人教版A版（2019）课标高中数学必修一 第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
集合的含义与表示
学点一
学点二
学点三
学点四
学点五
学点六
1.一般地，我们把研究对象统称为 ，把一些元素组成的总体叫
做 （简称为 ）.
元素
集
集合
2.集合通常用 来表示，而集合中的元素通常 来表示 ，如果a是集合A中的元素，就说 ，记作 ；如果a不是集合A中的元素，就说 ，记作 ；
大写拉丁字母A，B，C，…
小写拉丁字母a,b,c,…
a属于集合 A
a∈A
3.集合中元素具有的性质 、 .
确定性
互异性
无序性
4.常用的数集
（1）非负整数的全体构成的集合叫 ，记作 ；
（2）在自然数集内排除零构成的集合叫 ，记作 ；
（3）整数的全体构成的集合叫 ，记作 ；
（4）有理数构成的集合叫 ，记作 ；
（5）实数的全体构成的集合叫 ，记作 .
a不属于集合A
自然数集
N
正整数集
N*或 N+
整数集
Z
有理数集
Q
实数集
R
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5.列举法是
.
6.如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的 .
7.描述法的表示形式为 .
把集合中元素一一列举出来放在“{ }”内，这种表示集合的方法叫列举法
特征性质
{x∈I|p(x)}
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学点一 集合的概念
下列各组对象能否组成集合.
(1)小于10的自然数：0,1,2,3,…,9;
(2)满足3x-2>x+3的全体实数;
(3)所有直角三角形;
(4)到两定点距离的和等于两定点间的距离的点;
(5)高一(1)班成绩好的同学;
(6)参与中国加入WTO谈判的中方成员;
(7)小于零的自然数;
(8)小于等于零的正整数.
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【分析】一组对象能否构成集合,关键在于其是否具有确定性.
【解析】由于研究对象具有确定性,故(1) (2)(3)(4) (5)(6)
构成集合;(7) (8)中的元素不存在因构成空集;而(5)中的对象无标准,因成绩是否好是不确定的,不能构成集合.
【评析】要构成集合,必须明确集合中的元素是确定的,模棱两可、似是而非的不确定元素不能构成集合.
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下列各组对象能否构成集合:
(1)所有漂亮的人; (2)所有大于0的正整数;
(3)不大于3且不小于0的有理数; (4)所有的正整数;
(5)某校2009年在校的所有成绩好的同学.
解析：
(1)不能.“漂亮”的标准不具有元素的确定性，故不能构成集合.
(2)能.所有大于0的正整数为1,2,3,…,故能构成集合.
(3)能.满足条件的集合为{x∈Q|0≤x≤3}.
(4)能.所有的正整数构成的集合为N*.
(5)不能.成绩“好”的分类标准不明确，故不能构成集合.
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学点二 元素与集合的关系
若M是由1和3两个数构成的集合,则下列表示方法正确的是( )
A.3 M B.1 M C.1∈M D.1∈M且3 M
【分析】如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A;
如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
【解析】注意集合与元素的关系,正确的使用符号“∈”与 “ ” 易知1∈M,3∈M，故应选C.
【评析】集合与元素之间的关系只能是属于和不属于的关系，
即对于集合A和某一个元素x,有一个明确的判断标准，即是x∈A，
还是x A，两者必居其一，且仅居其一.
C
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给出下列命题:
①N中最小的元素是1;
②若a∈N,则-a N;
③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2.
其中所有正确命题的个数为( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
A
对命题逐个分析判断.
① N是自然数集,最小的自然数为0,故错误;
②若a∈N,则-a N,错误,如a=0时,-a=0∈N,故错误;
③因为N中最小元素为0,故当a∈N,b∈N时,a+b的最小值为0,故错误.
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学点三 集合中元素的性质
已知由1,x,x2三个实数构成一个集合，求x应满足的条件.
【分析】1，x,x2是集合中的三个元素，则它们是互不相等的.
【解析】根据集合中元素的互异性，得
所以x∈R且x≠±1且x≠0.
【评析】解决这类问题的主要依据是集合元素的性质特征—
互异性，列出两两元素的关系式求解，通常要用到分类讨论.
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集合{3,x,x2-2x}中，x应满足的条件是 .
【解析】 x≠3且x≠0且x≠-1根据构成集合的元素的互异性，x应满足
解之得x≠3且x≠0且x≠-1.
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学点四 集合的表示
【分析】（1）根据x的范围解方程；
（2）根据绝对值的意义化简；
（3）所求的x要满足两个条件：
①x是正整数；②使 是整数.
用列举法表示下列集合：
（1）A={x|x=|x|,x∈Z且x<8};
（2）B={x|x= + ,a,b为非零实数}；
（3）C={x| ∈Z,x∈N+ }
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【解析】（1）∵x=|x|,∴x≥0,又∵x∈Z且x<8,
∴{x|x=|x|,x∈Z且x<8}用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6,7}.
（2）当a>0,b>0时，x=2;当a<0,b<0时，x=-2；当a,b异号时，x=0. ∴B={-2,0,2}.
（3）由题意，知3-x=±1,±2，±3，±6,
∴x=0, -3,1,2,4,5,6,9,又∵x∈N+, ∴C={1,2,4,5,6,9}.
