北师大新版七年级（下）《第4章 三角形》单元测试卷（1）
一、选择题（共10小题）
1．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE、下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（ ）
A．150° B．180° C．210° D．225°
4．若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
5．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
6．如图△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（ ）
A．19.2° B．8° C．6° D．3°
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
8．如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：CA＝2：3，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ABC的面积是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．如图中三角形的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
A．BD＝DC，AB＝AC B．∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CAD
C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC
二、填空题（共10小题）
11．如图，已知△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，若∠A＝50°，则∠D＝ 度．
12．如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带来第 块去配，其依据是根据定理 （可以用字母简写）
13．如图，在△ABC，∠C＝90°，∠ABC＝40°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为 ．
14．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝ ．
15．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ ．
16．如图所示的方格中，∠1+∠2+∠3＝ 度．
17．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝16cm，∠B＝∠C，BC＝10cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若当△BPD与△CQP全等时，则点Q运动速度可能为 厘米/秒．
18．已知△ABC的两条边长分别为2和5，则第三边c的取值范围是 ．
19．如图，七星形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ．
20．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝4，G是△ABC重心，则S△AGC＝ ．
三、解答题（共10小题）
21．如图，已知∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE．求证：∠B＝∠D．
22．如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，求∠ADB的度数．
23．如图△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠ADE＝155°，求∠B的度数．
24．如图所示，已知线段AB，点P是线段AB外一点．
（1）按要求画图，保留作图痕迹；
①作射线PA，作直线PB；
②延长线段AB至点C，使得AC＝2AB，再反向延长AC至点D，使得AD＝AC．
（2）若（1）中的线段AB＝2cm，求出线段BD的长度．
25．已知：如图，点E、F在CD上，且∠A＝∠B，AC∥BD，CF＝DE．
求证：△AEC≌△BFD．
26．如图所示，已知AD是△ABC的边BC上的中线．
（1）作出△ABD的边BD上的高．
（2）若△ABC的面积为10，求△ADC的面积．
（3）若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长．
27．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AB＝13cm，BC＝12cm，AC＝5cm．求：
（1）△ABC的面积；
（2）CD的长；
（3）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积．
28．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有 个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
29．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；
④测得DE的长为5米．
求：（1）河的宽度是多少米？
（2）请你证明他们做法的正确性．
30．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5，
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
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参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE、下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，又∠CDE＝∠BDF，DE＝DF，
∴△BDF≌△CDE，故④正确；
由△BDF≌△CDE，可知CE＝BF，故①正确；
∵AD是△ABC的中线，∴△ABD和△ACD等底等高，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确；
由△BDF≌△CDE，可知∠FBD＝∠ECD
∴BF∥CE，故③正确．故选：D．
2．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
3．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（ ）
A．150° B．180° C．210° D．225°
【解答】解：
由题意得：AB＝ED，BC＝DC，∠D＝∠B＝90°，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠BAC＝∠1，
∠1+∠2＝180°．
故选：B．
4．若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，
即2＜a＜8，
即符合的只有3，
故选：C．
5．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【解答】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．故选：A．
6．如图△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（ ）
A．19.2° B．8° C．6° D．3°
【解答】解：∵∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，
