人教版A版（2019）课标高中数学必修一 第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念 教案

集合的概念与表示
【第一课时】
集合的概念
【教学目标】
1．通过实例了解集合的含义；理解元素与集合的属于关系。
2．记住常用数集的表示符号，并会应用。
【教学重难点】
通过实例了解集合的含义；理解元素与集合的属于关系。
【教学过程】
一、情境引入
中华人民共和国成立70周年阅兵式于2019年10月1日10：00在北京天安门广场隆重举行，阅兵编59个方（梯）队，参与人数约1．5万人，是历年来规模最大的一次。
问题 参加阅兵式的所有女兵能否组成一个集合？
提示 参加阅兵式的所有女兵能够组成一个集合。
二、新知初探
1．集合与元素
（1）一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合，常用大写字母A，B等表示集合。
（2）集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元，常用小写字母a，b表示元素。
2．元素与集合的关系
在a∈A与a A这两种情况中有且只有一种成立
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与 集合的 关系 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于A a∈A “a属于A”
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A a A “a不属于A”
3．常用数集及表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
拓展深化
[微判断]
1．漂亮的花可以组成集合。（×）
提示 “漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合。
2．元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是不相等的。（×）
提示 集合中的元素具有无序性，所以元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是同一集合。
3．y＝x＋1上的所有点构成集合A，则点（1，2）∈A．（√）
[微训练]
1．考察下列每组对象，能构成集合的是（ ）
①中国各地的美丽乡村；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④截止到2020年1月1日，参加“一带一路”的国家。
A．③④ B．②③④
C．②③ D．②④
解析 ①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B．
答案 B
2．“用∈”或“ ”填空。
（1）0∈N；（2） Q；（3）-3∈Z；（4）∈R。
[微思考]
1．若a∈A，b∈A，则元素a，b有什么关系？为什么？
提示 a≠b，因为组成集合的元素是确定的、不同的对象。
2．某班所有的“调皮的同学”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？
提示 某班所有的“调皮的同学”不能构成集合，因“调皮的同学”无明确的标准。高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定。元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
三、合作探究
题型一 集合概念的理解
【例1】 考察下列每组对象能否构成一个集合。
（1）不超过20的非负数；
（2）方程x2-9＝0在实数范围内的解；
（3）某班的所有高个子同学；
（4）的近似值的全体。
解 （1）对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
（2）能构成集合；
（3）“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；
（4）“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合。
规律方法 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素。
【训练1】 （1）下列说法中正确的有________（填序号）。
①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②集合M中有3个元素a，b，c，如果a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合。
（2）下列各组对象可以组成集合的是（ ）
A．数学必修第一册课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点
D．所有小的正数
解析 （1）①不正确。book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3．
②正确。集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形。
③不正确。小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关。
（2）A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中“小”没有明确的标准，所以不能构成集合。
答案 （1）② （2）B
题型二 元素与集合的关系
【例2】 用符号“∈”或“ ”填空：
（1）设集合A是由正整数的全体构成的集合，则0________A，________A，（-1）________A；
（2）设集合B是由小于的实数的全体构成的集合，则2________B，1＋________B．
解析 （1）0不是正整数，不是整数，（-1）0＝1是正整数，故依次填 ， ，∈。
（2）2＝>，
∵（1＋）2＝3＋2<11，
∴1＋<，故依次填 ，∈。
答案 （1） ∈ （2） ∈
规律方法 符号“∈”“ ”仅可用来表示元素与集合的关系，有且只有其中的一种情况成立，a∈A还是a A取决于a是不是集合A中的元素。
【训练2】 （1）给出下列关系：①∈R；②|-3| N；③|-|∈Q；④0 N。其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
（2）已知集合M是由平面直角坐标系中所有第二象限的点组成的集合，则2________M；（-2，1）________M，（1，3）________M。
解析 （1）①正确；②③④不正确。
（2）集合M中的元素是第二象限的点，而2是实数，故2 M。点（-2，1）是第二象限内的点，故（-2，1）∈M。而（1，3）在第一象限，∴（1，3） M。
答案 （1）A （2） ∈
题型三 集合中元素的性质及应用
【例3】 已知集合A有三个元素：a-3，2a-1，a2＋1，集合B也有三个元素：0，1，x。
（1）若-3∈A，求a的值；
（2）若x2∈B，求实数x的值；
（3）是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同。
解 （1）由-3∈A且a2＋1≥1，
可知a-3＝-3或2a-1＝-3，
当a-3＝-3时，a＝0；当2a-1＝-3时，a＝-1．
经检验，0与-1都符合要求。
∴a＝0或-1．
（2）当x＝0，1，-1时，都有x2∈B，
但考虑到集合元素的互异性，x≠0，且x≠1，故x＝-1．
（3）显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，只可能a-3＝0或2a-1＝0.
