第3讲 自由落体运动和竖直上抛运动 多过程问题
目标要求 1.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点，知道竖直上抛运动的对称性.2.能灵活处理多过程问题．
考点一 自由落体运动
自由落体运动
(1)运动特点：初速度为0，加速度为g的匀加速直线运动．
(2)基本规律：
①速度与时间的关系式：v＝gt.
②位移与时间的关系式：x＝gt2.
③速度与位移的关系式：v2＝2gx.
(3)方法技巧：
①比例法等初速度为0的匀变速直线运动规律都适用．
②Δv＝gΔt.相同时间内，竖直方向速度变化量相同．
③位移差公式：Δh＝gT2.
1．重的物体总是比轻的物体下落得快．( × )
2．同一地点，轻重不同的物体的g值一样大．( √ )
3．自由落体加速度的方向垂直地面向下．( × )
4．做自由落体运动的物体在1 s内速度增加约9.8 m/s.( √ )
考向1 自由落体运动基本公式的应用
例1 如图所示木杆长5 m，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下(不计空气阻力)，木杆通过悬点正下方20 m处的圆筒AB，圆筒AB长为5 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)木杆通过圆筒的上端A所用的时间t1；
(2)木杆通过圆筒AB所用的时间t2.
答案 (1)(2－) s (2)(－) s
解析 (1)木杆由静止开始做自由落体运动，
设木杆的下端到达圆筒上端A所用的时间为t下A
h下A＝gt下A2
h下A＝20 m－5 m＝15 m
解得t下A＝ s
设木杆的上端到达圆筒上端A所用的时间为t上A
h上A＝gt上A2
解得t上A＝2 s
则木杆通过圆筒上端A所用的时间
t1＝t上A－t下A＝(2－) s
(2)设木杆的上端到达圆筒下端B所用的时间为t上B
h上B＝gt上B2
h上B＝20 m＋5 m＝25 m
解得t上B＝ s
则木杆通过圆筒所用的时间t2＝t上B－t下A＝(－) s.
考向2 自由落体运动中的“比例关系”问题
例2 一石块从楼房阳台边缘做自由落体运动，到达地面，若把它在空中运动的距离分为相等的三段，如果它在第一段距离内所用的时间是1 s，则它在第三段距离内所用的时间是(g取10 m/s2)( )
A．(－) s B. s C. s D．(－1) s
答案 A
解析 根据由自由落体运动规律，石块下落连续相等距离所用时间之比为：1∶(－1)∶(－)，则它在第三段距离内所用的时间为(－) s，故选A.
考向3 自由落体运动中的“两物体先后下落”问题
例3 从高度为125 m的塔顶先后自由释放a、b两球，自由释放这两个球的时间差为1 s，g取10 m/s2，不计空气阻力，以下判断正确的是( )
A．b球下落高度为20 m时，a球的速度大小为20 m/s
B．a球接触地面瞬间，b球离地高度为45 m
C．在a球接触地面之前，两球保持相对静止
D．在a球接触地面之前，两球离地的高度差恒定
答案 B
解析 b球下落高度为20 m时t1＝＝ s＝2 s，则A下降了3 s，A的速度为v＝30 m/s，故A错误；A球下降的总时间为：t2＝ s＝5 s，此时B下降4 s，B的下降高度为：h′＝×10×42 m＝80 m，故B离地面的高度为hB＝(125－80) m＝45 m，故B正确；由自由落体的规律可得，在a球接触地面之前，两球的速度差恒定，两球离地的高度差变大，故C、D错误．
考点二 竖直上抛运动
竖直上抛运动
(1)运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速运动，下降阶段做自由落体运动．
(2)基本规律
①速度与时间的关系式：v＝v0－gt；
②位移与时间的关系式：x＝v0t－gt2.
1．物体做竖直上抛运动，速度为负值时，位移也一定为负值．( × )
2．做竖直上抛运动的物体，在上升过程中，速度变化量方向是竖直向下的．( √ )
1.重要特性(如图)
(1)对称性
①时间对称：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理tAB＝tBA.