∴∠ABC＝2∠A1BC，∠A1CD＝∠ACD
根据三角形的外角的性质得，∠A1CD＝（∠ABC+∠A）＝（2∠A1BC+∠A）＝∠A1BC+∠A，根据三角形的外角的性质得，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，∴∠A1＝∠A
同理：∠A2＝∠A1，∴∠A2＝∠A1＝×∠A＝∠A
同理：∠A3＝∠A
∠A4＝∠A，
∠A5＝∠A＝×96°＝3°，
故选：D．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝20°，∴∠ABC＝40°，
∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵CD∥AB，∴∠ACD＝∠A＝50°，
故选：D．
8．如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：CA＝2：3，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ABC的面积是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．
∵AD平分∠BAC，DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，
∴DM＝DN，
∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝ AB DN： AC DM＝AB：AC＝2：3，
设△ABC的面积为S．则S△ADC＝S，S△BEC＝S，
∵△OAE的面积比△BOD的面积大1，
∴△ADC的面积比△BEC的面积大1，
∴S﹣S＝1，
∴S＝10，
故选：C．
9．如图中三角形的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：∵图中三角形有：△ECA，△EBD，△FBA，△FCD，△AFD，△ABD，△ACD，△AED，
∴共8个．
故选：C．
10．如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
A．BD＝DC，AB＝AC B．∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CAD
C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC
【解答】解：A、BD＝DC，AB＝AC，再加上公共边AD＝AD可利用SSS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
B、∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CAD再加上公共边AD＝AD可利用ASA定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
C、∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD再加上公共边AD＝AD可利用AAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
D、∠B＝∠C，BD＝DC再加上公共边AD＝AD，没有ASS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项符合题意；
故选：D．
二、填空题（共10小题）
11．如图，已知△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，若∠A＝50°，则∠D＝ 25 度．
【解答】解：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，
∴∠ACD+∠ECD＝∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE＝∠D+∠DBC，
又BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABD＝∠DBE，∠ACD＝∠ECD，
∴∠A＝2（∠DCE﹣∠DBC），∠D＝∠DCE﹣∠DBC，
∴∠A＝2∠D，
∵∠A＝50°，
∴∠D＝25°．
故答案为：25．
12．如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带来第 ③ 块去配，其依据是根据定理 ASA （可以用字母简写）
【解答】解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第③块．
故答案为：③； ASA．
13．如图，在△ABC，∠C＝90°，∠ABC＝40°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为 65° ．
【解答】解：解法一：连接EF．
∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，
∴AF＝AE；
∴△AEF是等腰三角形；
又∵分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
∴AG是线段EF的垂直平分线，
∴AG平分∠CAB，
∵∠ABC＝40°
∴∠CAB＝50°，
∴∠CAD＝25°；
在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，
∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，
∵∠CAB＝50°，
∴∠CAD＝25°；
在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，
∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
故答案是：65°．
14．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝ 50° ．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠EAD+∠2，
∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝30°﹣20°＝10°，
Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD
＝90°﹣30°﹣10°＝50°．
故答案为50°．
15．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ 55° ．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
16．如图所示的方格中，∠1+∠2+∠3＝ 135 度．
【解答】解：如图，根据网格结构可知，
在△ABC与△ADE中，，
∴△ABC≌△EDA（SSS），
∴∠1＝∠DAE，
∴∠1+∠3＝∠DAE+∠3＝90°，
又∵AD＝DF，AD⊥DF，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故答案为：135．
17．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝16cm，∠B＝∠C，BC＝10cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若当△BPD与△CQP全等时，则点Q运动速度可能为 2或3.2 厘米/秒．
【解答】解：∵AB＝16cm，BC＝10cm，点D为AB的中点，
∴BD＝×16＝8cm，
设点P、Q的运动时间为t，则BP＝2t，
PC＝（10﹣2t）cm
①当BD＝PC时，10﹣2t＝8，
解得：t＝1，
则BP＝CQ＝2，