【评析】掌握集合的两种表示形式的关系和转化
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(1)用适当的方法表示下列集合:
方程组 的解集;
(2)1 000以内被3除余2的正整数所组成的集合;
(3)直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合;
(4)所有的正方形;
(5)直角坐标平面上在直线x=1和x=-1的两侧的点所组成
的集合.
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（1）由
得
方程组的解集为{(4,-2)}.
（2）1 000以内被3除余2的正整数可以表示为x=3k+2,k∈N的形式. 故所求的集合为{x|x=3k+2,k∈N,且x<1 000}.
（3）在直角坐标平面上,位于第二象限内的点,其横坐标x<0,纵坐标y>0,用集合表示为{(x,y)|x<0,y>0}.
（4）所有的正方形构成的集合表示为{正方形}.
（5）在直角坐标平面上,在直线x=1和x=-1两侧的点,其横坐标x>1或x<-1,纵坐标y可以取任意值,故集合表示为{(x,y)|x>1或x<-1}.
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解：
【分析】元素在集合中时,用符号“∈”，而元素不在集
合中时，用符号“ ”.
学点五：数集的应用
用符号“∈”或“ ”填空:
1 N, -1 N*, -3 N, 0.5 N, N;
1 Z, 0 Z, -3 Z, 0.5 Z, Z;1 Q,
0 Q, -3 Q, 0.5 Q, Q;1 R,0 R,
-3 R, 0.5 R, R.
【评析】数集的范围不明或数集的符号记忆错误是出错的主要原因.
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用符号“∈”或“ ”填空:
(1)0 N*;5 Z;(-1)0 N*.
(2) {x|x< }; {x|x>4}; {x|x≤2+ }.
(3)3 {x|x=n2+1,n∈N*}; 5 {x|x=n2+1,n∈N*}.
(4)(-1,1) {y|y=x2}; (-1,1) (x,y)|y=x2}.
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学点六 集合的应用
已知集合A={x|ax2+2x+1=0}.
（1）若A中只有一个元素，求a的取值范围;
（2）若A中至少有一个元素,求a的取值范围;
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围
【分析】理解“只有”“至少”“至多”的准确含义是解本题的关键.
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【解析】（1）A中只有一个元素?方程ax2 +2x+1=0只有一解.
若a≠0,则Δ=0,解得a=1，此时x=-1.
若a=0,则x=-12.
∴当a=0或a=1时,A中只有一个元素.
（2）①当A中只有一个元素时,由（1）知a=0或a=1;
②当A中有两个元素时,需满足条件a≠0,
Δ>0.得a＜1且a≠0.综上，得a≤1.
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（3）A中至多有一个元素?方程ax2 +2x+1=0至多有一解.
∴Δ=4-4a≤0 a≠0或a=0, ∴a≥1或a=0.
∴当a≥1或a=0时，A中至多有一个元素.
【评析】本题应用一元二次方程有关根的讨论，将集合语言转化为方程解的问题.
本题难点在于如何将集合中元素个数转化为方程系数所需要的条件.
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已知数集A满足条件:若a∈A,则 ∈A (a≠1).
(1)若2∈A,试求出A中其他所有元素;
(2)自己设计一个数属于A,再求出A中其他所有元素;
(3)从(1)(2)中你能发现什么规律,并论证你的发现.
（1）2∈A,则 =-1∈A,∵-1∈A,则 = ∈A,
∵ ∈A,则 =2∈A.∴A中其他元素为-1, .
（2）可根据自己所选的数去重复(1)中的过程.
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(3)观察(1)(2)不难发现:A是由“a, , ”三个元素
构成的集合，并且a× × =-1.
证明:设a∈A,则 ∈A,∵ ∈A,则
= ∈A.
∵ ∈A,则 =a ∈A ∴A是由“a, , ”三个元
素构成的集合，并且a× × =-1 .
即这三个元素的乘积恒为-1.
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1.解题时如何利用集合中元素的性质
集合中元素的确定性、互异性、无序性是集合中元素的三个重要性质，要充分理解和认识三个性质，掌握其规律.如在解有关集合相等时,集合中元素间存在相等关系,元素顺序是一个重要因素,利用元素的无序性,可解决此问题.另外在解决了表示集合元素的字母后,应代回集合中检验互异性.
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2.集合的列举法和描述法的转换如何进行
集合的表示形式主要有两种:列举法和描述法.当需要转换表示形式时,可这样实施,由描述法到列举法,只需把满足特征性质的所有元素一一写出来即可,而完成由列举法到描述法时,需由列出的元素找规律,常常用归纳、猜测、计算等方法，要注意元素的一些限制条件.
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1.集合和元素是两个不同的概念，符号∈和 是表示元素
和集合关系的.如{1}∈{1,2,3}的写法是错误的，而
{1}∈{{1},{2}，{3}}的写法就是正确的.
2.解题时要特别关注集合元素的三个性质,特别是互异性,要
进行解题后的检验.
3.注意将数学语言与集合语言进行相互转化.
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4.列举法与描述法各有其优点,应该根据具体问题确定采用哪
种表示法,列举法有直观、明了的优点,但有些集合是不能用
“列举法”表示出来的,如满足x>3的x的集合.描述法是把集合
中元素所具有的特征性质描述出来,具有抽象、概括、普遍性
的优点.表示一个集合可认为是进行如下的过程：
由对元素规律的观察,概括出确定的条件
列举法
根据元素满足的条件,找出具体元素
描述法
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