②速度对称：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等．
(2)多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性．
2．研究方法
分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动 下降阶段：自由落体运动
全程法 初速度v0向上，加速度为－g的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向) 若v＞0，物体上升；若v＜0，物体下落 若h＞0，物体在抛出点上方；若h＜0，物体在抛出点下方
考向1 竖直上抛运动的对称性
例4 一个从地面上竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔是5 s，两次经过一个较高点B的时间间隔是3 s，则A、B之间的距离是(不计空气阻力，g＝10 m/s2)( )
A．80 m B．40 m
C．20 m D．无法确定
答案 C
解析 物体做竖直上抛运动，根据运动时间的对称性得，物体从最高点自由下落到A点的时间为，从最高点自由下落到B点的时间为，A、B间距离为：hAB＝g[()2－()2]＝×10
×(2.52－1.52) m＝20 m，故选C.
考向2 竖直上抛运动的多解性
例5 (多选)从高为20 m的位置以20 m/s的初速度竖直上抛一物体，g取10 m/s2，当物体到抛出点距离为15 m时，所经历的时间可能是( )
A．1 s B．2 s
C．3 s D．(2＋) s
答案 ACD
解析 取竖直向上方向为正方向，当物体运动到抛出点上方离抛出点15 m时，位移为x＝
15 m，由竖直上抛运动的位移公式得x＝v0t－gt2，解得t1＝1 s，t2＝3 s；当物体运动到抛出点下方离抛出点15 m时，位移为x′＝－15 m，由x′＝v0t－gt2，解得t＝(2＋) s或t＝(2－) s(负值舍去)，选项A、C、D正确，B错误．
考向3 竖直上抛和自由落体运动相遇问题
例6 (多选)如图所示，乙球静止于地面上，甲球位于乙球正上方h处，现从地面上竖直上抛乙球，初速度v0＝10 m/s，同时让甲球自由下落，不计空气阻力．(取g＝10 m/s2，甲、乙两球可看作质点)下列说法正确的是( )
A．无论h为何值，甲、乙两球一定能在空中相遇
B．当h＝10 m时，乙球恰好在最高点与甲球相遇
C．当h＝15 m时，乙球能在下落过程中与甲球相遇
D．当h<10 m时，乙球能在上升过程中与甲球相遇
答案 BCD
解析 设两球在空中相遇，所需时间为t，根据运动学公式可得gt2＋v0t－gt2＝h，可得t＝，而乙球的落地时间t1＝，两球在空中相遇的条件是t考点三 多过程问题
1．一般的解题步骤
(1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观呈现物体运动的全过程．
(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，设出中间量．
(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程．
2．解题关键
多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对连接点速度的求解往往是解题的关键．
例7 在一次低空跳伞演练中，当直升机悬停在离地面224 m高处时，伞兵离开飞机做自由落体运动．运动一段时间后，打开降落伞，展伞后伞兵以12.5 m/s2的加速度匀减速下降．为了伞兵的安全，要求伞兵落地速度最大不得超过5 m/s.(g取10 m/s2)求：
(1)伞兵展伞时，离地面的高度至少为多少；
(2)以5 m/s着地时相当于从多高处自由落下；
(3)伞兵在空中的最短时间为多少．
答案 (1)99 m (2)1.25 m (3)8.6 s
解析 (1)设伞兵展伞时，离地面的高度至少为h，此时速度为v0，
则有v2－v02＝－2ah
v02＝2g(H－h)
联立解得h＝99 m，v0＝50 m/s
(2)以5 m/s的速度落地相当于从h1高处自由落下
h1＝＝1.25 m
(3)落地时速度刚好为5 m/s时在空中的时间最短．
设加速时间为t1，减速时间为t2，
t1＝＝5 s
t2＝＝3.6 s
总时间为t＝t1＋t2＝8.6 s.
