人教版A版（2019）课标高中数学必修一 第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念 学案

集合的概念
【学习目标】
1.知识与技能：
（1）初步理解集合的含义，知道常用的数集及其记法。
（2）初步了解“属于”关系的意义。
（3）初步了解有限集、无限集、空集的意义。
【学习过程】
1. 过程与方法：
（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合。
（2）观察关于集合的几组实例，并举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义。
（3）学会借助实例分析，探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性和无序性）。
2. 情感、态度与价值观：
（1）在学习运用集合语言过程中，增强认识事件的能力，初步培养实事求是，扎实严谨的科学态度。
（2）探索利用直观图示理解抽象概念，体会数形结合的思想。
【导学过程】
1．集合的概念
一般地，把一些__________不同的对象看成一个整体，就说这个__________是由这些对象的全体构成的集合。
集合是现代数学中不加定义的基本概念，学习这个概念应注意以下两点：
（1）集合是一个“整体”
（2）构成集合的对象必须是“确定”的且“不同”的。
“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的特征，这个特征不是模棱两可的。一般地，判定一组对象a1，a2，a3，…，an能否构成集合，就是要看判定的对象a1，a2，a3，…，an是否具有一个确定的特性，如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合。
“不同”是指构成集合的各个对象互不相同，即相同的对象归入一个集合时，该对象只能出现一次。
例1：下列各组对象中，哪些能组成集合？哪些不能组成集合？
（1）参加2010年全国高考的山东考生。
（2）所有数学难题。
（3）数组2，2，4，6。
（4）参加2010年广州亚运会的运动员。
（5）全国所有大湖。
2．元素的概念
构成集合的每个对象叫做这个集合的元素。
集合通常用大写字母A、B、C、…来表示，元素常用小写字母a、b、c、…来表示。
例2：试考察下列各集合中的元素：
（1）方程x2=4的解；（2）正方形的全体。
3．元素与集合的关系
元素与集合的关系有属于与不属于两种：元素a属于集合A，记作a∈A；元素a不属于集合A，记作。
例3：用符号∈和 填空。
（1）设集合A是正整数的集合，则0______A， ，（-1）0______A；
（2）设集合B是小于 的所有实数的集合，则 ，
4．集合中元素的性质
集合的元素有以下三个特性：
（1） 元素的确定性。
设A是一给定的集合，a是某一个具体对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。如大于2小于10的偶数只有4，6，8，它们是确定的，可构成集合，而“我国的小河流”，由于“小”这个标准不确定，所以不能构成集合。
（2） 元素的互异性。
对于给定集合中的任意两个元素，都是不同的对象，不能重复出现，例如x2-4x+4=0的根构成的集合的元素只有一个元素2，不能出现两个重复的元素2、2．
（3）元素的无序性。
在给定集合中的元素之间无顺序关系，即集合中的元素相互交换次序所得的集合与原来的集合是同一个集合。例如集合 与集合 是同一个集合。
例4：判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1）这些数组成的集合有5个元素。
（2）方程（x-3）（x-2)2=0的解组成的集合有3个元素。
5.集合的分类
依据集合所含元素的个数分为有限集、无限集。
（1）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集。如中国古代四大发明组成的集合，其中元素有有限个，故为有限集。
（2）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集。如所有自然数组成的集合，由于元素个数无限，故称之为无限集。
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 。“空集”是一个实实在在的集合，只不过此集合中无任何元素，故称之为空集。如“方程x2+2=0的实数根”组成的集合，因为方程x2+2=0无实数根，故它是空集。
例5：下列各组对象能否构成集合，若能构成集合，则指出它们是有限集、无限集，还是空集。
（1）中国的所有人组成的集合；
（2）广东省2011年应届高中毕业生；
（3）数轴上到原点的距离小于1的点；
（4）方程x2=0的解构成的集合；
（5）你们班中成绩较好的同学；
（6）小于1的正整数构成的集合。
