北师大新版七年级（下）《第4章 三角形》单元测试卷（2）（含答案）

北师大新版七年级（下）《第4章 三角形》单元测试卷（2）
一、选择题（共10小题）
1．下列说法正确的是（　　）
A．形状相同的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等
D．所有的等边三角形全等
2．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）
A．AD＝AE B．∠B＝∠C C．CD＝BE D．∠ADC＝∠AEB
3．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（　　）
A．70° B．80° C．90° D．100°
4．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　）
A．三边高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点
5．如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，但他很快想到办法在作业本上画了一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　）
A．AAS B．ASA C．SSS D．SAS
6．已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（　　）
A．1＜x＜ B． C． D．
7．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（　　）
A．都是直角三角形
B．都是钝角三角形
C．都是锐角三角形
D．是一个直角三角形和一个钝角三角形
8．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（　　）
A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n＝b+c D．无法确定
9．如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（　　）
A．27° B．59° C．69° D．79°
10．下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（　　）
A．作一个角等于已知角
B．作一个角的平分线
C．作一条线段的垂直平分线
D．过直线外一点P作已知直线的垂线
二、填空题（共10小题）
11．如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点．若△ABC的面积S△ABC＝12，则S△ADF﹣S△BEF＝　 　．
12．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是　 　．
13．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多15°，则两个锐角分别为　 　．
14．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于　 　．
15．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝　 　．
16．如图，点B在AE上，∠CBE＝∠DBE，要使△ABC≌△ABD，还需添加一个条件是 　 　（填上适当的一个条件即可）
17．如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添　 　根木条．
18．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠C＝　 　．
19．已知三角形三边分别为1，x，5，则整数x＝　 　．
20．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积等于 　 　．
三、解答题（共10小题）
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°．
（1）求∠ADB的度数；
（2）判断△ABE的形状并加以证明；
（3）连接DE，若DE⊥BD，DE＝8，求AD的长．
22．已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝120°，求∠DAC的度数．
23．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，AB＝DE，BF＝CE，AB∥DE，求证：△ABC≌△DEF．
24．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA．连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？
25．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝42°，∠DAE＝18°，求∠C的度数．
26．如图，点C是线段AB外一点，用没有刻度直尺和圆规画图：
（1）画射线CB；
（2）画直线AC；
（3）①延长线段AB到E，使AE＝3AB；
②在①的条件下，如果AB＝2cm，那么BE＝　 　cm．
27．如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
（1）画出△ABC中边BC上的高AD；
（2）画出△ABC中边AC上的中线BE；
（3）直接写出△ABE的面积为　 　．
28．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）∠ABE＝15°，∠BED＝55°，求∠BAD的度数；
（2）作△BED的边BD边上的高；
（3）若△ABC的面积为20，BD＝2.5，求△BDE中BD边上的高．
29．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
30．已知a、b、c为三角形三边的长，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|．
北师大新版七年级（下）《第4章 三角形》单元测试卷（2）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．下列说法正确的是（　　）
A．形状相同的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等
D．所有的等边三角形全等
【解答】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；
B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；
C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；
D、所有的等边三角形全等，说法错误；
故选：C．
2．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）
A．AD＝AE B．∠B＝∠C C．CD＝BE D．∠ADC＝∠AEB
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，
∴当添加AE＝AD时，可根据“SAS”判断△ABE≌△ACD；
当添加∠B＝∠C时，可根据“ASA”判断△ABE≌△ACD；
当添加∠AEB＝∠ADC时，可根据“AAS”判断△ABE≌△ACD．
故选：C．
3．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（　　）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