例8 (2022·黑龙江牡丹江一中月考)一物体(可视为质点)以4 m/s的速度滑上光滑固定斜面，做加速度大小为2 m/s2的匀减速直线运动，经过一段时间后上滑到最高点C点速度恰好减为零，途经A、B两点，然后又以相同大小的加速度下滑到斜面底端D点，已知BC＝25 cm，求：
(1)物体第一次经过B点的速度；
(2)物体由底端D点滑到B点所需要的时间．
答案 (1)1 m/s，方向沿斜面向上 (2)第一次滑到B点用时1.5 s，第二次滑到B点用时2.5 s
解析 (1)从B到C是匀减速直线运动，末速度为零，逆向思维，从C到B是初速度为零的匀加速直线运动，以沿斜面向下为正方向，
加速度a1＝2 m/s2，位移大小为xBC＝25 cm＝0.25 m
根据位移—时间关系式，有xBC＝a1t12
解得t1＝0.5 s
再根据速度－时间关系式，有v1＝a1t1
解得v1＝1 m/s
故第一次经过B点时速度大小为1 m/s，方向沿斜面向上
(2)以沿斜面向上为正方向，对从D到B过程，由v1＝v0＋at
可得从D上滑第一次到达B点所用时间为：t＝＝ s＝1.5 s
由对称性可知：tBC＝tCB＝t1＝0.5 s
则t′＝t＋2tBC＝1.5 s＋0.5×2 s＝2.5 s.
课时精练
1．伽利略为了研究自由落体的规律，将落体实验转化为著名的“斜面实验”，从而创造了一种科学研究的方法．利用斜面实验主要是考虑到实验时便于测量小球运动的( )
A．速度 B．时间
C．路程 D．加速度
答案 B
2．(多选)物理图象能直观地反映物理量间的变化关系．关于自由落体运动的规律，下列各物理量的图象正确的是(g取10 m/s2)( )
答案 AC
解析 根据速度与时间的关系式，有v＝gt＝10t∝t，故A正确，B错误；自由落体运动的加速度始终等于重力加速度g，故C正确；根据位移与时间的关系式，有x＝gt2＝5t2，x∝t2，故D错误．
3．一名宇航员在某星球上做自由落体运动实验，让一个质量为2 kg的小球从一定的高度自由下落，测得在第4 s内的位移是42 m，球仍在空中运动，则( )
A．小球在2 s末的速度大小是16 m/s
B．该星球上的重力加速度为12 m/s2
C．小球在第4 s末的速度大小是42 m/s
D．小球在0～4 s内的位移是80 m
答案 B
解析 设该星球的重力加速度为g，第4 s内的位移是42 m，有gt42－gt32＝42 m，t4＝4 s，t3＝3 s，解得g＝12 m/s2，所以小球在2 s末的速度大小为v2＝gt2＝24 m/s，故A错误，B正确；小球在第4 s末的速度大小是v4＝gt4＝48 m/s，故C错误；小球在0～4 s内的位移是x4＝gt42＝96 m，故D错误．
4．(多选)物体以初速度v0竖直上抛，经3 s到达最高点，空气阻力不计，g取10 m/s2，则下列说法正确的是( )
A．物体的初速度v0为60 m/s
B．物体上升的最大高度为45 m
C．物体在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为5∶3∶1
D．物体在前1 s内、前2 s内、前3 s内的平均速度之比为9∶4∶1
答案 BC
解析 物体做竖直上抛运动，有h＝v0t－gt2①
v＝v0－gt②
联立①②可得v0＝30 m/s，h＝45 m，故A错误，B正确；物体在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移分别为25 m、15 m、5 m，已知＝，故在相等时间内的平均速度之比为1∶
2∶3＝x1∶x2∶x3＝5∶3∶1，物体在前1 s内、前2 s内、前3 s内的平均速度之比为
1′∶2′∶3′＝∶∶＝5∶4∶3，故C正确，D错误．
5．(2019·全国卷Ⅰ·18)如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H.上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t2.不计空气阻力，则满足( )
A．1<<2 B．2<<3
C．3<<4 D．4<<5
答案 C
解析 由逆向思维和初速度为零的匀加速直线运动比例式可知＝＝2＋，即3<<4，选项C正确．
6.如图所示，地面上方离地面高度分别为h1＝6L，h2＝4L，h3＝3L的三个金属小球a、b、c.若先后释放a、b、c，三球刚好同时落到地面上，不计空气阻力，重力加速度为g，则( )
