5.3.3函数的最大(小)值与导数 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
5.3.3 函数的最值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的局部
性质,而不是函数在整个定义域内的性质。
但是我们往往更关心函数在某个区间上
哪个值最大，哪个值最小。
观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象，
你能找出它的极大值点，极小值点吗？
极大值点 ，
极小值点
你能说出函数的最大值点和最小值点吗？
最大值点 ：a ，
最小值点：d
最小值是f (b).
单调函数的最大值和最小值容易被找到。
函数y=f(x)在区间[a,b]上
最大值是f (a),
图1
最大值是f (x3),
图2
函数y=f (x)在区间[a,b]上
最小值是f (x4).
一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f (x)
的图象是一条连续不断的曲线，那么
它必有最大值和最小值。
怎样求函数y=f (x)在区间[a ,b]内的最大值
和最小值？
只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点
的函数值进行比较即可。
例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的最大值，最小值。
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
+ 0 - 0 +
f(x) 单调递增↗ 28 单调递减↘ -4 单调递增↗
例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0,3]上的
最大值，最小值。
解：由上节课的例1知，在[0,3]上，
当x=2时， f(x)=x3-12x+12有极小值，
并且极小值为f (2)=-4.
又由于f (0)=12,f (3)=3,
因此，函数 f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的
最大值为12，最小值为-4。
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值
(极大值与极小值);
②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下
练习1、求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间
[-2,2]上的最大值与最小值。
因为f(-2)=57, f(1.5)=-28.75, f(2)=-23
所以函数的最大值为57，最小值为-28.75
解： =-36+6x+12x2=6(2x2+x-6)
令 =0,解得x1=-2 , x2=1.5
练习2、求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间
[-1,1]上的最值。
解： =3x2-6x+6=3(x2-2x+2)
因为 在[-1,1]内恒大于0,
所以 f(x)在[-1,1]上是增函数，
故当x=-1时，f(x)取得最小值-12；
当x=1时，f(x)取得最大值2。
例2、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a;
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20，
求它在该区间上的最小值。
令 <0,解得x<-1或x>3
解: (1) =-3x2+6x+9
函数f(x)的单调递减区间为
(-∞,-1) ∪(3,+∞)
-1
2
3
(2) ∵f(-2)=8+12-18+a=2+a
f(2)=-8+12+18+a=22+a
∴f(2)>f(-2)
于是有22+a=20,解得a=-2
∴f(x)=-x3+3x2+9x-2
∴f(x)在[-1,2]上单调递增
∴在(-1,3)上 >0,
又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减，
即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7。
∴ f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的
最大值和最小值。
∴f(-1)=1+3-9-2=-7,
例3、证明：当x>0时，x>ln(1+x)
解：设f(x)=x-ln(1+x).
即x>ln(1+x).
又因为f(x)在x=0处连续，
所以f(x)在x≥0上单调递增，
从而当x>0时，有f(x)=x-ln(1+x)>f(0)=0
练习3:当x>1时,证明不等式:
证:设
显然f(x)在[1,+∞)上连续,且f(1)=0.
显然,当x>1时, ,故f(x)是
[1,+∞)上的增函数.
所以当x>1时,f(x)>f(1)=0,即当x>1时,
例4、求证
证明：设
在x=1附近 由负到正
令 =0,解得x=1,
当x=1时，f(x)有极小值，这里也是最小值
所以当x>0时，f(x) ≥f(1)=0
从而
小 结:
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值
(极大值与极小值);
②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下