5.3.4生活中的优化问题举例 课件（共26张PPT）

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5.3.4 生活中的优化问题举例
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具。本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。
创设情景
一般地，若函数y=f (x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的
曲线，则求f (x) 的最值的步骤是：
（1）求出y=f (x)在[a，b]内的极值(极大值与极小值)；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较，
其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点，
则这个极值一定是最值。
y
o
a
x1
x2
x3
x4
b
x
例1：海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
图3.4-1
分析：已知版心的面积，你会如何建立函数关系表示海报四周的面积呢？
你还有其他方法求这个最值吗？
因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，
当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
解法二：由解法(一)得
2.在实际应用题目中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最大值或最小值.
1.设出变量找出函数关系式；确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义。
(所求区间的也适用于开区间或无穷区间)
一条长为 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，
要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
则两个正方形面积和为
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0由问题的实际意义可知：
规格（L） 2 0.65 0.35
价格（元） 6 3.5 2.5
例2、饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗
思考：
（1）你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些 你想从数学上知道它的道理吗
（2）是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大
某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pir2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，
（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
背景知识：
r (0，2) 2 (2，6]
f '(r) 0
f (r)
-
+
减函数↘
增函数↗
-1.07p
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增，
即半径越大，利润越高；
当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减，
即半径越大，利润越低．
2.半径为２cm 时，利润最小，这时
表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，
此时利润是负值。
。
1.半径为６cm时，利润最大。
图1.4-4
由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。
优化问题
用函数表示的数学问题
用导数解决数学问题
优化问题的答案
解决优化问题的一般步骤：
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，
找出问题的主要关系；
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，
建立相应的数学模型；
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数
学方法求解；
(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的
判断，确定其答案。
注意：实际应用中，准确地列出函数解析式并确定函数的定义域是关键。
习题3.4
A组 2, 3, 5
必做题:
1.已知:某商品生产成本Ｃ与产量q的函数关系式为
, 价格p与产量q的函数关系式为
,求产量 q 为何值时，利润 L 最大？
选做题:
分析:
法一:这是一个几何最值问题,本题可用对称性技巧获得解决.
法二:只要能把 AE+BE代数化,问题就易解决
例2:某种圆柱形的饮料罐的容积为定值V时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省
R
h
解 :设圆柱的高为h,底面半径为R.
则表面积为
又 ( 定值),
即h=2R.
可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.
答 ：罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？