A．b与a开始下落的时间差等于c与b开始下落的时间差
B．三小球运动时间之比为∶2∶1
C．a比b早释放的时间为2(－)
D．三小球到达地面时的速度大小之比是6∶4∶3
答案 C
解析 由h＝gt2，可得ta＝，tb＝，tc＝，则(ta－tb)>(tb－tc)，三小球运动时间之比为∶2∶，a比b早释放的时间为Δt＝ta－tb＝2(－)，选项A、B错误，C正确；根据v2＝2gh可计算出三小球到达地面时的速度大小之比是∶2∶，选项D错误．
7．为了测一口枯井的深度，用一把玩具小手枪从井口竖直向下打出颗弹珠，1 s后听到弹珠撞击井底的声音，然后再用玩具小手枪从井口竖直向上打出另一颗弹珠，2 s后听到弹珠从井口落回井底撞击的声音，假设弹珠从枪口射出速度大小不变，忽略声音传播时间及空气阻力．g＝10 m/s2，则( )
A．枯井的深度为5 m
B．弹珠从枪口射出速度大小为10 m/s
C．向下打出一颗弹珠运动过程平均速度为5 m/s
D．两次打出弹珠方式，弹珠到达井底的速度都为15 m/s
答案 D
解析 由h＝v0t1＋gt12，h＝－v0t2＋gt22，解得v0＝5 m/s，h＝10 m，故A、B项错误；向下打出一颗弹珠运动过程平均速度＝10 m/s，C项错误；根据对称性，两次打出弹珠方式，弹珠到达井底的速度一样，都为vt＝15 m/s，D项正确．
8．屋檐离地面的高度为45 m，每隔相等时间滴下一滴水，当第7滴水刚滴下时，第一滴水恰好落到地面上，则第3滴水与第5滴水的高度差为( )
A．5 m B．10 m C．15 m D．20 m
答案 C
解析 根据题意画出雨滴下落过程的示意图如图所示，根据自由落体运动的规律可知，在连续相等的时间内位移之比为1∶3∶5…，所以第3滴水与第5滴水的高度差h＝H＝H＝15 m，故C正确，A、B、D错误．
9．(多选)矿井中的升降机以5 m/s的速度竖直向上匀速运行，某时刻一螺钉从升降机底板松脱，经过3 s升降机底板上升至井口，此时松脱的螺钉刚好落到井底，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．螺钉松脱后做自由落体运动
B．矿井的深度为45 m
C．螺钉落到井底时的速度大小为25 m/s
D．螺钉随升降机从井底出发到落回井底共用时6 s
答案 BC
解析 螺钉松脱时具有与升降机相同的向上的初速度，故螺钉脱落后做竖直上抛运动，选项A错误；取竖直向下为正方向，由运动学公式可得，螺钉自脱落至井底的位移h1＝－v0t＋gt2＝30 m，升降机这段时间的位移h2＝v0t＝15 m，故矿井的深度为h＝h1＋h2＝45 m，选项B正确；螺钉落到井底时速度大小为v＝－v0＋gt＝25 m/s，选项C正确；螺钉松脱前运动的位移为h1＝v0t′，解得t′＝6 s，所以螺钉运动的总时间为t＋t′＝9 s，选项D错误．
10.在某星球表面，t＝0时刻小球以初速度v0开始做竖直上抛运动，取抛出位置位移x＝0，以v0方向为正方向，则小球位移x随速度的平方v2变化的x－v2图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．小球的初速度为100 m/s
B．小球位移x＝5 m时对应的运动时间为2 s
C．小球加速度与初速度方向相反
D．图中m点坐标值为－7.2
答案 C
解析 t＝0时x＝0，由题图知v02＝100 (m/s)2，所以小球的初速度v0＝10 m/s，选项A错误；由v2－v02＝2ax得x＝－，图线斜率k＝＝－，解得a＝－10 m/s2，小球位移x＝5 m时v＝0，所以对应运动时间t＝＝1 s，选项B错误，C正确；由题图可知＝，解得m＝－2.2，选项D错误．
11．(2022·陕西省黄陵县中学月考)某消防员在一次执行任务过程中，遇到突发事件，需从
10 m长的直杆顶端先从静止开始匀加速下滑，加速度大小a1＝8 m/s2，然后立即匀减速下滑，减速时的最大加速度a2＝4 m/s2，若落地时的速度不允许超过4 m/s，把消防员看成质点，求该消防员下滑全过程的最短时间．
答案 2 s
解析 设匀加速直线运动的最大速度为v，加速下滑部分长为h1，减速下滑部分长为h2，最大速度为v，落地速度为v1，由速度位移公式h1＝，h2＝，h1＋h2＝h，v＝a1t1
联立以上各式解得v＝8 m/s，t1＝1 s
落地前的速度为v1＝4 m/s
由v1＝v－a2t2
解得t2＝1 s
该消防员下滑全过程的最短时间为t＝t1＋t2＝2 s.
