) ≤ (D) =
(2) 等腰△ABC的腰AB=AC=4，若以A为圆心，2为半径的圆与BC相切，则∠BAC的度数为（ ）
30O (B) 60O (C) 90O (D) 120O
下列直线中能判定为圆的切线的是（ ）
与圆有公共点的直线。
垂直于圆的半径的直线。
过圆的半径的外端的直线。
到圆心的距离等于该圆的半径的直线。
AB是⊙O的切线，在下列给出的条件中，能判定AB⊥CD的是（ ）
AB与⊙O相切于直线CD上的点C。
CD经过圆心O。 (C) CD是直线。
(D) AB与⊙O相切于C，过圆心O。
如图（10），PA、PB分别切⊙O于A、B，∠P=70O，则∠C（ ）
(A) 70O (B)55O (C)110O (D)140O
答案
（1）相离，相切； （2），大于；
相切或相交； （4），90，相切；
（5）30，120，； （6）； （7）115
1：2； （9）15，60，，1，。
2．（1）A； （2）D （3）D （4）D （5）B
学科：数学 年级：初三 辅导教师：孙老师
课题：直线和圆的位置关系(二)
学习目标
理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题。
理解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推论，并会运用它们解决有关问题，通过弦切角定理的证明，进一步了解分情况证明数学命题的思想和方法。
基本内容及应注意的问题
“切线长”是切线上一条线段的长度，具有数量的特征；而“切线”是一条直线，它是向两方无限延展的，不可以度量长度。
切线长定理包含两个结论，如图(1)所示，PA、PB切⊙O于点A、B，则有：
“切线长相等”，即PA＝PB。
“圆心和这点的连线平分两切线的夹角”，即：PO平分；
根据PA=PB，PO平分，可得点A、B关于直线OP对称，从而有OP垂直平分AB、＝以及∽∽等结论，由此可得，切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等、线段成比例，垂直关系的重要依据。
讲过切线长定理以后，已知一条切线时，通常有如下五个性质可用：
切线和圆有且只有一个公共点；
切线和圆心的距离等于该圆的半径；
切线垂直于过切点的半径；
经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
若已知一个圆的两条切线相交，则又多了“切线长相等”的性质；
若已知一个圆的两条切线互相平行，则可得出“圆上两个切点的连线为直径”的性质。
弦切角有两个基本特征：
顶点在圆上，实际上就是角的顶点是圆的一条切线的切点；
一边和圆相交，另一边和圆相切，实际上就是角的一边是过切点的一条弦（所在的直线），角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线。
弦切角定理与圆周角定理的证明思路类似，都分三种情况，而且在证明过程中利用了圆周角的推论。在学习时一定要注意与圆周角定理对比，注意它们的内在联系。
弦切角是与圆有关的又一种角，要能在图形中准确地识别，并能正确应用弦切角定理及其推论。它给我们提供了证明角相等、弧相等的又一种方法。
例题
例1：如图(2)所示，中，，以AB为直径的⊙O交BC于点D，切线DE交AC于E。
求证：
分析：连结AD，则，要证，只需证AE=EC。
证明：连结AD
(AE为⊙O的切线 (EA=ED(
DE为⊙O的切线 (
AB为⊙O的直径((
( DE=EC (DE=EA=EC(
EA=ED
如图(3)所示，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，PQ⊥OQ于Q，交AB于M
求证：OA2=OM·OQ
证明:连结OP交AB于N
PA、PB是⊙O的切线( PA=PB (OP⊥AB
OP平分∠APB
PA切⊙O于A ( OA⊥PA
(△OAN∽△OPA((OA2=OP·ON
PQ⊥OQ,OP⊥AB(∠Q=∠ONM=90O
∠NOM=∠QOP (△OMN∽△OPQ(
(ON·OP=OM·OQ
OA2=OP·ON (OA2=OM·OQ
注:遇到从一点出发的两条切线,常想到切线长定理及图(1)所示的基本图形，这个基本图形中隐含了等腰三角形，全等三角形，相似三角形等条件。
例3：已知，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于D。
求证：CE2=CD·CB；
若AB=BC=2，求CE、CD的长。
分析：要证CE2=CD·CB，只需证：△CED∽△CBE。
证明：(1)连结BE，
BC是⊙O的切线(∠CBE=∠A
OA=OE(∠A=∠OEA ( ∠CBE=∠CED
∠OEA=(∠DEC ∠C=∠C
(△CBE∽△CED(；
BC为⊙O的切线
AB为直径 (∠ABD=90O
AB=2(OB=1 (OC= (CE=-1；
BC=2 OE=1
又∵CE2=CD·CB，CB=2
∴(-1)2=2CD
则:CD=
即：CD、OE的长分别为()和(-1)。
注：有切线，并需寻找角的关系时，常添辅助线，从而为利用弦切角定理创造条件。
例4：如图(5)所示，⊙O是的外接圆，的平分线CE交AB于D，交⊙O于E，⊙O的切线EF交CB的延长线于F。
求证：AE2=AD·EF
分析:连结BE，由可得：AE=BE，所以，要证AE2=AD·EF，只需证∽
证明：连结BE，CE平分((=(AE=BE
=(∠EBD=∠ECB (
∠EBF=∠BEC+∠ECB EF为切线(
(∽( (AE2=AD·EF
AE=BE
练习及作业：
(1)已知PA、PB分别切⊙O于A、B，C是劣弧上任意一点，过E作⊙O的切线和PA、PB分别交于D、E，若OP=5，⊙O半径为3，则的周长为（ ）
4 B．8 C．9 D．不确定
(2)圆外切四边形一组对边和为12，圆的半径为2，则这个四边形的面积为（ ）
6 B．12 C．24 D．48
外心、内心、垂心、重心这四心重合的三角形是（ ）
任意三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
(4)AB、AC分别切圆于B、C，B、C两点分圆所得两弧比为1:2，则∠A的度数为（ ）
45O B．90O C．60O D．120O
AB、AC分别切⊙O于B、C，BC交OA于D，连结OB、OC，则圆中的直角三角形共有（ ）个
3 B．4 C．5 D．6
(6)AB切⊙O于B，ACD是过O点的割线,且∠A=50O，则的度数为（ ）
50Ｏ B．140Ｏ C．90Ｏ D．280Ｏ
(7)过⊙O外一点P引圆的两切线PA、PB，A、B是切点，∠P=90Ｏ，OP=4，则⊙O半径的长为（ ）
4 B．8 C． D．
(8)⊙O的直径是AB，弦CD⊥AB于P，且CD=8，BP=2，则⊙O的半径为（ ）
3 B．4 C．5 D．10
(9)BC是⊙O的直径，P是BC延长线上一点,且PC=OC，PA是⊙O的切线，且PA＝3，则⊙O半径为（ ）
3 B．6 C． D．2
(10)⊙O是△ABC的直径，P是BC延长线上一点,且PC=OC，PA是⊙O 的切线，且PA=3，则⊙O半径为 ( )
40O B．140O C．80O D．70O
答案与提示：
B 2．C 3．D 4．C 5．D 6．B 7．C
8．C 9．C 10．D
