5.3.3函数的最大(小)值与导数(二) 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
5.3.3　函数的最大(小)值与导数(二)
学习目标
1.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.
2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题.
问题导学
达标检测
题型探究
内容索引
问题导学
(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；
(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；
(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表；
(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；
(5)求区间端点的函数值；
(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.
知识点　用导数求函数f(x)最值的基本方法
题型探究
类型一　由极值与最值关系求参数范围
例1　若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是
A.(－1， ) B.(－1,4)
C.(－1,2] D.(－1,2)
解析
答案
√
解析　由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，
且当x＝2时，f(x)＝－2.∴a≤2.
综上，－1x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ －2 ↗ 2 ↘
反思与感悟　函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内.
跟踪训练1　若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围是
A.(0,1) B.(－∞，1)
C.(0，＋∞) D.
解析
答案
√
解析　由题意得，函数f(x)＝x3－6bx＋3b的导数f′(x)＝3x2－6b在(0,1)内有零点，
且f′(0)<0，f′(1)>0，即－6b<0，且(3－6b)>0，
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；
类型二　与最值有关的恒成立问题
解答
解　由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)解答
因为f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值.
要使f(x)f(2)＝2＋c，
解得c<－1或c>2.
故实数c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).
引申探究　
若本例中条件不变，“把(2)中对x∈[－1,2]，不等式f(x)因为存在x∈[－1,2]，不等式f(x)解得c∈R.故实数c的取值范围为R.
解答
反思与感悟　分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝2xln x，g(x)＝－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，则a的取值范围是__________.
解析　由2xln x≥－x2＋ax－3，
(－∞，4]
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增.
∴h(x)min＝h(1)＝4.∴a≤4.
解析
答案
解答
所以f′(1)＝1，所以L的方程为y＝x－1.
②证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方.
证明　设g(x)＝x－1－f(x)，除切点外，曲线C在直线L的下方等价于 x>0且x≠1，g(x)>0.
当0故g(x)在(0,1)上单调递减；
当x>1时，x2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，
故g(x)在(1，＋∞)上单调递增；
所以， x>0且x≠1，g(x)>g(1)＝0.
所以除切点外，曲线C在直线L的下方.
证明
达标检测
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1.函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是
解析
答案
√
解析　f′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)，
∴当0≤x≤1时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，
当1≤x≤4时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，
2.函数f(x)＝xln x的最小值为
√
解析　∵f(x)＝xln x，定义域是(0，＋∞)，
∴f′(x)＝1＋ln x，
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解析
答案
3.已知函数f(x)＝ex－x＋a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是
A.(－1，＋∞) B.(－∞，－1)
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－1]
解析　f′(x)＝ex－1，
令f′(x)>0，解得x>0，
令f′(x)<0，解得x<0，
故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)min＝f(0)＝1＋a，
若f(x)>0恒成立，则1＋a>0，解得a>－1，故选A.
√
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解析
答案
4.已知函数f(x)＝x3－3x2＋2，x1，x2是区间[－1,1]上任意两个值，M≥|f(x1)－f(x2)|恒成立，则M的最小值是___.
4
解析　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
当－1≤x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当0所以当x＝0时，f(x)取得极大值，也为最大值，f(0)＝2，
又f(－1)＝－2，f(1)＝0，
所以f(x)的最小值为－2，
对[－1,1]上任意x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝4，
所以M≥|f(x1)－f(x2)|恒成立，等价于M≥4，即M的最小值为4.
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答案
解析
5.已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数.
(1)试确定a，b的值；
解　由f(x)在x＝1处取得极值－3－c知f(1)＝b－c＝－3－c，得b＝－3.
解答
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由f′(1)＝0，得a＋4b＝0，a＝－4b＝12.
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(2)讨论函数f(x)的单调区间；
解　由(1)知f′(x)＝48x3ln x(x>0).
令f′(x)＝0，得x＝1.
当0当x>1时，f′(x)>0，f(x)为增函数.
因此，f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞).
解答
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(3)若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求实数c的取值范围.
解　由(2)知f(1)＝－3－c既是极小值，也是(0，＋∞)内的最小值，
要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，只需－3－c≥－2c2，即2c2－c－3≥0.
解答
1.若函数在开区间内存在最值，则极值点必落在已知区间内.
2.已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；若不能分离，则构造函数，利用函数的性质求最值.
规律与方法
谢谢！