12.某人从同一点P以相同的速度先后竖直向上抛出两小球A、B，两球的v－t图象分别如图中A、B所示，不计空气阻力，不考虑两球相撞，g取10 m/s2.下列说法正确的是( )
A．B球上升0.15 m时和A球相遇
B．若抛出两球的时间差合适，A球可以在上升过程中和B相遇
C．t＝0.2 s和t＝0.3 s时，两球的间距相等
D．t＝0到t＝0.3 s，A球运动的平均速度大小为 m/s
答案 C
解析 由题图可知，小球初速度为v0＝2 m/s，上升时间为t0＝0.2 s，上升最大高度为H＝＝0.2 m，B球比A球晚Δt＝0.1 s抛出．B球上升0.15 m时，有hB＝v0tB－gtB2，代入数据解得tB＝0.1 s或tB＝0.3 s(舍去)，则可知A球抛出时间为tA＝tB＋Δt＝0.2 s，则可知此时A球上升到最大高度0.2 m处，故两球没有相遇，故A错误；因两球初速度相同，故A球不可能在上升过程中和B球相遇，故B错误；当t＝0.2 s时，两球间距为Δh1＝(×2×0.2－0.15) m＝0.05 m，当t＝0.3 s时，B球上升到最大高度，A球从最大高度下降h′＝×10×0.12 m＝
0.05 m，则两球间距为Δh2＝0.05 m，故C正确；t＝0到t＝0.3 s，A球的位移为h＝v0t－gt2＝0.15 m，则A球运动的平均速度大小为＝＝0.5 m/s，故D错误．(共62张PPT)
第一章 运动的描述 匀变速直线运动
第3讲 自由落体运动和竖直上
抛运动 多过程问题
目标
要求
1.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点，知道竖直上抛运动的对称性.2.能灵活处理多过程问题.
内容
索引
考点一 自由落体运动
考点二 竖直上抛运动
考点三 多过程问题
课时精练
考点一
自由落体运动
自由落体运动
(1)运动特点：初速度为 ，加速度为 的匀加速直线运动.
(2)基本规律：
①速度与时间的关系式：v＝ .
②位移与时间的关系式：x＝_____.
③速度与位移的关系式：v2＝ .
夯实必备知识
基础梳理
0
gt
2gx
g
(3)方法技巧：
①比例法等初速度为0的匀变速直线运动规律都适用.
②Δv＝gΔt.相同时间内，竖直方向速度变化量 .
③位移差公式：Δh＝gT2.
相同
1.重的物体总是比轻的物体下落得快.( )
2.同一地点，轻重不同的物体的g值一样大.( )
3.自由落体加速度的方向垂直地面向下.( )
4.做自由落体运动的物体在1 s内速度增加约9.8 m/s.( )
√
×
×
√
例1 如图所示木杆长5 m，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下(不计空气阻力)，木杆通过悬点正下方20 m处的圆筒AB，圆筒AB长为5 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)木杆通过圆筒的上端A所用的时间t1；
考向1 自由落体运动基本公式的应用
木杆由静止开始做自由落体运动，
设木杆的下端到达圆筒上端A所用的时间为t下A
h下A＝20 m－5 m＝15 m
设木杆的上端到达圆筒上端A所用的时间为t上A
解得t上A＝2 s
则木杆通过圆筒上端A所用的时间
(2)木杆通过圆筒AB所用的时间t2.
