7.2复数的四则运算 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 7.2 复数的四则运算
一、单选题
1．复数，则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2．欧拉公式(为虚数单位)是由著名数学家欧拉发现的，它将指数函数定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将表示的复数记为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数（为虚数单位），设是的共轭复数，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
4．若，其中为虚数单位，则（ ）
A． B．
C． D．
5．若复数z满足(z-1)i=1+i其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数=（ ）
A．-2-i B．-2+i C．2-i D．2+i
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．设z=i(2+i)，则=
A．1+2i B．–1+2i
C．1–2i D．–1–2i
8．复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
9．非零复数、分别对应复平面内的向量、，若，则
A． B． C． D．和共线
10．已知复数z满足，其中为虚数单位，则z的虚部为（ ）
A．0 B． C．1 D．
11．已知i为虚数单位，实数x，y满足，，且，则的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
12．设复数在复平面内对应的点为，则( )
A． B． C． D．
13．设复数，若的虚部为2，则（ ）
A． B． C．5 D．10
14．已知为虚数单位，，若为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
15．已知复数满足，则复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．如果z＝，那么z100＋z50＋1＝________.
17．若，且，则________.
18．已知复数满足，求复数的共轭复数___________.
三、解答题
19．已知关于的方程的两根为，求.
20．（1）计算：（i为虚数单位）；
（2）已知是一个复数，求解关于的方程，（i为虚数单位）.
21．已知复数，，为虚数单位.
（1）若复数，在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；
（2）若，求的共轭复数
22．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1，，.
（1）求，，对应的复数；
（2）判断的形状；
（3）求的面积.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果.
【详解】
因为，
所以其共轭复数为.
故选：D.
2．A
根据欧拉公式求出，再由复数乘法运算即可求出.
【详解】
根据欧拉公式可得，
则.
故选：A.
3．B
先求出共轭复数，从而可求出其虚部
【详解】
由，得，
所以的虚部是，
故选：B
4．C
根据复数的除法求出后求模，也可直接根据模的性质求解.
【详解】
法1：由，
所以.
法二：.
故选：C
5．D
根据复数的除法运算以及共轭复数的概念即可求解.
【详解】
因为(z-1)i=1+i，所以，
所以.
故选：D.
6．D
根据，将，转化为，结合复数的运算性质求解.
【详解】
，
，
，
，
且，
.
故选：.
7．D
本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出．
【详解】
，
所以，选D．
本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．
8．A
先根据模的定义计算，并化简得到，再根据虚部的定义作出判定.
【详解】
∵，
∴的虚部为，
故选：A.
9．A
根据复数加法几何意义以及向量的模的含义得结论.
【详解】
因为，所以+|-|,以、为相邻边的平行四边形的对角线相等，即以、为相邻边的平行四边形为矩形，因此，选A.
本题考查复数加法几何意义以及向量的模，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．B
根据题意，化简复数，结合复数的概念，即可求解.
【详解】
由题意，复数z满足，可得，
所以z的虚部为.
故选：B.
11．A
由列方程组，求得的值，进而求得的值.
【详解】
，即，.
故选：A
本小题主要考查复数的减法运算，考查复数相等的概念，属于基础题.
12．D
先求出复数，然后化简即可
【详解】
由题意可得，
所以，
故选：D
13．A
根据复数除法运算求出，即可根据虚部求出.
【详解】
因为，所以，
则，解得．
故选：A.
14．C
根据复数代数形式的乘除运算化简，再根据为纯虚数列出方程，即可求出.
【详解】
，
因为为纯虚数，所以，所以.
故选：C
15．D
根据复数的乘方运算和复数的除法运算求得，再由共轭复数的概念可得选项.
【详解】
解：因为 ，所以，
故，
故选：D
结论点睛：求解复数的运算问题时要牢记复数的相关运算技巧和结论：，，，，，，．
16．
先求出复数，计算出后可求的值.
【详解】
因为，故，所以，
故，故，
故答案为：.
知识点睛：
对任意的，
若，则，若，则，
若，则，若，则.
17．5
推导出，从而，由此能求出.
【详解】
解：∵，且，
∴，
∴，
∴.
故答案为：5.
本题考查复数的实部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.关键是利用复数的运算求出z的标准形式，并注意准确掌握实部的概念.
18．
利用复数的除法法则计算出再求其共轭复数即可.
【详解】
，
故答案为：
19．
由方程有两根得到的范围，然后分类把中的绝对值去掉，再结合根与系数的关系得到答案．
【详解】
解：因为关于的方程
所以.
当，即时，为实数，
则，
当，即时，为一对共轭虚数，且，.
综上，
20．（1）8；（2）或
（1）即可化简得值；
（2）设，建立等式，列方程组求解.
【详解】
（1）；
（2）设，，即，
，所以，解得或，
所以或.
故答案为：或
此题考查复数的运算，关键在于根据题意利用复数的运算法则，准确计算求解.
21．（1）；（2）
（1）化简复数，再由复数在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；
（2）由复数的除法运算法则，化简得，再根据共轭复数的概念，即可求解.
【详解】
（1）由题意，复数，
则
因为复数在复平面上对应的点在第四象限，
所以，解得，
即实数的取值范围.
（2）由，
所以.
与复数的几何意义相关问题的一般步骤：
（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；
（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数与复平面上的点一一对应，列出相应的关系求解.
22．（1）；-3+i；-2+2i（2）直角三角形.（3）2
（1）求出A,B,C对应的点的坐标，再根据向量的坐标运算求出结果；
（2）分别求出对应的线段的长，再根据勾股定理即可判断；
（3）利用直角三角形的面积公式，计算即可.
【详解】
解：（1）对应的复数为.
对应的复数为.
对应的复数为.
（2）由（1）知，
，，
∴.∴为直角三角形.
（3）.
本题考查复数的几何意义，复数和平面内的点是一一对应关系，考查了向量的模以及三角形的面积公式，考查了运算能力，属于基础题.
答案第1页，共2页
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