故点Q的运动速度为：2÷1＝2（厘米/秒）；
②当BP＝PC时，∵BC＝10cm，
∴BP＝PC＝5cm，
∴t＝5÷2＝2.5（秒）．
故点Q的运动速度为8÷2.5＝3.2（厘米/秒）．
故答案为：2或3.2．
18．已知△ABC的两条边长分别为2和5，则第三边c的取值范围是 3＜c＜7 ．
【解答】解：由题意，得
5﹣2＜c＜5+2，
即3＜c＜7．
故答案为：3＜c＜7．
19．如图，七星形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ 180° ．
【解答】解：由三角形的外角性质得，∠1＝∠B+∠F+∠C+∠G，
∠2＝∠A+∠D，
由三角形的内角和定理得，∠1+∠2+∠E＝180°，
所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝180°．
故答案为：180°．
20．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝4，G是△ABC重心，则S△AGC＝ 4 ．
【解答】解：延长AG交BC于E．
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝4，
∴S△ABC＝ AB AC＝12，
∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2GE，BE＝EC，
∴S△AEC＝×12＝6，
∴S△AGC＝×S△AEC＝4，
故答案为4．
三、解答题（共10小题）
21．如图，已知∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE．求证：∠B＝∠D．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE．
∵AB＝AD，AC＝AE，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
∴∠B＝∠D．
22．如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，求∠ADB的度数．
【解答】解：∵∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝35°，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝70°+35°＝105°．
23．如图△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠ADE＝155°，求∠B的度数．
【解答】解：∵∠ADE＝155°，∠ADE+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝25°．
∵DE∥BC，
∴∠C＝∠CDE＝25°．
在△ABC中，∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°．
24．如图所示，已知线段AB，点P是线段AB外一点．
（1）按要求画图，保留作图痕迹；
①作射线PA，作直线PB；
②延长线段AB至点C，使得AC＝2AB，再反向延长AC至点D，使得AD＝AC．
（2）若（1）中的线段AB＝2cm，求出线段BD的长度．
【解答】解：（1）射线PA，直线PB、线段AC、AD为所作；
（2）∵AC＝2AB＝2×2＝4cm，
∴AD＝AC＝4cm，
∴BD＝AD+AB＝4+2＝6（cm）．
25．已知：如图，点E、F在CD上，且∠A＝∠B，AC∥BD，CF＝DE．
求证：△AEC≌△BFD．
【解答】证明：∵AC∥BD，
∴∠C＝∠D，
∵CF＝DE，
∴CF+EF＝DE+EF，
即CE＝DF，
在△AEC和△BFD中，
∴△AEC≌△BFD（AAS）．
26．如图所示，已知AD是△ABC的边BC上的中线．
（1）作出△ABD的边BD上的高．
（2）若△ABC的面积为10，求△ADC的面积．
（3）若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABC的面积为10，
∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝5．
（3）∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为6，
∴△ABC的面积为12，
∵BD边上的高为3，
∴BC＝12×2÷3＝8．
27．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AB＝13cm，BC＝12cm，AC＝5cm．求：
（1）△ABC的面积；
（2）CD的长；
（3）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝12cm，AC＝5cm，
∴S△ABC＝BC×AC＝30cm2，
（2）∵S△ABC＝AB×CD＝30cm2，
∴CD＝30÷AB＝cm，
（3）S△ABE＝S△ABC＝×30＝15cm2
28．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有 3 个，以点O为交点的“8字型”有 4 个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
【解答】（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）解：①3；4；
故答案为：3，4；
②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，
∴2∠P＝∠B+∠C，
∵∠B＝100°，∠C＝120°，
∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°；
③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：
∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，
∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，
以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB），
∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．
∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，
∴3∠P＝∠B+2∠C．
29．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；
④测得DE的长为5米．
求：（1）河的宽度是多少米？
（2）请你证明他们做法的正确性．
【解答】（1）解：河的宽度是5m；
（2）证明：由作法知，BC＝DC，∠ABC＝∠EDC＝90°，
在Rt△ABC和Rt△EDC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA），
∴AB＝ED，
即他们的做法是正确的．
30．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5，
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
【解答】解：（1）∵在△BCD中，BC＝4，BD＝5，
∴5﹣4＜DC＜5+4，
∴1＜DC＜9；
（2）∵AE∥BD，∠BDE＝125°，
∴∠AEC＝180°﹣125°＝55°，
又∵∠A＝55°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠AEC＝180°﹣55°﹣55°＝70°．
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