设木杆的上端到达圆筒下端B所用的时间为t上B
h上B＝20 m＋5 m＝25 m
例2 一石块从楼房阳台边缘做自由落体运动，到达地面，若把它在空中运动的距离分为相等的三段，如果它在第一段距离内所用的时间是1 s，则它在第三段距离内所用的时间是(g取10 m/s2)
√
考向2 自由落体运动中的“比例关系”问题
例3 从高度为125 m的塔顶先后自由释放a、b两球，自由释放这两个球的时间差为1 s，g取10 m/s2，不计空气阻力，以下判断正确的是
A.b球下落高度为20 m时，a球的速度大小为20 m/s
B.a球接触地面瞬间，b球离地高度为45 m
C.在a球接触地面之前，两球保持相对静止
D.在a球接触地面之前，两球离地的高度差恒定
√
考向3 自由落体运动中的“两物体先后下落”问题
由自由落体的规律可得，在a球接触地面之前，两球的速度差恒定，两球离地的高度差变大，故C、D错误.
考点二
竖直上抛运动
竖直上抛运动
(1)运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速运动，下降阶段做 运动.
(2)基本规律
①速度与时间的关系式： ；
自由落体
夯实必备知识
基础梳理
v＝v0－gt
1.物体做竖直上抛运动，速度为负值时，位移也一定为负值.
( )
2.做竖直上抛运动的物体，在上升过程中，速度变化量方向是竖直向下的.( )
√
×
1.重要特性(如图)
(1)对称性
①时间对称：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中
从C→A所用时间tCA相等，同理tAB＝tBA.
②速度对称：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点
的速度大小相等.
(2)多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性.
提升关键能力
方法技巧
分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动
下降阶段：自由落体运动
全程法 初速度v0向上，加速度为－g的匀变速直线运动，v＝v0－gt，
h＝v0t－ gt2(以竖直向上为正方向)
若v＞0，物体上升；若v＜0，物体下落
若h＞0，物体在抛出点上方；若h＜0，物体在抛出点下方
2.研究方法
例4 一个从地面上竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔是5 s，两次经过一个较高点B的时间间隔是3 s，则A、B之间的距离是(不计空气阻力，g＝10 m/s2)
A.80 m B.40 m
C.20 m D.无法确定
考向1 竖直上抛运动的对称性
√
例5 (多选)从高为20 m的位置以20 m/s的初速度竖直上抛一物体，g取
10 m/s2，当物体到抛出点距离为15 m时，所经历的时间可能是
A.1 s B.2 s C.3 s D.(2＋ ) s
考向2 竖直上抛运动的多解性
√
√
√
例6 (多选)如图所示，乙球静止于地面上，甲球位于乙球正上方h处，现从地面上竖直上抛乙球，初速度v0＝10 m/s，同时让甲球自由下落，不计空气阻力.(取g＝10 m/s2，甲、乙两球可看作质点)下列说法正确的是
A.无论h为何值，甲、乙两球一定能在空中相遇
B.当h＝10 m时，乙球恰好在最高点与甲球相遇
C.当h＝15 m时，乙球能在下落过程中与甲球相遇
D.当h<10 m时，乙球能在上升过程中与甲球相遇
考向3 竖直上抛和自由落体运动相遇问题
√
√
√
由于10 m当h<10 m时，乙球还没有上升到最高点就与甲球相遇，D正确.
考点三
多过程问题
1.一般的解题步骤
(1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观呈现物体运动的全过程.
(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，设出中间量.
(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程.
2.解题关键
多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对连接点速度的求解往往是解题的关键.
例7 在一次低空跳伞演练中，当直升机悬停在离地面224 m高处时，伞兵离开飞机做自由落体运动.运动一段时间后，打开降落伞，展伞后伞兵以12.5 m/s2的加速度匀减速下降.为了伞兵的安全，要求伞兵落地速度最大不得超过5 m/s.(g取10 m/s2)求：
(1)伞兵展伞时，离地面的高度至少为多少；
答案 99 m
设伞兵展伞时，离地面的高度至少为h，此时速度为v0，
则有v2－v02＝－2ah
v02＝2g(H－h)
联立解得h＝99 m，v0＝50 m/s
(2)以5 m/s着地时相当于从多高处自由落下；
答案 1.25 m
以5 m/s的速度落地相当于从h1高处自由落下
(3)伞兵在空中的最短时间为多少.
