8.1基本立体图形 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.1 基本立体图形 同步练习
一、单选题
1．球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面距离.已知正的项点都在半径为的球面上，球心到所在平面距离为，则、两点间的球面距离为（ ）
A． B． C． D．
2．已知某圆锥轴截面的顶角为，过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，则该圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为
A． B． C． D．
4．圆锥的高为1，体积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
5．若一个三棱锥的底面是边长为3的正三角形，高为，所有侧棱均相等，则侧棱长为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（ ）
A．64π B．48π C．32π D．16π
7．棱长为1的正四面体内有一个内切球为中点，N为中点，连接交球O于两点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示的平面中阴影部分绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为（ ）
A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱 D．一个球挖去一个长方体
9．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体某条棱上的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则在侧视图中对应的点为（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
10．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（ ）
A． B．2 C． D．
11．棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，正三棱锥中，，侧棱长为，过点的平面与侧棱相交于，则△的周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知三棱锥，底面是边长为2的正三角形，平面平面ABC.，M为棱PC上一点，且，过M作三棱锥外接球的截面，则截面面积最小值为____________.
14．已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则△的面积的取值范围为_______
15．某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径是________.
16．在长方体中，，，，则=___________
17．已知正四棱锥中，底面的面积为，一条侧棱的长为，则该棱锥的高为______.
三、解答题
18．表示下面几何体的顶点、棱、面
19．如图所示是一个正三棱台，而且下底面边长为2，上底面边长和侧棱长都为1.O与分别是下底面与上底面的中心.

（1）求棱台的斜高；
（2）求棱台的高.
20．如图，长方体被一个平面截成两个几何体，其中.请说出这两个几何体的名称.
21．已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱，，，分别交于三点M，N，Q.若为直角三角形，求该直角三角形斜边长的最小值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
设球心为点，计算出，利用扇形弧长公式可求得结果.
【详解】
设球心为点，平面截球所得截面圆的半径为，
由正弦定理可得，，
又，所以，为等边三角形，则，
因此，、两点间的球面距离为.
故选：C.
思路点睛：求球面距离，关键就是要求出球面上两点与球心所形成的角，结合扇形的弧长公式求解，同时在计算球的截面圆半径时，利用公式（其中为截面圆的半径，为球的半径，为球心到截面的距离）来计算.
2．A
由题可求圆锥的母线长为2，结合条件即求.
【详解】
如图，由题可知，，
又过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，
∴，即，
在中，.
故选：A.
3．A
根据题意可求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，再根据截面圆半径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径，从而得到球的体积．
【详解】
设球的半径为cm，根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面圆的距离为cm，所以由，得，所以球的体积为．
故选：A．
本题主要考查球的体积公式的应用，以及球的结构特征的应用，属于基础题．
4．A
首先根据题意，确定出圆锥的底面圆半径和母线长，从而确定出轴截面的顶角，结合三角形的面积公式可确定其为直角三角形时面积最大.
【详解】
圆锥的高为1，体积为，则底面圆的半径为，母线长为2，
轴截面的顶角为，
当截面为直角三角形时，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积最大，
最大值为，
故选：A．
关键点点睛：该题考查的是有关过圆锥定点截面面积的最值问题，正确解题的关键是要明确圆锥轴截面顶角的大小以及三角形面积公式.
5．C
设在平面的投影为，则，根据是的重心求出，即可求出侧棱长.
【详解】
如图所示三棱锥中，由题可得，
设在平面的投影为，则，
则是的重心，
，
则在中，.
故选：C.
6．C
由题意可得，圆锥的侧面展开图是扇形，半径为母线8，弧长为圆锥底面周长，进而可得结果.
【详解】
由题意可得，圆锥底面直径为，8半径为4，母线长为8，
圆锥的侧面展开图是扇形，半径为母线8，弧长为圆锥底面周长
扇形面积为：
故选：C
7．A
分别求出正四面体的体积和表面积，由等体积法可得内切球半径，根据相似三角形计算出球心到的距离，进而可得.
【详解】
如左图，设的中心为，则平面.
因为正四面体的棱长为1，
所以，，，
故正四面体的体积，
正四面体的表面积，
设正四面体的内切球半径为，则由得.
因为是的中点，所以，.
考察正四面体过三点的截面图（如右图），
则，
过点向作垂线，垂足为，则△△，
所以，因此，
故.
故选：A.
关键点点睛：（1）根据等体积法求得内切球半径；（2）根据相似三角形计算出球心到的距离.
8．B
根据旋转体的定义，即可得出结论.
【详解】
由题意知形成的几何体为一个球挖去一个圆柱.
故选:B.
本题考查旋转体的定义，属于基础题.
9．C
根据三视图作出几何体的直观图，标出点的位置，由此可得出结论.
【详解】
根据三视图可知，该几何体的直观图如图所示，由图可知，在侧视图中对应的点为点，
故选：C．
10．B
可得原几何体如图所示正三棱锥，取中点，连接，设底面边长为，表示出，，即可求出，进而求出腰长.
【详解】
根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥，
取中点，连接，则底面中心在上，连接，可得平面，
由三视图可知，，
设底面边长为，则，则，
则在等腰直角三角形中，，
是底面中心，则，
则，解得，
则，底面边长为，
则正视图（等腰三角形）的腰长为.
