6.3平面向量基本定理及坐标表示 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.3 平面向量基本定理及坐标表示
一、单选题
1．如图所示，向量等于（ ）
A． B．
C． D．
2．若向量，则的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（0，3）
C．（0，1） D．（3，5）
3．在平行四边形中，，M是中点．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，使得
C．，与的夹角小于 D．，使得
5．已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，是坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
7．过的中线的中点作直线分别交 于 两点，若，则（ ）
A．4 B． C．3 D．1
8．已知，是单位向量，且，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，在矩形中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知向量，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC.若=λ+μ，则λ+μ的值为（ ）
A． B． C． D．1
12．在中，点D在CB的延长线上，且，则等于（ ）
A．0 B． C． D．3
13．已知向量满足，，则
A．4 B．3 C．2 D．0
14．若向量，，则与一定满足（ ）.
A． B． C． D．
15．如果平面向量，，那么下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．，的夹角为180°
D．向量在方向上的投影为
二、填空题
16．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：.则△ABM与△ABC的面积之比为________.
17．已知点与，点在直线上，且，则点的坐标为________．
18．在矩形中，已知，（为正常数），为边的中点，是对角线上的动点（含端点），若的取值范围为，则___________.
三、解答题
19．已知向量，，，求：
(1)；
(2)．
20．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，.
(1)用表示；
(2)求证：B，E，F三点共线．
21．如图，在平行四边形OADB中，设向量，，点M、N是对角线AB上的两点，且，试用、表示与．
22．已知，．
（1）确定实数的值，使与垂直；
（2）求与同向的单位向量
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
把，代入中化简即可.
【详解】
解：．
故选：C
2．B
直接根据向量加法的坐标运算法则计算可得；
【详解】
解：因为，所以
故选：B
3．B
直接利用为基底，把转化为的计算，利用夹角公式求出.
【详解】
．
∴，∵∴．
故选：B
在几何图形中进行向量运算:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.
4．A
由平面向量的模的坐标公式，平行的坐标表示，夹角的坐标表示，及垂直的坐标表示，依次判断各选项即可得出结果.
【详解】
因为，，
又，
所以.故正确；
，若，则，
解得，即当时，，故错误；
设与的夹角为，则，
当时，，夹角为，故C错误；
因为，
所以不存在，使得，故D错误.
故选：.
5．D
建立如图所示的坐标系，根据可求其最大值.
【详解】
以为原点建系，，
，即，故圆的半径为，
∴圆，设中点为，
，
，∴，
故选：D.
6．D
根据向量线性运算可得，由坐标可得结果.
【详解】
故选：
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.
7．A
由为的中点得到 ，设，结合，得到，再由，得到，然后利用与不共线求得m，n即可.
【详解】
解：由为的中点可知，，
，
设，
则，
，
，
，
，
与不共线，
，解得，
故选：.
8．A
根据平面向量夹角坐标公式求解即可．
【详解】
由题意可知，，
则解得
故选：A
9．A
先算出，从而可求.
【详解】
,
而，
故选：A.
10．B
利用给定的向量坐标，借助向量垂直的充要条件对各选项逐一计算并判断作答.
【详解】
因向量，且、都是非零向量，
对于A，，即与不垂直，A不正确；
对于B，，则，即，B正确；
对于C，，即与不垂直，C不正确；
对于D，，即与不垂直，D不正确.
故选：B
11．B
建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设，由可得，再由，利用坐标表示建立方程组求解即可.
【详解】
解：由题意建立如图所示直角坐标系
因为AB=3，BC=4，则B(0，0)，A(0，3)，C(4，0)，
，，设，
因为BE⊥AC，
所以，解得.
由，得，
所以解得
所以，
故选：B.
本题主要考查了向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示，属于基础题.
12．C
根据，利用平面向量的基本定理求解.
【详解】
因为点D在CB的延长线上，且，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以，
故选：C
13．B
【详解】
分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因为
所以选B.
点睛：向量加减乘：
14．D
由向量平行、垂直的条件，向量的模计算分析判断即可
【详解】
对于A，因为不一定成立，所以与不一定平行，所以A错误，
对于B，因为不一定成立，所以与不一定垂直，所以B错误，
对于C，因为，，所以C错误，
对于D，因为，，所以，所以 ，所以D正确，
故选：D
15．D
直接利用向量的坐标运算，向量的模，向量的夹角运算，向量在另一个向量上的投影的应用判定选项的结论．
【详解】
解：因为，，所以，
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，故，故B正确；
对于C，因为，所以与的夹角为180°，故C正确；
对于D，在方向上的投影为：，，故D错误.
故选：D.
16．1∶4
由已知得出M，B，C三点共线，令，利用平面向量的加法法则可得值，进而可得△ABM与△ABC面积之比．
【详解】
如图，由可知M，B，C三点共线，
令，则
所以，即△ABM与△ABC面积之比为1∶4.
故答案为：1∶4
17．
根据模长相等关系可确定为线段中点，由中点坐标公式计算得到结果.
【详解】
在直线上，且，为线段中点，
又，，.
故答案为：.
18．1
以为坐标原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系，借助平面向量运算即可计算作答.
【详解】
以为坐标原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，则，
，，，
有，由得：，
而的取值范围为，于是得，而 m为正数，解得：，
所以.
故答案为：1
19．(1)14
(2)23
（1）根据向量坐标的线性运算结合向量数量积的坐标表示即可得出答案；
（2）根据向量坐标的线性运算结合向量数量积的坐标表示即可得出答案；
(1)
解：∵，
，
∴；
(2)
解：∵，
∴.
20．(1)，，，，
(2)证明见解析
（1）根据平面向量的线性运算结合图像计算即可得解；
（2）利用平面向量共线定理证明，即可得证.
(1)
解：在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
则，
故，
，
，
；
(2)
证明：因为，，
所以，
所以，
又因有公共点，
所以B，E，F三点共线．
21．，
利用向量的线性运算即得.
【详解】
∵平行四边形OADB，设向量，，点M、N是对角线AB上的两点，且，
∴，
.
22．（1）；（2）．
（1）计算即可.
（2）代入坐标计算即可.
【详解】
（1）由与垂直，则
所以
由，，所以
所以
（2），所以
所以与同向的单位向量为
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