∴∠A+∠P＝90°，
故选：C．
4．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　）
A．三边高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点
【解答】解：∵支撑点应是三角形的重心，
∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，
故选：D．
5．如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，但他很快想到办法在作业本上画了一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　）
A．AAS B．ASA C．SSS D．SAS
【解答】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出，
所以，依据是ASA．
故选：B．
6．已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（　　）
A．1＜x＜ B． C． D．
【解答】解：首先要能组成三角形，易得 1＜x＜5
下面求该三角形为直角三角形的边长情况（此为临界情况），显然长度为2的边对应的角必为锐角（2＜3，短边对小角）则只要考虑3或者x为斜边的情况．
3为斜边时，由勾股定理，22+x2＝32，得x＝√5 作出图形，固定2边，旋转3边易知当1＜x＜√5 时，该三角形是以3为最大边的钝角三角形；
x 为斜边时，由勾股定理，22+32＝x2，得x＝√13，同样作图可得 当√13＜x＜5时，该三角形是以x为最大边的钝角三角形．
综上可知，当√5＜x＜√13 时，原三角形为锐角三角形．
故选：B．
7．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（　　）
A．都是直角三角形
B．都是钝角三角形
C．都是锐角三角形
D．是一个直角三角形和一个钝角三角形
【解答】解：如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．
如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．
如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．
因为剪开的边上的两个角是邻补角，不可能都是锐角，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．
综上所述，将一个三角形剪成两三角形，这两个三角形不可能都是锐角三角形．
故选：C．
8．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（　　）
A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n＝b+c D．无法确定
【解答】解：在BA的延长线上取点E，使AE＝AC，连接EP，
∵AD是∠BAC的外角平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△ACP和△AEP中，，
∴△ACP≌△AEP（SAS），
∴PE＝PC，
在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，
∵PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，
∴m+n＞b+c．
故选：A．
9．如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（　　）
A．27° B．59° C．69° D．79°
【解答】解如图，∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴∠ABC＝3∠3，
在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣74°＝106°，
在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°，
即20°+2∠3+106°＝180°，
∴∠3＝27°，
∴∠C＝106°﹣27°＝79°，
故选：D．
10．下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（　　）
A．作一个角等于已知角
B．作一个角的平分线
C．作一条线段的垂直平分线
D．过直线外一点P作已知直线的垂线
【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故选：C．
二、填空题（共10小题）
11．如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点．若△ABC的面积S△ABC＝12，则S△ADF﹣S△BEF＝　2　．
【解答】解：∵点D是AC的中点，
∴AD＝AC，
∵S△ABC＝12，
∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝6．
∵EC＝2BE，S△ABC＝12，
∴S△ABE＝S△ABC＝×12＝4，
∵S△ABD﹣S△ABE＝（S△ADF+S△ABF）﹣（S△ABF+S△BEF）＝S△ADF﹣S△BEF，
即S△ADF﹣S△BEF＝S△ABD﹣S△ABE＝6﹣4＝2．
故答案为：2．
12．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是　三角形具有稳定性　．
【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
13．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多15°，则两个锐角分别为　75°、15°　．
【解答】解：设另一个锐角是x，则这个锐角是4x+15°，
根据题意得，x+4x+15°＝90°，
解得x＝15°，
4x+15°＝4×15°+15°＝75°，
所以，这两个锐角分别为75°、15°．
故答案为：75°、15°．
14．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于　180°　．
【解答】解：由题意得：AB＝DB，AC＝ED，∠A＝∠D＝90°，
∵在△ABC和△DBE中，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠1＝∠ACB，
∵∠ACB+∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝180°，
故答案为：180°．
15．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝　55°　．
【解答】解：如图，∵∠DFC+∠AFD＝180°，∠AFD＝145°，
∴∠CFD＝35°．
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED＝∠CDF＝90°，
在Rt△BDE与△Rt△CFD中，
，
∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），
∴∠BDE＝∠CFD＝35°，
∴∠EDF+∠BDE＝∠EDF+∠CFD＝90°，
∴∠EDF＝55°．
故答案是：55°．
16．如图，点B在AE上，∠CBE＝∠DBE，要使△ABC≌△ABD，还需添加一个条件是 　BC＝BD　（填上适当的一个条件即可）
【解答】解：BC＝BD，
理由是：∵∠CBE＝∠DBE，∠CBE+∠ABC＝180°，∠DBE+∠ABD＝180°，
∴∠ABC＝∠ABD，
