广东省惠来二中2012-2013学年高二上学期期末考试数学（理）试题

惠来二中2012-2013学年第一学期高二级
期末考试 （理科）数学 试题
本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(填空题、解答题)两部分，满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题卡上；
2．第I卷每小题得出答案后，请将答案填写在答题卡上。答在第Ⅰ卷上不得分；
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、设全集U=R，A=，
则右图中阴影部分表示的集合为 （ ）
A． B． C． D．
2、已知,则下列不等关系成立的是( )
A． B． C． D．
3、 等差数列中，,，其前n项和,则（　　）
A.9 B.10 C.11 D.12
4、下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
5.若为实数，则是（ ）
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件
C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
6.在中,若,则是 （ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰或直角三角形 D. 钝角三角形
7．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第个图案中有白色地面砖的块数是　　（ ）
A、 B、 C、 D、
8．设为全集，对集合，定义运算“”，满足，则对于任意集合， （ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二.填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
9. 命题的否定是
10.如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一个焦点的距离是 .
11.已知，如果，则= .
12. 已知，式中变量，满足约束条件
，则的最大值为______
13. 已知双曲线的离心率为，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______ ；渐近线方程为_______ .
14. 若命题P：“x＞0，”是真命题 ，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. （本小题满分12分）
已知是三角形三内角，向量，且
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若,的面积等于,求.
16. （本小题满分12分）
围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x，修建围墙的总费用为y(单位：元)。
（Ⅰ）将y表示为x的函数：
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
17．（本小题满分14分）
如图，四边形与都是边长为的正方形，点E是的中点，
(1) 求证：平面BDE；
(2) 求证：平面⊥平面BDE
(3) 求平面BDE与平面ABCD所成锐
二面角的正切值。
18. （本小题满分14分）已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
19．（本小题满分14分）
设为实数，函数.
(1)当时，判断函数在的单调性并用定义证明；
(2)求的最小值。
20. （本小题满分14分）
已知数列和数列，数列的前项和记为，=1，，点在对数函数的图象上.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是数列的前项和，求使对所有
都成立的最小正整数.
惠来二中2012—2013学年度第一学期高二级质检考试题
（理科数学）参考答案
1-8 C D B D A B A D
9 10. 14 11. -7 12. 5 13. 14.（说明：13题第一个2分，第二个3分）
15. 解：（Ⅰ）∵ ∴ 即……2分
, ………………..4分
∵ ∴ ∴……….6分
（2）由余弦定理得， ……………………..8分
又因为的面积等于，所以，得． 10分
联立方程组 解得，． 12分
16.解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m…………..1分
则=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 ………………4分
由已知xa=360,得a=, ……………………………………5分
所以y=225x+………………………..7分
（没有写定义域扣1分）
(II) …………9分
.当且仅当225x=时，等号成立………11分
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元…………..12分
17．证明：（1）设BD交AC于M，连结ME．
ABCD为正方形，所以M为AC中点，
E为的中点ME为的中位线
平面BDE． ……4分
（2） ……6分
（2）平面BDE与平面ABCD交线为BD
由（2）已证
法二：依条件有,以A为坐标原点，分别以为x轴，y轴,z轴建立空间直角坐标系，则有
……11分
……13分
18解：(1)直线AB的方程是y＝2(x－)，…………1分
与y2＝2px联立，
从而有4x2－5px＋p2＝0，所以：x1＋x2＝………………4分
由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，………………….6分
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x………………………7分
(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，……………………………………..9分
从而A(1，－2)，B(4,4)；…………..10分
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)
＝(4λ＋1,4λ－2)．………………………12分
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，…………………………….13分
解得λ＝0，或λ＝2……………………………..14分
19．（14分）
解：（1）当，时，
…………（1分）
函数在上单调递增.
设，
………（4分）
∴
∴得
∴，函数在上单调递增。…………（6分）
（2）当时， …………（7分）
…………（9分）
当时， …………（10分）
…………（12分）
综上， …………（14分）
20,解（1）由可得，两式相减得，又，所以故是首项为1，公比为3的等比数列，所以，所以
……………….7分
（2），………..9分
所以….. 11分
因此，使得成立的必须且仅须满足，
即，满足要求的最小整数为10……………..14分
。。。
第3个
第2个
第1个