5.1.2导数的概念及其意义 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
5.1导数的概念及其意义
5.1.2导数的概念及其意义
前面我们研究了两类变化率问题：
一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；
另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率.
这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式.
下面我们用上述思想方法研究更一般的问题
平均变化率的定义：
注意：
定义
定义
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
求函数的改变量
2. 求平均变化率
3. 求值
一差、二化、三极限
课堂练习
课堂练习
小结：
2.由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量
（2）求平均变化率
（3）求极限
1.导数的定义：
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
P
相切
相交
再来一次
x
o
y
y=f(x)
P0(x0,y0)
P
M
△x
△y
割线与切线的斜率有何关系呢？
即：当△x→0时，割线P0P的斜率的极限，就是曲线在点P0处的切线的斜率，
T
当△x→0时， P0P无限靠近P0 T
P
P0
P
P
T
再来一次
P
l
能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。
不能
x
y
o
直线与圆有惟一公共点时，
直线叫做圆的切线。
所以，不能用直线与曲线的公共点的个数来定义曲线的切线。
圆的切线定义并不适用于一般的曲线。
通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。
x
o
y
y=f(x)
P
Q1
Q2
Q3
Q4
T
继续观察图像的运动过程，还有什么发现？
继续观察图象，可以发现点P0处的切线P0T比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线.进一步地，利用信息技术工具将点P0附近的曲线不断放大，可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线.因此，在点P0附近，曲线y=f(x)可以用点P0处的切线PT近似代替.
这是微积分中重要的思想方法—以直代曲.
t
o
h
t0
t1
t2
l0
l1
l2
t4
t3
归纳小结
通过观察跳水问题中导数的变化情况,你得到了哪些结论
(1)以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该点的切线近似代替；
(2)函数的单调性与其导函数正负的关系 ；
(3)曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系 .
例5.下图是人体血管中药物浓度c=f(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位min）变化的函数图象.根据图象，估计t=0.2，0.4，0.6，0.8min时，血管中药物浓度的瞬时变化率 (精确到0.1) .
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度f(t) 在此时刻的导数,从图象上看,它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率.
如图,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.
例5.下图是人体血管中药物浓度c=f(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位min）变化的函数图象.根据图象，估计t=0.2，0.4，0.6，0.8min时，血管中药物浓度的瞬时变化率 (精确到0.1) .
作t=0.8处的切线,并在切线上取两点,如(0.7, 0.91), (1.0, 0.48),则该切线的斜率
下表给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.
课堂练习
3:求y=f(x)=x2+1在x=1处的导数.
Q
P
y
=
x
2
+1
x
y
-
1
1
1
O
j
M
D
y
D
x
4:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:
分析:利用函数f(x)在点x0处可导的条件,将题目中给定
的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定
义中,自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx
选择哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
求函数 y = f (x)的导数的定义方法:
求函数的改变量
2. 求平均变化率
3. 求值
一差、二化、三极限
小结
相应的 , y=f(x)在点P( x0,f(x0) )处的切线方程为：
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是
曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．
小结
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