若a-3＝0，则a＝3，A包含的元素为0，5，10，与集合B中元素不相同。
若2a-1＝0，则a＝，A包含的元素为0，-，，与集合B中元素不相同。
故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同。
规律方法 集合中的元素是确定的、互异的、没有顺序。其中互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等。元素的无序性主要体现在：给出元素属于某集合，它可能表示集合中的任一元素。
【训练3】 由三个数a，，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合相等，求a2 020＋b2 020的值。
解 由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得或
解得或（不满足集合元素的互异性，舍去）。
所以a2 020＋b2 020＝（-1）2 020＋0＝1．
四、课堂总结
1．通过集合概念及元素与集合关系的学习，重点培养数学抽象素养及提升数学运算素养。
2．研究对象能否构成集合，就是要看是否有一个确定的标准，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合。这是判断能否构成集合的依据。
3．集合中的元素必须是确定的、互异的，可以任意排序，与次序无关。
五、课堂练习
1．设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是（ ）
A．a∈M B．a M
C．a＝M D．a≠M
解析 判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是。∵<2，∴a M。
答案 B
2．现有下列各组对象：
①著名的数学家；②某校2020年在校的所有高个子同学；③不超过30的所有非负整数；④方程x2-4＝0在实数范围内的解；⑤平面直角坐标系中第一象限内的点。
其中能构成集合的是（ ）
A．①③ B．②③
C．③④ D．③④⑤
解析 ①著名的数学家无明确的标准，对某个数学家是否著名无法客观地判断，因此①不能构成一个集合；类似地，②也不能构成集合；③任给一个数，可以明确地判断它是不是“不超过30的非负整数”，因此③能构成一个集合；类似地，④也能构成一个集合；对于⑤，“在第一象限内”不仅可以用坐标系进行图示，也可以通过点的横纵坐标是否都大于0来判断，标准是明确的，因此能构成一个集合。
答案 D
3．已知1，x，x2三个实数构成一个集合，x满足的条件是（ ）
A．x≠0 B．x≠1
C．x≠±1 D．x≠0且x≠±1
解析 根据集合中元素的互异性，
得解得x≠0且x≠±1．
答案 D
4．用符号∈或 填空。
2________N，________Q，-3________Z，0________ ，0________N*。
答案 ∈ ∈
5．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2-2x。
（1）求元素x应满足的条件；
（2）若-2∈A，求实数x的值。
解 （1）由集合中元素的互异性可得x≠3，x2-2x≠x，且x2-2x≠3，解得x≠-1，x≠0，且x≠3．
（2）若-2∈A，则x＝-2或x2-2x＝-2．
由于方程x2-2x＋2＝0无实数解，所以x＝-2．
经检验知x＝-2时三个元素符合互异性。
故x＝-2．
【第二课时】
集合的表示方法
【教学目标】
1．掌握集合的常用表示方法：列举法和描述法。
2．学会选择合适的方法表示集合，理解集合的相等、有限集、无限集等概念。
【教学重难点】
掌握集合的常用表示方法：列举法和描述法。
【教学过程】
一、情境引入
集合就是一个整体，集合中的对象的形式是多样化的，可以是点，也可以是数、式、人物等。常用的数集可以用特定的字母符号表示。
问题 如何表示不等式2x＋5<15的所有实数解构成的集合？
提示 用描述法，可以表示为{x∈R|x<5}。
二、新知初探
1．集合的表示方法
（1）列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内，用这种方法表示集合，元素之间逗号分隔，但列举时与元素的次序无关。
（2）描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x|p（x）}的形式。其中x为集合的代表元素。p（x）指元素x具有的性质。
2．为了直观地表示集合，常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图。
3．含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集，不含任何元素的集合称为空集，记作 。
拓展深化
[微判断]
1．由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}。（×）
提示 集合中的元素不能重复，是互异的。
2．集合{（1，2）}中的元素是1和2．（×）
提示 （1，2）是集合中的元素。
3．集合{x|y＝}与{（x，y）|y＝}相同。（×）
提示 两集合的代表元素不同。
[微训练]
1．用列举法表示大于1且小于4的整数组成的集合应为________。
答案 {2，3}
2．由点（1，1）与（0，1）组成的集合可表示为________。
解析 集合中只有两个点，用列举法表示。
答案 {（1，1），（0，1）}
3．方程x2-2x-3＝0的所有实数根组成的集合用描述法可表示为________，用列举法可表示为________。
答案 {x|x2-2x-3＝0} {-1，3}
[微思考]
1．不等式1<2x-1<7的解组成的集合应该如何表示？可以用列举法表示吗？
提示 不等式1<2x-1<7的解为12．列举法可以表示无限集吗？
提示 列举法可以表示有限集，也可以表示无限集。若集合中元素个数较多或无限多，但呈现一定的规律性，在不致发生误解的情况下，也可列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示。
三、合作探究
题型一 列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列集合：
（1）不大于10的非负偶数组成的集合；
（2）方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
（3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
（4）由所有正整数构成的集合。
解 （1）因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}。
（2）方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}。
（3）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即所求交点是（0，1），故交点组成的集合是{（0，1）}。