6.特定集合的表示
为了书写方便，我们规定常见的数集用特定的字母表示，下面是几种常见的数集表示方法，请牢记：
（1）全体非负整数的集合通常简称为非负整数集（或自然数集），记作N。
（2）非负整数集内排除0的集合，也称正整数集，记作N*或N+。
（3）全体整数的集合通常简称为整数集，记作Z。
（4）全体有理数的集合通常简称为有理数集，记作Q。
（5）全体实数的集合通常简称为实数集，记作R。
例6：给出下列关系：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中正确的个数为（ ）
A. 1 B． 2 C． 3 D． 4
7．集合的判定
（1）集合是现代数学中不加定义的基本概念，学习这个概念应注意以下两点：
①集合是一个“整体”
②构成集合的对象必须是“确定”的且“不同”的。其中“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的特征，这个特征不是模棱两可的。“不同”是指构成集合的各个对象互不相同。
特别地，我们把不含有任何元素的集合称为空集，记作 ，如“方程x2+5=0的实数范围内的解”，我们知道，方程x2+5=0在实数范围内无解，故其解集为空集。
（2）空集虽不含任何元素，可它却有两个方面的作用：
①空集客观地反映了一些问题的实际意义，如方程组的解的集合就是空集，又如不等式x2<0的解的集合也是空集。
②空集在反映集合与集合之间的关系上起到了“桥梁”的作用，使一些难以表达的问题得到表达。
重点提示：以上两条是判定某些对象能否构成集合的标准。判定一组对象a1，a2，a3，…，an能否构成集合，就是要看判定的对象a1，a2，a3，…，an是否具有一个确定的特性，如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合。
例7：下列所给的对象能构成集合的是____________________。
（1） 所有正三角形；
（2） 高一数学必修1课本上的所有难题；
（3） 比较接近1的正整数全体；
（4） 某校高一年级的16岁以下的学生；
（5） 平面直角坐标系中到原点距离等于1的点；
（6） a，b，a，C。
8．集合元素性质的应用
集合的确定性就是若A是一个给定的集合，x是某一具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必须有一种且只有一种成立。
例如，可知，而，即集合中元素的标准是明确给定的。
集合的互异性就是说：“对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的。”
如方程（x-1）2=0的解集记为，而不能记为。
例8：若，求实数a的值。
9.元素分析法
解决集合问题，应对集合的概念有深刻的理解，解题时能不能把集合转化为相关的数学知识是解题的关键，而集合离不开元素，所以分析元素是解决集合问题的核心。元素分析法就是抓住元素进行分析，即元素是什么？具备哪些性质？是否满足元素的三个特性（即确定性、互异性、无序性）？
【例】集合A是由元素n2-n，n-1和1组成的，其中n∈Z，求n的取值范围。
例9：设A是实数集，且满足条件：
（1） 若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
（2） 集合A不可能是单元素集；
（3） 集合A中至少有三个不同的元素。
10.利用分类讨论思想解决与集合有关的问题
分类讨论思想是数学中的重要思想方法。在解决与集合有关的问题时往往借助集合的互异性、确定性、无序性入手，求出与之相关的参数。
【例】A是由2，a，b组成的集合，B是由2，2a，b2组成的集合，当集合A与集合B是同一集合时，求a，b的值。
例10：由实数所组成的集合中，最多含有元素的个数为（ ）
A．2 B． 3 C． 4 D． 5
11．利用元素与集合间的关系定义的新概念处理策略
集合中元素的求解与个数的计算是高考考查的知识点之一，在解题时要特别注意元素的互异性，相同的对象要看成一个元素。近几年，在各地的高考题或模拟题中，常出现这样一种新题型，题目中出现的一些符号或运算法则是教材中不曾介绍过的内容，但我们可以根据题中的所给条件，通过自学，利用大脑中储备的知识解决。
【例】设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
例11：设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中唯一确定的元素a*b与之对应），若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（ ）
A．（a*b）*a=a B． [a*(b*a)]*（a*b）=a
C．b*(b*b)=b D． （a*b）*[b*(a*b)]=b
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