故选：B.
本题考查根据三视图计算原几何体的相关量，解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.
11．B
设出棱台的高与截得它的棱锥的高，利用面积之比等于相似比的平方，化简求出结果．
【详解】
设棱台的高为与截得它的棱锥的高，作出草图，如下图所示：
由相似关系可得，，所以，则
即， 可得 .
故选：B．
本题考查棱台的结构特征，计算能力，是基础题．
12．D
将正三棱锥沿剪开，要使△的周长的最小则有，结合已知条件及正三棱锥的性质知△是等边三角形，即可知周长的最小值.
【详解】
将正三棱锥沿剪开可得如下图形，
∵，即，又△的周长为，
∴要使△的周长的最小，则共线，即，
又正三棱锥侧棱长为，△CAC'是等边三角形，
∴.
故选：D
13．
利用为直角三角形，是边长为2的正三角形，可以得出球心O在上靠近的三等分点处，可以计算球半径，过点M的所有截面圆中，截面与MO垂直的截面圆为最小截面圆，可以利用勾股定理求出截面圆面积最小值.
【详解】
在中，，，，
所以为直角三角形，该三角形的外接圆圆心为中点，连接，，
因为面面CAB，所以球心在上，又因为为等边三角形，
故球心O在上靠近的三等分点处，
因为M为PC的三等分点，故，所以，
因为，
所以外接球半径，
过点M的所有截面圆中，截面与MO垂直的截面圆为最小截面圆，
其半径，
所以截面圆面积.
故答案为：.
关键点点睛：本题解题的关键点是求出三棱锥外接球的球心O在上靠近的三等分点处，过点M的所有截面圆中，截面与MO垂直的截面圆为最小截面圆.
14．．
讨论在下底面圆周上的位置，确定不同位置上的变化情况及其最值点，进而确定△的面积的范围.
【详解】
如图1，上底面圆心记为，下底面圆心记为，
连结，过点作，垂足为点，则，又为定值2，故的大小随着的长短变化而变化，
如图2所示，当点与点重合时，，此时取得最大值为；
如图3所示，当点与点重合，取最小值2，此时取得最小值为．
综上所述，的取值范围为．
故答案为：．
15．8
由题意画出截面图，由圆的周长公式求出圆的半径，再用勾股定理求出球的半径
【详解】
作出截面图如图所示，则
由截面圆的周长为，得
球的半径是
故答案为：8
16．
利用长方体的体对角线公式求解.
【详解】
因为在长方体中，，，，
所以，
故答案为：
17．6.
根据底面面积可以求出底面中心到顶点的距离，再结合侧棱长，利用勾股定理可求得棱锥的高.
【详解】
如图，取正方形的中心，连接，
则就是正四棱锥的高
底面的面积为
又一条侧棱长为
正四棱锥的高为
本题正确结果：
本题考查利用正棱锥的结构特征求解相关量的问题，属于基础题.
18．详见解析
根据多面体的面、棱、顶点的概念可直接写出答案.
【详解】
解：顶点：A，B，C，D，M，N；
棱：AB，BC，CD，DA，MA，MB，MC，MD，NA，NB，NC，ND；
面：平面MAB，平面MBC，平面MDC，平面MAD，平面MAB，平面NAD，平面NDC，平面NBC.
本题考查对立体图形的认识，属于基础题.
19．（1）（2）
（1）棱台侧面是等腰梯形，在等腰梯形中可计算出斜高；
（2）在直角梯形中计算高或补形为棱锥的直角三角形计算．
【详解】
（1）因为是正三棱台，所以侧面都是全等的等腰梯形.

（2） （3）
如图（2）所示，在梯形中，分别过，作AC的垂线与，则由，可知，从而，
即斜高为.
（2）根据O与分别是下底面与上底面的中心,以及下底面边长和上底面边长分别为2和1，可以算出
.
假设正三棱台是由正棱锥截去正棱锥得到的，则由已知可得VO是棱锥的高，是棱锥的高，是所求棱台的高.
因此是一个直角三角形，画出这个三角形，如图（3）所示，则是的中位线.
因为棱台的棱长为1，所以，，从而
，
因此.
因此棱台的高为.
本题考查正棱台中的高与斜高的计算，解题关键是掌握正棱台中两个直角梯形．棱台可能看作是由棱锥截出来的，因此也可借助正棱锥中的直角三角形计算．
20．一个几何体为五棱柱，另一个几何体为三棱柱.
根据棱柱的定义可以判断两部分均为棱柱.
【详解】
几何体,根据原几何体为长方体有：面面，其余各面(侧面)均为平行四边形且相邻平行四边形的公共边平行，所以为三棱柱.
几何体,根据原几何体为长方体有：面面，其余各面(侧面)均为平行四边形且相邻平行四边形的公共边平行，所以为五棱柱.
本题考查棱柱的概念，判断几何体是棱柱，属于基础题.
21．.
依据题给条件构造不等式即可求得该直角三角形斜边长的最小值.
【详解】
如图，不妨设点N在点B处，，，
则，，.
由，得，则，即.
所以该直角三角形斜边.
即该直角三角形斜边最小值为
答案第1页，共2页
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