8.5空间直线、平面的平行 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.5 空间直线、平面的平行
一、单选题
1．平面∥平面，，则直线和的位置关系（ ）
A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．平行或相交或异面
2．已知两条不同的直线a，b和两个不重合的平面，下列条件中能推出结论的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
3．已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（ ）
①，；
②，；
③，；
④，；
⑤，，．
A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤
4．已知正方体的棱长为2，点在棱上，过点作该正方体的截面，当截面平行于平面且面积为时，线段的长为（ ）
A． B．1 C． D．
5．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
6．下列命题正确的是（ ）
A．一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D．如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
7．平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
A．α内有无数条直线都与β平行
B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
C．α内的任何直线都与β平行
D．直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α
8．已知，，是两两不重合的三个平面，下列命题中错误的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，则
9．在正方体中，有以下结论：①面；②；③与是异面直线；④与成角，其中正确的结论共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在直四棱柱中，，，，，点，，分别在棱，，上，若，，，四点共面，则下列结论错误的是（ ）
A．任意点，都有
B．任意点，四边形不可能为平行四边形
C．存在点，使得为等腰直角三角形
D．存在点，使得平面
11．若直线平面，则过作一组平面与相交，记所得的交线分别为，，，…，那么这些交线的位置关系为（ ）
A．都平行 B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或交于同一点
12．已知，，是不同的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则平行于平面内的任意一条直线
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，则
二、填空题
13．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的是_____.
①AC∥面PQMN；②AC＝BD；③BD∥面PQMN；④AC⊥BD
14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB=AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是_____.
15．平面分别平行于空间四边形中的与所在的直线，且交 于点，若，则四边形的面积的最大值为___________.
16．在正方体中，为棱的中点，则________平面(填或)
三、解答题
17．如图，在直四棱柱中，点是线段上的一个动点，分别是的中点.
（1）求证：平面.
（2）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2，BC=3.
（1）求证：AB1平面BC1D；
（2）求AB1与BD所成角的余弦值.
19．如图，四棱锥中，平面，，，，，在线段上，，．
（1）求三棱锥的体积；
（2）线段上是否存在一点，使平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
（3）若为的中点，在（2）的条件下，过的平面交平面于直线，求证：
20．在如图所示的五面体中，四边形为平行四边形，平面，，为的中点.求证：平面.
21．如图，在四边形中，，，，，为上的点且，若平面，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的侧面积.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
利用平面∥平面，可得平面与平面没有公共点，根据，可得直线，没有公共点，即可得到结论．
【详解】
∵平面平面，∴平面与平面没有公共点
∵，，∴直线，没有公共点
∴直线，的位置关系是平行或异面，
故选：B.
2．C
根据线面平行的判定定理、性质定理和面面平行的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，两条不同的直线a，b和两个不重合的平面，
对于A中，若且，可得或，所以不正确；
对于B中，由，可得，又由，可能，所以不正确；
对于C中，由且，根据面面平行的性质，可得所以正确；
对于D中，由且，可得或，所以不正确.
故选：C.
3．A
由线线关系、线面关系、面面关系可逐项判断．
【详解】
①，，由平行公理4得，正确；
②，，则与有可能平行、相交、异面，故错误；
③，则或，故错误；
④，；则或，故错误；
⑤，，，由线面平行的判定定理可得．
故选：A.
4．A
过点作，的平行线，分别交棱，于点，，连接，，即可得到为截面，且为等边三角形，再根据截面面积求出的长度，即可求出；
【详解】
解：如图，过点作，的平行线，分别交棱，于点，，连接，，因为，所以，面，面，所以面
因为，所以，面，面，所以面
又，面，所以面 面，则为截面，
易知是等边三角形，则，解得，∴.
故选：A.
5．D
利用空间线面关系定理分别分析四个选项，得到正确答案.
【详解】
对于A 当，，时，m，n有可能平行，所以不正确；
对于B 当，时，因为直线m，n的位置未知，所以α，β不一定平行，故不正确；
对于C 当，，时，m，n有可能异面，所以不正确；
对于D 满足面面垂直的性质定理，所以正确
故选：D
此题考查了空间线面关系，线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理的运用，属于基础题.
6．B
根据面面平行的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项，这两个平面可能相交，故A选项错误.
对于B选项，如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，正确，故B选项正确.
对于C选项，这两个平面可能相交，故C选项错误.
对于D选项，这两个平面可能相交，故D选项错误.
故选：B
7．C
根据面面平行的性质和判定定理进行判断即可
【详解】
对A，若α内的无数条直线都平行，平面α与平面β不一定平行，也可能相交，垂直，A错
对B，当直线平行于两平面交线时，符合命题叙述，但平面α与平面β相交，B错
对C，“α内的任何直线都与β平行”可等价转化为“α内的两条相交直线与β平行”，根据面面平行的判定定理，C正确
对D，当两平面相交，直线a，直线b都跟交线平行且符合命题叙述时，得不到平面α与平面β平行，D错
故选C
本题考查面面平行的判定：当两条相交直线与另一平面平行时，则过这两条交线的平面与另一平面平行
8．D
对于A：可根据平行于同一平面的两个平面平行这一结论作出判断；
对于B：可根据面面平行的性质定理作出判断；
对于C：可根据平面与平面垂直的定义作出判断；
对于D：当，时，与可能平行，也可能相交，据此可作出判断.
【详解】
根据平行于同一平面的两个平面平行，可知①正确；
由面面平行的性质定理：若两平面平行，第三个平面与他们都相交，则交线平行，
可知：若，，则为真命题，即②正确；
若，，根据平面与平面垂直的定义，可得，即③正确；
当，时，与可能平行，也可能相交，不一定垂直，即④不正确．
故选：D.