（4）正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}。
规律方法 用列举法表示集合应注意的两点
（1）应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素。
（2）若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素。
【训练1】 用列举法表示下列给定的集合：
（1）大于1且小于6的整数组成的集合A；
（2）方程x2-9＝0的实数根组成的集合B；
（3）一次函数y＝x＋2与y＝-2x＋5的图象的交点组成的集合C．
解 （1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}。
（2）方程x2-9＝0的实数根为-3，3，
所以B＝{-3，3}。
（3）由得
所以一次函数y＝x＋2与y＝-2x＋5的交点为（1，3），
所以C＝{（1，3）}。
题型二 描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合：
（1）正偶数集；
（2）被3除余2的正整数集合；
（3）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合。
解 （1）偶数可用式子x＝2n，n∈N表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N＋，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}。
（2）设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}。
（3）坐标轴上的点（x，y）的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{（x，y）|xy＝0}。
规律方法 利用描述法表示集合应关注三点
（1）写清楚该集合代表元素的符号。例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}。且要分清是点集还是数集。
（2）所有描述的内容都要写在花括号内。例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号，即{x|x＝2k，k∈Z}。
（3）不能出现未被说明的字母。
【训练2】 试用描述法表示下列集合。
（1）方程x2-2＝0的所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合；
（3）二次函数y＝x2-2图象上的所有点组成的集合。
解 （1）设方程x2-2＝0的实数根为x，并且满足条件x2-2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2-2＝0}。
（2）设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10（3）二次函数y＝x2-2图象上的所有的点用描述法表示为{（x，y）|y＝x2-2}。
题型三 集合表示方法的综合应用
【例3】 已知集合A＝{x|kx2-8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合。
解 ①当k＝0时，方程kx2-8x＋16＝0变为-8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
②当k≠0，要使集合A＝{x|kx2-8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2-8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64-64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意。
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0，1}。
规律方法 （1）若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题。
（2）在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想。
【训练3】 已知A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|（x-1）2＋p（x-1）＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，求集合B．
解 ∵A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}，
∴方程x2＋px＋q＝x有两个相等实根x＝2，
由根与系数关系得∴
∴B＝{x|（x-1）2＋p（x-1）＋q＝x＋3}＝{x|x2-6x＋5＝0}＝{1，5}。
四、课堂总结
1．选择合适的方法表示集合，经历由具体到抽象，由自然语言和图形语言到符号语言的表达过程，发展数学抽象素养，提升数学运算素养。
2．表示集合的要求
（1）根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则。
（2）一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合。
五、课堂练习
1．用列举法表示集合{x|x2-2x＋1＝0}为（ ）
A．{1，1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2-2x＋1＝0}
解析 方程x2-2x＋1＝0有两个相等的实数解1，根据集合元素的互异性知B正确。
答案 B
2．下列集合中不同于另外三个集合的是（ ）
A．{0} B．{y|y2＝0}
C．{x|x＝0} D．{x＝0}
解析 A是列举法，C是描述法，对于B，要注意集合的代表元素是y，故与A，C相同，而D表示该集合含有一个元素，即方程“x＝0”。故选D．
答案 D
3．集合{x∈N|x2＋x-2＝0}用列举法可表示为________。
解析 由x2＋x-2＝0，得x＝-2或x＝1．
又x∈N，∴x＝1．
答案 {1}
4．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1 A，则实数a的取值范围为________________。
解析 ∵1 {x|2x＋a>0}，
∴2×1＋a≤0，即a≤-2．
答案 {a|a≤-2}
5．用适当的方法表示下列集合：
（1）16与24的公约数；
（2）不等式3x-5>0的解构成的集合。
解 （1）16与24的公约数组成的集合为{1，2，4，8}。
（2）不等式3x-5>0的解集为。
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