5.2.3函数的极值 课件（共29张PPT）

数学
新教材 《选择性必修二》
第五章　一元函数的导数及其应用
5.2.3函数的极值
同学们，前面我们通过对函数的求导，摸清了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以展开想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.这就是我们今天要研究的函数的极值.
导语
新知学习
新教材《选择性必修二》
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致．在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，它却是其附近的最低点．
本课内容
新教材《选择性必修二》
函数的极值
一、函数极值概念的理解
二、求函数的极值
三、由极值求参数的值或范围
一、函数极值概念的理解
问题1　如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？
提示　在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷.
新知学习
新教材《选择性必修二》
问题2　你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？
提示　以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f′(x)>0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，且有f′(x)<0，函数图象是连续不断的，f′(x)的变化也是连续不断的，并且有f′(x1)＝0.
新知学习
新教材《选择性必修二》
知识梳理
极值点与极值的概念
1.极小值点与极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧 ，右侧 ，则把a叫做函数y＝f(x)的　　　　，f(a)叫做函数y＝f(x)的　　　.
f′(x)＜0
f′(x)＞0
极小值点
极小值
新教材《选择性必修二》
2.极大值点与极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧　　　　　，右侧　　　　　，则把b叫做函数y＝f(x)的　　　　，f(b)叫做函数y＝f(x)的　　　.
3.极大值点、极小值点统称为　　　，极大值和极小值统称为　　.
f′(x)＞0
f′(x)＜0
极大值点
极大值
极值点
极值
新教材《选择性必修二》
注意：(1)极值点不是点；
(2)极值是函数的局部性质；
(3)函数的极值不唯一；
(4)极大值与极小值两者的大小不确定；
(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；
(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，
即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，
函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点.
新教材《选择性必修二》
知识梳理
例1　函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
③⑤
新知学习
新教材《选择性必修二》
解析　对于①，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以①错误；
当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以②错误；
对于③，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以③正确；
对于④，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确.
新知学习
新教材《选择性必修二》
反思感悟　解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值.
新教材《选择性必修二》
跟踪练习
新教材《选择性必修二》
跟踪训练1　已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
√
解析　由图象，设f′(x)与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c，d，
其中c所以此时函数f(x)在(－∞，c)，(d，b)上单调递增，
在(c，d)上，f′(x)<0，此时f(x)在(c，d)上单调递减，
所以x＝c时，函数取得极大值，x＝d时，函数取得极小值.
则函数y＝f(x)的极小值点的个数为1.
新知学习
新教材《选择性必修二》
二、求函数的极值
例2　求下列函数的极值：
典例分析
新教材《选择性必修二》
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；
解　函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－6x－9，
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，
且f(－1)＝10；
当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.
例5. 求函数????????=13????3?4????+4的极值.
?
解：因为 ????????=13????3?4????+4 的定义域为R，所以
????′????=????2?4 =(????+2)(?????2)
令????′????=0,解得：????1=?2,????2=2
当????变化时，????′????， ????????，的变化情况如下表
?
因此，当????=?2时，????????有极大值，极大值为?????2= 283;
?
典例解析
当????=2时，????????有极小值，极小值为????2=- 43.
?
典例分析
新教材《选择性必修二》
反思感悟　函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求方程f′(x)＝0的根.
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
新教材《选择性必修二》
跟踪训练2　求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－x；
跟踪训练
新教材《选择性必修二》
解　函数f(x)的定义域为R.
当x变化时，f(x)和f′(x)变化情况如下表：
解　函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
单调递减
0
单调递增
4e－2
单调递减
因此当x＝0时，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝0；
当x＝2时，f(x)取得极大值，
(2)f(x)＝x2e－x.
跟踪训练
新教材《选择性必修二》
三、由极值求参数的值或范围
例3　(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝_____，b＝_____.
4
－11
新知学习
新教材《选择性必修二》
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
但由于当a＝－3，b＝3时，
f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，
不符合题意，应舍去.
而当a＝4，b＝－11时，符合题意，
故a，b的值分别为4，－11.
新知学习
新教材《选择性必修二》
解　f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示.
解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞).
新教材《选择性必修二》
反思感悟　已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件.
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.
跟踪训练3　若函数f(x)＝ x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同
跟踪训练
新教材《选择性必修二》
∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2).
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
的交点，则实数a的取值范围是__________.
且f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增.
根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，
跟踪训练
新教材《选择性必修二》
1.知识清单：
2.方法归纳：3.常见误区：
课堂小结
学了哪些知识
用了哪些方法
新教材《选择性必修二》
可能出错的地方：
(1)函数极值的定义.
(2)函数极值的判定及求法.
(3)函数极值的应用.
方程思想、分类讨论.
导数值等于零与为极值点的关系.
回顾小结