6.1平面向量的概念 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.1 平面向量的概念 同步练习
一、单选题
1．对于单位向量、，下列一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等
B．单位向量都相等
C．向量的模可以比较大小
D．任一非零向量都可以平行移动
3．下列说法中正确的是（ ）
A．平行向量不一定是共线向量
B．单位向量都相等
C．若满足且与同向，则
D．对于任意向量，必有
4．下列说法中正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．模相等的两个平行向量是相等向量
C．若和都是单位向量，则
D．零向量与其它向量都共线
5．设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A．且 B． C． D．
6．给出下列四个命题：①若，则；②，则；③若，则.其中正确的命题有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列说法中，错误的个数为（ ）
①向量的长度与向量的长度相等；②两个非零向量与平行，则过与的方向相同或相反；③两个有公共终点的向量一定是共线向量；④共线向量是可以移动到同一条直线上的向量；⑤平行向量就是向量所在直线平行
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．已知向量与共线，下列说法正确的是（ ）
A．或 B．与平行
C．与方向相同或相反 D．存在实数，使得
10．下列五个命题，共中正确命题序号是（ ）
A．单位向量都相等 B．对于任意向量，必有
C．若向量，共线，则 D．若，则与的方向相同或相反
11．如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
12．下图中与向量相等的向量是（ ）
A．，，， B．， C． D．
二、填空题
13．已知四边形ABCD是矩形，设点集，集合且P，Q不重合，用列举法表示集合___________
14．已知非零向量满足，则_____________.
15．已知非零向量、、两两不平行，且，，设，，则______.
16．已知三点A，B，C，则“存在实数，使得”是“A，B，C三点共线”的_____________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”）
17．如图所示，在ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集，向量集合T={，，且M，N不重合}，则集合T中元素的个数为______.
三、解答题
18．如图，以方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？
19．已知，那么两两一定共线吗？
20．如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，.
（1）求证：；
（2）求.
21．在中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，判别下列命题是否正确.
（1）；
（2）和是平行向量；
（3）.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
根据单位向量的定义可知，，这样即可判断出答案．
【详解】
解：都是单位向量，方向不一定相同，故A错误；两个向量夹角不确定，故B错误；只有两个向量同向时，C才正确；
∵，故一定成立，故D正确．
故选：D．
本题考查了单位向量的定义，属于基础题．
2．B
A.由相反向量判断；B.由单位向量判断；C.由向量的长度是数量判断；D.由相等向量判断.
【详解】
A.和长度相等，方向相反，故正确；
B.单位向量长度都为1，但方向不确定，故错误；
C.向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故正确；
D.向量只与长度和方向有关，无位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故正确.
故选：B.
3．D
根据平行向量的定义即可判断A选项，根据相等向量和单位向量的定义即可判断选项B，由于向量不能比较大小即可判断C选项，根据平面向量的平行四边形法则和三角形法则，即可判断D选项，从而得出答案.
【详解】
解：对于A，平行向量也叫共线向量，故A不正确；
对于B，单位向量的模相等，方向不一定相同，故B不正确；
对于C，因为向量有方向，所以向量不能比较大小，故C不正确；
对于D，若与共线同向，则，
若与共线反向，则，
若与不共线，则根据向量的加法的平行四边形法则和三角形法则中，
得出在三角形中两边之和大于第三边，则，
综上可知，对于任意向量，必有，故D正确.
故选：D.
本题考查判断与向量相关的命题的真假，考查平行向量的定义、相等向量和单位向量的定义、以及平面向量的线性运算的应用，属于基础题．
4．D
利用相等向量的定义可判断AC选项的正误；利用相等向量和相反向量的定义可判断B选项的正误；利用零向量与任意向量共线这一性质可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，因为向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一定重合，A选项错误；
对于B选项，模相等的两个平行向量，可以是相等向量，也可以是相反向量，B选项错误；
对于C选项，和都是单位向量，但它们的方向不一定相同，故和不一定相等，C选项错误；
对于D选项，零向量的方向是任意的，零向量与其它向量都共线，D选项正确.
故选：D.
5．D
结合向量相等的定义，利用充分条件的定义进行判断即可得正确选项.
【详解】
对于选项A：且则，两个为相等向量或相反向量，当时，不成立，所以且不是成立的充分条件，故选项A不正确；
对于选项B：时，，所以得不出，不是成立的充分条件，故选项B不正确；
对于选项C：，若，两个向量方向相反时，得不出，所以不是成立的充分条件，故选项C不正确；
对于选项D：满足，同向共线，所以的单位向量与的单位向量相等即，
所以是成立的充分条件，故选项D正确；
故选：D.
6．A
利用零向量，向量平行，向量的定义可直接判定.
【详解】
对于①，忽了0与的区别，，故①错误；
对于②，混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定，故②错误；
对于③，两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等，故③错误.
故选:A
本题考查了向量的相关知识点，考查了学生概念理解，综合分析的能力，属于基础题.
7．D
根据向量相等的概念可判断A；根据向量定义可判断B；根据向量相等、共线可判断CD.
【详解】
A中，两个向量的模相等，但是方向不一定相同，所以不正确；
B中，两个向量不能比较大小，所以错误；
C中，向量平行只能得到方向相同或相反，不能得到向量一定相等，所以错误；
D中，如果一个向量的模等于0，则这个向量是，正确 .
