上海市十二校2013届高三第二学期联考 数学文

上海市十二校
2013届高三第二学期联考
数学（文）试题
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1. 方程=1的解是 .2
2. 若Z为复数，且，则 .
3. 设函数，那么 .3
4. 已知全集，集合，，则集合= .
5. 已知且，则 ．
6. 设为等差数列的前项和，若，则公差为 .-1
7. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为，现在用分层抽样的方法抽出容量为的样本，样本中A型产品有15件，那么样本容量=____.70
8.若实数对满足，则函数的
最大值为 ．40
9．阅读右面的程序框图，则输出的= ．30
10. 已知圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的高是 .
11. 若的二项展开式中含项的系数是80，则____.1
12. 设斜率为1的直线过点，且与圆相切，则正数的值为 .2
13. 已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,
若函数在区间上有四个不同的零点,
则-8
14. 幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点,连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数的图像三等分，即有那么，((= .1
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15. 下列各对函数中表示相同函数的是 （ B ）
A．①③④ B．④⑤ C．③⑤ D．①④
①＝,g(x)＝;②＝,g(x)＝;③＝,g(x)＝
④ ＝, g(x)＝; ⑤ ＝,
16. 命题:，命题:；若是的充分而不必要条件，则的取值范围是 （ A ）
A． B． C． D．
17. 下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图完全相同的是( A )
A．圆锥与正四梭锥 B．圆锥 C．正四梭锥与球 D．正方体
18. 、设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若为正整数），则数列的前项和的取值范围是 （ D ）

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.
已知正方体，，为棱的中点．
（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角表示）；
（2）求点到平面的距离，并求出三棱锥的体积.
解：（1）是异面直线与所成角 ----------1分
求解得 ----------3分
所以异面直线与所成角是 ----------4分
（2）利用等体积 ----------5分
----------6分
求解得----------8分
利用-------9分
-------11分
= ----------12分
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分.
已知，其中是的内角．
（1）当时，求的值
（2）若，当取最大值时，求大小及边长.
20．解：（1）当时， ----------5分
（2） ----------7分
----------9分
时，取到最大值----------10分
由条件知， ---------11分
由余弦定理------------12分
------------13分
求解得 ----------14分
21．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知关于的方程有两个虚根、，且满足．
（1）求方程的两个根以及实数的值；
（2）若对于任意，不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
21．解：（1）设，则；------------1分
-----------2分
；； ------------4分
所以两根分别为------------5分
------------6分
（2）， ------------7分
所以不等式对任意恒成立， ------------9分
------------10分
由于 所以------------11分
因为当且仅当的时候等号成立，而
而 在上单调递增， 所以 ------------12分
------------13分
所以 ------------14分
解法2：利用函数思想（略）
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知双曲线的顶点和焦点分别是椭圆E的焦点和顶点，设点关于坐标原点的对称点为。
求椭圆E的方程.
设点P是椭圆E上的任意一点，若直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值;若不是，请说明理由.
若平行于CD的直线L交椭圆E于M、N两点，求面积的最大值，并求出此时直线L的方程.
解：------3分
------4分
(2)依题意得D点的坐标为（-2，-1），且D点在椭圆E上，------5分
直线CP和DP的斜率KCP和KDP均存在，设P(x,y), ------6分
所以 ， ------------7分
则 ------------8分
所以 ------------9分
化简得
.------------10分
(3)直线CD的斜率为，CD平行于直线，
设直线的方程为------------11分
由，消去，整理得， ------------12分
,
. -----------13分
点C到直线MN的距离为-----------14分

当且仅当 ------------15分
-----------16分
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
如果存在常数使得数列满足：若是数列中的任意一项，则也是数列中的一项，称数列是关于常数的“兑换数列”。
若数列：是关于的“兑换数列”，求和的值；
已知是项数为10的递增等差数列，其所有项的和是100，证明数列是关于常数20的“兑换数列”.
对于一个项数为20项，且各项皆为正数的单调等比数列，是否是“兑换数列”？若是，请求出常数的值；否则请说明理由.
23．解：（1）因为数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”
所以也是该数列的项，且-----------1分
故-------------------3分
即。 -------------------4分
（2）设数列的公差为>0，由已知 ,得--------5分
显然，
且--------7分
则 --------8分
经验证对数列中的任意时都有 --------9分
所以，数列是关于常数20的“兑换数列”.--------10分
假设存在这样的等比数列，设它的公比为
若数列为单调递增数列，所以设，
则公比>1,且--------11分
若数列为“兑换数列”，则 （）
则 （）--------12分
即 --------13分
由得
解得 不满足>1, --------14分
若数列为单调递减数列，所以设，
则公比,且--------15分
若数列为“兑换数列”，则 （）
则 （）
即 --------16分
由得
解得 不满足--------17分
综合①②得，该数列不是“兑换数列”-------------------18分