5.3.2函数的极值与导数 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
注、单调区间不能以“并集”出现。
利用导数讨论函数单调的步骤:
(2)求导数
(3)解不等式组 得f(x)的单调递增区间;
解不等式组 得f(x)的单调递减区间.
(1)求 的定义域D
t
h
a
o
h’(a)=0
单调递增
h’(t)>0
单调递减
h’(t)<0
观察高台跳水运动图象
探究、 如图，函数y=f(x)在a,b,c,d,e,f,g,h等点的
函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
y=f(x)在这些点的导数值是多少？
在这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？
a
b
c
d
e
f
o
g
h
x
y
y=f(x)
y=f(x)
2)函数y=f(x)在x=b处的函数值f(b) 比它在点x=b附近其它各点的函数值都大，我们就说f(b)是函数的一个极大值，点b叫做极大值点．
函数极值的定义
4)极大值与极小值统称为极值.
1)函数y=f(x)在x=a处的函数值f(a) 比它在点x=a附近
其它各点的函数值都小，我们就说f(a)是函数的一个
极小值.点a叫做极小值点．
3)极大值点,极小值点统称为极值点.
f(a)
f(b)
（1）极值是对某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;
（2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；
（3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.
学生活动
o
a
x1
x2
x3
x4
b
x
y
P(x1,f(x1))
y=f(x)
Q(x2,f(x2))
观察图像并类比函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系
o
a
x0
b
x
y
x x0左侧 x0 x0右侧
f (x)
f(x)
o
a
x0
b
x
y
x x0左侧 x0 x0右侧
f (x)
f(x)
增
f (x) >0
f (x) =0
f (x) <0
极大值
减
f (x) <0
f (x) =0
增
减
极小值
f (x) >0
请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？
左正右负为极大，右正左负为极小
可导函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( )
A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值
B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值
C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值
D
学生活动
因为 所以
例1 求函数 的极值.
解:
令 解得 或
当 , 即 , 或 ;
当 , 即 .
当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:
x (–∞, –2) –2 (–2, 2) 2 ( 2, +∞)
0 0
f (x)
–
+
+
单调递增
单调递减
单调递增
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ;
当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .
探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点
x
y
O
f (x) x3
而x =0不是该函数的极值点.
f (x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点
注意：f /(x0)=0是可导函数取得极值的必要不充分条件
f (x)=3x2 当f (x)=0时，x =0，
请思考求可导函数的极值的步骤:
③ 检查 在方程 ＝0的根的左右两侧的
符号，确定极值点。(最好通过列表法)
①求导数
② 求方程
=0的根,这些根也称为可能极值点；
强调:要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f (x0)=0左右侧导数的符号.
注：导数等于零的点不一定是极值点．
变式
求下列函数的极值:
解:
令 解得 列表:
x
0
f (x)
+
单调递增
单调递减
–
所以, 当 时, f (x)有极小值
求下列函数的极值:
解:
解得 列表:
x (–∞, –3) –3 (–3, 3) 3 ( 3, +∞)
0 0
f (x)
–
+
+
单调递增
单调递减
单调递增
所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ;
当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .
求下列函数的极值:
解:
解得
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ;
当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .
解得
所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ;
当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .
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案例分析
函数 在 时有极值10，则a，b的值为（ ）
A、 或
B、 或
C、 D、 以上都不对
A
解:由题设条件得：
解之得
通过验证，a=3,b=-3不合要求，故应选择C。
注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
注意代入检验
2.(2006年北京卷)已知函数
在点 处取得极大值5,其导函数 的图像(如图)过点（1,0）,（2,0）, 求：
（1） 的值；（2）a,b,c的值；
.
略解：
(1)由图像可知：
(2)
注意：数形结合以及函数与方程思想的应用
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（2006年天津卷)函数 的定义域为开区间
导函数 在 内的图像如图所示，则函数
在开区间 内有（ ）个极小值点。
A.1 B.2 C.3 D. 4
A
f (x) <0
f (x) >0
f (x) =0
注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别
变式训练
函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为 。
注意：导数与方程、不等式的结合应用
本节课主要学习了哪些内容？
请想一想？
1、极值的判定方法
2、极值的求法
注意点：
1、f /(x0)=0是可导函数取得极值的必要不充分条件
2、数形结合以及函数与方程思想的应用
3、要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f (x0)=0左右侧导数的符号.
作业
1、课本Ｐ98习题5.3：3，4，5
2、思考题极值和最值的区别与联系