故选：D.
8．A
根据平面向量的基本概念逐项进行判断，由此确定出错误的说法个数.
【详解】
①与互为相反向量，长度相同方向相反，故正确；
②非零向量平行，则两非零向量方向相同或相反，故正确；
③终点相同，起点不同的非零向量不是共线向量，故错误；
④向量共线时，根据向量的可平移性可将两向量平移至同一条直线；
⑤平行向量指方向相同或相反的非零向量，因此向量所在直线可以共线，故错误，
所以错误的说法有个，
故选：A.
9．B
根据向量共线的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
向量与共线，不能判定向量模之间的关系，故A错；
向量与共线，则与平行，故B正确；
为零向量，则满足与共线，方向不一定相同或相反；故C错；
当，时，满足与共线，但不存在实数，使得，故D错.
故选：B.
本题主要考查向量共线的有关判定，属于基础题型.
10．B
对于A：利用单位向量的定义进行否定；
对于B：对，同向、反向、不共线，分别讨论；
对于C：用共线向量的夹角为0或π，进行判断
对于D：利用零向量的方向是任意的进行判断.
【详解】
对于A：单位向量的模都相等，方向不一定相同，故A错误；
对于B：利用向量加法的平行四边形法则，可知对于任意向量，：若，同向，必有；若，反向，必有；若，不共线，向量加法的三角形法则，必有.综上所述：对于任意向量，必有，故B正确；
对于C：若向量，共线，则，的夹角为0或π，所以，故C错误；
对于D：若，则与的方向相同或相反，这种说法是错误的，因为零向量与所有的非零向量都平行，但零向量的方向是任意的.
故选：B
11．C
根据向量的加减运算法则可得，进而可得结果.
【详解】
依题意，即，
故选：C.
本题主要考查了向量的加减运算，属于基础题.
12．D
由相等向量的定义求解即可
【详解】
由相等向量的定义可知：
两个向量的长度要相等，方向要相同，
结合图形可知满足条件，
故选：D
13．
根据集合的元素特征，列出集合的所有元素，由此可得集合.
【详解】
∵ 且P，Q不重合，，
∴，
故答案为：
14．
设,则,由可得为等边三角形,设其边长为1,进而求解即可
【详解】
如图,设,则,
∵,
∴,∴为等边三角形,
设其边长为1,则,
∴
故答案为:
本题考查向量的加法,向量的减法在集合中的应用,考查向量的模的应用
15．－3
先根据向量共线把用和表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解．
【详解】
解：因为非零向量、、两两不平行，且，，
，
，解得
故答案为：．
本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题， 属于基础题.
16．充要
根据向量共线的基本定理，分为充分性和必要性分别进行判断，最后的出结论.
【详解】
因为所以 ，
又因为两个向量有公共点 A，
所以三点共线，
所以存在实数，使得是三点共线的充分条件，
若三点共线则
所以存在实数, 使得，是三点共线的必要条件，
综上可知 , 存在实数, 使得，是三点共线的充要条件.
故答案为：充要
17．12个
通常用有向线段表示向量，结合排列组合知识运算出有向线段共20条，由元素的互异性，找出相等向量8对，除去即可．
【详解】
解：由题可知，集合中的元素实质上是中任意两点连成的向量，共有个，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.
由平行四边形的性质可知，共有对向量相等，即，，，，，，，.集合中元素具有互异性，故集合中的元素共有个.
故答案为：
本题考查了集合中元素的互异性及排列组合知识，属于中档题．
18．答案见解析
分类讨论从正方形、矩形的边、对角线中计算模的个数及方向的个数．
【详解】
模为的向量；模为的向量；模为的向量；模为的向量；模为的向量；模为的向量共有个模，
下面对方向分析，正方形的边对应的向量共有个方向，边长为的正方形的对角线对应的向量共个方向；的矩形的对角线对应的向量共个方向；的矩形对角线对应的向量共有个方向，所以共有个方向
19．两两共线，且同向．
利用分析得解.
【详解】
因为，当且仅当三个向量同向时成立，
故若则三个向量同向，满足两两一定共线．
即若，则两两共线，且同向.
20．（1）见解析；（2）
(1)本题首先可以根据勾股定理得出是直角三角形，然后根据点为半圆上一点得出，最后根据即可得出结果；
(2)本题首先可以根据得出，然后根据计算出，最后即可得出结果。
【详解】
(1)由题意知，在中，，，，
所以，是直角三角形，
因为点为半圆上一点，所以
所以，故
(2)因为，所以，，
即，解得，即。
本题考查向量平行的证明以及向量的模的计算，若两向量所在直线平行或重合，则说明这两个向量平行，向量所在线段的长即向量的模，考查计算能力，是中档题。
21．答案见解析
（1）画出图形，根据平面几何知识，结合相等向量的概念进行判定；
（2）根据平面几何知识，结合平行向量的概念进行判定；
（3）注意到向量的概念，包括方向和大小（模），模可以比较大小，方向没法比较大小，因此向量没有大小的比较可以判定.
【详解】
（1）不正确.和的模不相等，为此它们必不是相等向量；
（2）正确.由平面几何知识可知，所以和为平行向量；
（3）不正确.向量是无法比较大小的，只有向量的模可以比较大小.
答案第1页，共2页
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