5.3.2 函数的极值与导数(二) 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
5.3.2　函数的极值与导数(二)
学习目标
1.能根据极值点与极值的情况求参数范围.
2.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题.
问题导学
达标检测
题型探究
内容索引
问题导学
1.极小值点与极小值
(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都 ，并且f′(a)＝0.
(2)符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.
(3)结论：点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
小
2.极大值点与极大值
(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都 ，并且f′(b)＝0.
(2)符号：在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.
(3)结论：点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
大
3.用导数求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求函数y＝f(x)的导数f′(x)；
(3)求出方程f′(x)＝0在定义域内的所有实根，并将定义域分成若干个子区间；
(4)以表格形式检查f′(x)＝0的所有实根两侧的f′(x)是否异号，若异号则是极值点，否则不是极值点.
题型探究
类型一　由极值的存在性求参数的范围
解析　f′(x)＝x2－2x＋a，由题意，得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.
解析
答案
(－∞，1)
(2)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是
A.(－∞，0) B.
C.(0,1) D.(0，＋∞)
解析
答案
√
解析　∵f(x)＝x(ln x－ax)，
∴f′(x)＝ln x－2ax＋1，且f(x)有两个极值点，
∴f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，
∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
又∵当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，而g(x)max＝g(1)＝1，
解　f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得f′(－1)＝1＋2＋a＝0，
解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，经验证可知，f(x)在x＝－1处取得极大值.
解答
引申探究
1.若本例(1)中函数的极大值点是－1，求a的值.
解　由题意，得方程x2－2x＋a＝0有两个不等正根，设为x1，x2，
解答
2.若本例(1)中函数f(x)有两个极值点，均为正值，求a的取值范围.
故a的取值范围是(0,1).
反思与感悟　函数的极值与极值点的情况应转化为方程f′(x)＝0根的问题.
解答
当00，当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴函数f(x)在x＝1处取得极大值.
类型二　利用函数极值解决函数零点问题
解析
答案
∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2).
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
且f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增.
根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，
解答
解　由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，
则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点.
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，
当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：
x 4 (4，＋∞)
g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
反思与感悟　利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
解答
跟踪训练2　若2ln(x＋2)－x2－x＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围.
解　令g(x)＝2ln(x＋2)－x2－x＋b，
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x (－2,0) 0 (0，＋∞)
g′(x) ＋ 0 －
g(x) ↗ 极大值 ↘
由上表可知，函数在x＝0处取得极大值，极大值为g(0)＝2ln 2＋b.
故实数b的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3].
达标检测
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1.下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的函数是
①y＝x3；　②y＝x2＋1；
③y＝|x|；　④y＝2x.
A.①② B.②③
C.③④ D.①③
解析
答案
√
解析　①④为单调函数，无极值.
2.函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为
A.1，－3 B.1,3
C.－1,3 D.－1，－3
√
解析　∵f′(x)＝3ax2＋b，
由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，
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答案
解析
3.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为
A.(－1,2) B.(－3,6)
C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.(－∞，－3)∪(6，＋∞)
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6.
因为函数f(x)既有极大值又有极小值，
所以Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
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解析
√
答案
4.若函数f(x)＝x3－3ax＋1在区间(0,1)内有极小值，则a的取值范围为_____.
(0,1)
解析　f′(x)＝3x2－3a.
当a≤0时，在区间(0,1)上无极值.
答案
解析
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解答
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5.已知函数f(x)＝x3－12x＋4，讨论方程f(x)＝m的解的个数.
解　由题意知，f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2).
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以f(x)极小值＝f(2)＝－12，f(x)极大值＝f(－2)＝20.
又因为f(x)的定义域是R，画出函数图象(图略)，
所以当m>20或m<－12时，方程f(x)＝m有一个解；
当m＝20或m＝－12时，方程f(x)＝m有两个解；
当－12x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
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1.研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标.
2.事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
规律与方法
谢谢！