答案 8.6 s
落地时速度刚好为5 m/s时在空中的时间最短.
设加速时间为t1，减速时间为t2，
总时间为t＝t1＋t2＝8.6 s.
例8 (2022·黑龙江牡丹江一中月考)一物体(可视为质点)以4 m/s的速度滑上光滑固定斜面，做加速度大小为2 m/s2的匀减速直线运动，经过一段时间后上滑到最高点C点速度恰好减为零，途经A、B两点，然后又以相同大小的加速度下滑到斜面底端D点，已知BC＝25 cm，求：
(1)物体第一次经过B点的速度；
答案 1 m/s，方向沿斜面向上
从B到C是匀减速直线运动，末速度为零，逆向思维，从C到B是初速度为零的匀加速直线运动，以沿斜面向下为正方向，
加速度a1＝2 m/s2，位移大小为xBC＝25 cm＝0.25 m
解得t1＝0.5 s
再根据速度－时间关系式，有v1＝a1t1
解得v1＝1 m/s
故第一次经过B点时速度大小为1 m/s，方向沿斜面向上
(2)物体由底端D点滑到B点所需要的时间.
答案 第一次滑到B点用时1.5 s，第二次滑到B点用时2.5 s
以沿斜面向上为正方向，对从D到B过程，由v1＝v0＋at
由对称性可知：tBC＝tCB＝t1＝0.5 s
则t′＝t＋2tBC＝1.5 s＋0.5×2 s＝2.5 s.
课时精练
1.伽利略为了研究自由落体的规律，将落体实验转化为著名的“斜面实验”，从而创造了一种科学研究的方法.利用斜面实验主要是考虑到实验时便于测量小球运动的
A.速度 B.时间 C.路程 D.加速度
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必备基础练
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2.(多选)物理图象能直观地反映物理量间的变化关系.关于自由落体运动的规律，下列各物理量的图象正确的是(g取10 m/s2)
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根据速度与时间的关系式，有v＝gt＝10t∝t，故A正确，B错误；
自由落体运动的加速度始终等于重力加速度g，故C正确；
3.一名宇航员在某星球上做自由落体运动实验，让一个质量为2 kg的小球从一定的高度自由下落，测得在第4 s内的位移是42 m，球仍在空中运动，则
A.小球在2 s末的速度大小是16 m/s
B.该星球上的重力加速度为12 m/s2
C.小球在第4 s末的速度大小是42 m/s
D.小球在0～4 s内的位移是80 m
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小球在第4 s末的速度大小是v4＝gt4＝48 m/s，故C错误；
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4.(多选)物体以初速度v0竖直上抛，经3 s到达最高点，空气阻力不计，g取10 m/s2，则下列说法正确的是
A.物体的初速度v0为60 m/s
B.物体上升的最大高度为45 m
C.物体在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为5∶3∶1
D.物体在前1 s内、前2 s内、前3 s内的平均速度之比为9∶4∶1
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v＝v0－gt ②
联立①②可得v0＝30 m/s，h＝45 m，故A错误，B正确；
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6.如图所示，地面上方离地面高度分别为h1＝6L，h2＝4L，h3＝3L的三个金属小球a、b、c.若先后释放a、b、c，三球刚好同时落到地面上，不计空气阻力，重力加速度为g，则
A.b与a开始下落的时间差等于c与b开始下落的时间差
B.三小球运动时间之比为 ∶2∶1
C.a比b早释放的时间为
D.三小球到达地面时的速度大小之比是6∶4∶3
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7.为了测一口枯井的深度，用一把玩具小手枪从井口竖直向下打出颗弹珠，1 s后听到弹珠撞击井底的声音，然后再用玩具小手枪从井口竖直向上打出另一颗弹珠，2 s后听到弹珠从井口落回井底撞击的声音，假设弹珠从枪口射出速度大小不变，忽略声音传播时间及空气阻力.g＝10 m/s2，则
A.枯井的深度为5 m
B.弹珠从枪口射出速度大小为10 m/s
C.向下打出一颗弹珠运动过程平均速度为5 m/s
D.两次打出弹珠方式，弹珠到达井底的速度都为15 m/s
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解得v0＝5 m/s，h＝10 m，故A、B项错误；
向下打出一颗弹珠运动过程平均速度 ＝10 m/s，C项错误；
根据对称性，两次打出弹珠方式，弹珠到达井底的速度一样，都为vt＝15 m/s，D项正确.