在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD，
故答案为：BC＝BD．
17．如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添　3　根木条．
【解答】解：根据三角形的稳定性，得
如图：从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添3根木条．
18．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠C＝　80°　．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，
∴设∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝4x°，
由三角形内角和定理可得：2x+3x+4x＝180，
解得x＝20，
∴∠C＝4x°＝80°，
故答案为：80°．
19．已知三角形三边分别为1，x，5，则整数x＝　5　．
【解答】解：根据三角形的三边关系定理可得：5﹣1＜x＜5+1，
解得：4＜x＜6，
∵x为整数，
∴x＝5，
故答案为：5．
20．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积等于 　2　．
【解答】解：如图．
∵BD＝3，CD＝1，
∴BC＝BD﹣CD＝2，
又∵AD是BC边上的高，AD＝2，
∴△ABC的面积＝BC AD＝×2×2＝2．
故答案为2．
三、解答题（共10小题）
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°．
（1）求∠ADB的度数；
（2）判断△ABE的形状并加以证明；
（3）连接DE，若DE⊥BD，DE＝8，求AD的长．
【解答】（1）解：∵BD＝BC，∠DBC＝60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（AAS），
∴∠ADB＝∠ADC，
∴∠ADB＝（360°﹣60°）＝150°．
（2）解：结论：△ABE是等边三角形．
理由：∵∠ABE＝∠DBC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC，
∴AB＝BE，∵∠ABE＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
（3）解：连接DE．
∵∠BCE＝150°，∠DCB＝60°，
∴∠DCE＝90°，
∵∠EDB＝90°，∠BDC＝60°，
∴∠EDC＝30°，
∴EC＝DE＝4，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝EC＝4．
22．已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝120°，求∠DAC的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝120°，
∴∠2+∠3＝60°①
∵∠1＝∠2，
∴∠4＝∠3＝∠1+∠2＝2∠2②
把②代入①得：3∠2＝60°，
∠2＝20°．
∴∠DAC＝120°﹣20°＝100°．
23．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，AB＝DE，BF＝CE，AB∥DE，求证：△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，即BC＝EF．
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E．
在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
24．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA．连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？
【解答】解：量出DE的长就等于AB的长，理由如下：
在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE．
25．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝42°，∠DAE＝18°，求∠C的度数．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠B＝42°，
∴∠BAD＝48°，
∵∠DAE＝18°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝30°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAC＝2∠BAE＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝78°．
26．如图，点C是线段AB外一点，用没有刻度直尺和圆规画图：
（1）画射线CB；
（2）画直线AC；
（3）①延长线段AB到E，使AE＝3AB；
②在①的条件下，如果AB＝2cm，那么BE＝　4　cm．
【解答】解：（1）如图所示，射线CB即为所求；
（2）如图所示，直线AC即为所求；
（3）①如图所示，线段AE即为所求；
②∵AB＝2cm，AE＝3AB，
∴AE＝6cm．
则BE＝AE﹣AB＝4cm．
故答案为：4．
27．如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
（1）画出△ABC中边BC上的高AD；
（2）画出△ABC中边AC上的中线BE；
（3）直接写出△ABE的面积为　4　．
【解答】解：（1）如图所示，线段AD即为所求；
（2）如图所示，线段BE即为所求；
（3）S△ABC＝BC AD＝4×4＝8．
∴△ABE的面积＝S△ABC＝4，
故答案为：4．
28．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）∠ABE＝15°，∠BED＝55°，求∠BAD的度数；
（2）作△BED的边BD边上的高；
（3）若△ABC的面积为20，BD＝2.5，求△BDE中BD边上的高．
【解答】解：（1）∵∠BED＝∠ABE+∠BAD，∠ABE＝15°，∠BED＝55°，
∴∠BAD＝∠BED﹣∠ABE＝55°﹣15°＝40°．
（2）如图，作EF⊥BC于F，则EF为BD边上的高；
（3）∵AD为△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
∵BE为△ABD的中线，
∴S△ABE＝S△BED＝S△ABD，
∵S△ABC＝20，
∴S△BED＝BD EF＝5，
∵BD＝2.5，
∴EF＝4
∴△BDE中BD边上的高为4．
29．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
【解答】解：在Rt△ABF中，∠A＝70°，CE，BF是两条高，
∴∠EBF＝20°，∠ECA＝20°，
又∵∠BCE＝30°，
∴∠ACB＝50°，
∴在Rt△BCF中∠FBC＝40°．
30．已知a、b、c为三角形三边的长，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|．
【解答】解：∵a、b、c为三角形三边的长，
∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，
∴原式＝|a﹣（b+c）|+|b﹣（c+a）|+|c﹣（a+b）|
＝b+c﹣a+a+c﹣b+a+b﹣c
＝a+b+c．
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