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8.屋檐离地面的高度为45 m，每隔相等时间滴下一滴水，当第7滴水刚滴下时，第一滴水恰好落到地面上，则第3滴水与第5滴水的高度差为
A.5 m B.10 m C.15 m D.20 m
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9.(多选)矿井中的升降机以5 m/s的速度竖直向上匀速运行，某时刻一螺钉从升降机底板松脱，经过3 s升降机底板上升至井口，此时松脱的螺钉刚好落到井底，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确的是
A.螺钉松脱后做自由落体运动
B.矿井的深度为45 m
C.螺钉落到井底时的速度大小为25 m/s
D.螺钉随升降机从井底出发到落回井底共用时6 s
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螺钉松脱时具有与升降机相同的向上的初速度，故螺钉脱落后做竖直上抛运动，选项A错误；
取竖直向下为正方向，由运动学公式可得，螺钉自脱落至井底的位移h1＝－v0t＋ gt2＝30 m，升降机这段时间的位移h2＝v0t＝15 m，故矿井的深度为h＝h1＋h2＝45 m，选项B正确；
螺钉落到井底时速度大小为v＝－v0＋gt＝25 m/s，选项C正确；
螺钉松脱前运动的位移为h1＝v0t′，解得t′＝6 s，所以螺钉运动的总时间为t＋t′＝9 s，选项D错误.
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10.在某星球表面，t＝0时刻小球以初速度v0开始做竖直上抛运动，取抛出位置位移x＝0，以v0方向为正方向，则小球位移x随速度的平方v2变化的x－v2图象如图所示，下列说法正确的是
A.小球的初速度为100 m/s
B.小球位移x＝5 m时对应的运动时间为2 s
C.小球加速度与初速度方向相反
D.图中m点坐标值为－7.2
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t＝0时x＝0，由题图知v02＝100 (m/s)2，
所以小球的初速度v0＝10 m/s，选项A错误；
11.(2022·陕西省黄陵县中学月考)某消防员在一次执行任务过程中，遇到突发事件，需从10 m长的直杆顶端先从静止开始匀加速下滑，加速度大小a1＝8 m/s2，然后立即匀减速下滑，减速时的最大加速度a2＝4 m/s2，若落地时的速度不允许超过4 m/s，把消防员看成质点，求该消防员下滑全过程的最短时间.
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答案 2 s
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设匀加速直线运动的最大速度为v，加速下滑部分长为h1，减速下滑部分长为h2，最大速度为v，落地速度为v1，
联立以上各式解得v＝8 m/s，t1＝1 s
落地前的速度为v1＝4 m/s
由v1＝v－a2t2
解得t2＝1 s
该消防员下滑全过程的最短时间为t＝t1＋t2＝2 s.
12.某人从同一点P以相同的速度先后竖直向上抛出两小球A、B，两球的v－t图象分别如图中A、B所示，不计空气阻力，不考虑两球相撞，g取10 m/s2.下列说法正确的是
A.B球上升0.15 m时和A球相遇
B.若抛出两球的时间差合适，A球可以在上升过程中
和B相遇
C.t＝0.2 s和t＝0.3 s时，两球的间距相等
D.t＝0到t＝0.3 s，A球运动的平均速度大小为
素养提升练
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由题图可知，小球初速度为v0＝2 m/s，上升时间为
t0＝0.2 s，上升最大高度为H＝ ＝0.2 m，B球比A
球晚Δt＝0.1 s抛出.B球上升0.15 m时，有hB＝v0tB－
gtB2，代入数据解得tB＝0.1 s或tB＝0.3 s(舍去)，则可知A球抛出时间为tA＝tB＋Δt＝0.2 s，则可知此时A球上升到最大高度0.2 m处，故两球没有相遇，故A错误；
因两球初速度相同，故A球不可能在上升过程中和B球相遇，故B错误；
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