本题考查空间中直线与直线、平面与平面的位置关系，考查逻辑思维能力和空间想象能力，属于常考题.
9．D
根据正方体的结构特征，由线面平行的判定定理判断①，由平行的性质判断②，由异面直线概念判断③，根据异面直线所成的角判断④.
【详解】
如图，
①中，由,平面，平面，可得面，故正确；
②中，由,,可得，故正确；
③中，由正方体可知与是异面直线，正确；
④中，因为，所以与所成角为（或其补角），在等边中，，故正确.
故选：D
10．C
根据线线，面面的性质判断A，B是否正确；使用假设法判断C，D是否正确.
【详解】
解：对于A：由直四棱柱，，
所以平面平面，
又因为平面平面，平面平面，
所以，故A正确；
对于B：若四边形为平行四边形，则，
而与不平行，即平面与平面不平行，
所以平面平面，平面平面，
直线与直线不平行，
与矛盾，
所以四边形不可能是平行四边形，故B正确；
对于C：假设存在点，使得为等腰直角三角形，令，
过点作，则，在线段上取一点使得，连接，则四边形为矩形，所以，
则，
，
显然，
若由，则且四边形为平行四边，
所以，无解，故C错误；
对于D：当时，为时，满足平面，故D正确.
故选：C.
11．A
根据线面平行的性质，过平行于平面的直线作平面与相交，则交线与平行，即可知正确选项.
【详解】
由直线平面，过作平面且，则，同理有，，…，
∴，即交线均平行.
故选：A
12．D
利用长方体模型依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
如图，设平面为平面，平面为平面，
对于A选项，设为直线，满足，但直线与直线是异面直线，故A选项错误；
对于B选项，设为直线，直线为，满足，，但不满足，故B选项错误；
对于C选项，设为直线，直线为，显然不满足，故C选项错误；
对于D选项，由面面平行的性质即可得该命题正确.
故选：D
13．①③④
根据正方形的性质，线面平行的判定和性质，异面直线所成的角，可判断.
【详解】
①项，截面为正方形，则有且，所以平面，又面ABC，面ABC面=，所以，又平面，平面，所以平面，故①项正确；
②项，由④项得出AC⊥BD，但不能得出AC＝BD，故②项是错误的；
③项，截面为正方形，则有，所以平面，又面ABD，面ABD面=，所以，又平面，平面，所以平面，故③项正确；
④项，由①，③可得，，又，所以AC⊥BD，故④正确；
故答案为：①③④
本题主要考查空间几何体中线面位置关系,需熟悉空间的线线，线面，面面的位置关系的定义，判定和性质，属于基础题.
14．平行
由题设易知EF∥BC，根据棱柱的结构特征即可判断EF与B1C1的位置关系.
【详解】
在△ABC中，AE∶EB=AF∶FC，
∴EF∥BC，三棱柱ABC-A1B1C1中，有BC∥B1C1，
∴EF∥B1C1.
故答案为：平行
15．##
由已知条件结合线面平行的性质可得四边形为矩形，设，，则，化简后利用二次函数的性质可求得答案
【详解】
如图，因为直线∥平面，直线平面，平面平面，所以∥.
同理可得∥，所以∥，.
同理可得∥.
所以四边形是平行四边形.
因为，所以四边形为矩形.
设，，则，.
所以，.
，
当时，S取得最大值，最大值为.
故答案为：
16．
画出图象，然后通过线线平行证得线面平行.
【详解】
画出图象如下图所示，根据正方体的性质可知，
所以四边形是平行四边形，所以.
由于平面，平面，
所以平面.
故答案为：
17．（1）证明见解析；（2）存在，
（1）利用三角形中位线及线面平行的判定定理证明线面平行；
（2）找的中点，作辅助线，证明平面平面.
【详解】
（1）如图，连接，在中，分别是的中点，.
又平面，平面，
平面.
（2）如图，在棱上存在点，点为的中点，使得平面平面.理由如下：
∵点是的中点，点是的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面;
由（1）知平面，且，
∴平面平面.
∴棱上存在点，使得平面平面，且.
本题主要考查线面平行的证明及探索性问题，探索性问题要有较高的观察力和猜想能力，侧重考查逻辑推理的核心素养.
18．（1）证明见解析；（2）.
（1）利用三角形中位线定理证明ODAB1，再用线面平行的判定定理证明AB1平面BC1D；
（2）先判断出∠ODB（或其补角）为AB1与BD所成的角，再解三角形求出余弦值.
【详解】
（1）证明：如图，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD．
∵四边形BCC1B1是平行四边形．
∴点O为B1C的中点．
∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．
∵OD 平面BC1D，AB1 平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D．
（2）解：由（1）可知，∠ODB为AB1与BD所成的角或其补角，
∵AA1＝AB＝2，∴AB1＝2，OD，
在Rt△ABC中，D为AC的中点，则BD，
同理可得，OB，
在△OBD中，
cos∠ODB
∴AB1与BD所成角的余弦值为．
立体几何解答题的基本结构：
(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；
(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以用几何法，也可以用向量法计算．
19．（1）；（2）存在；点为线段的中点；（3）证明见解析．
（1）由于，所以由已知条件求出，从而可求得结果；
（2）存在点为线段的中点，取的中点，连，，由三角形中位线定理再结合已知可得四边形是平行四边形，从而可得，进而由线面平行的判定定理可证得结论；
（3）设过的平面为，由（2）知点为线段的中点，则由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定和性质可得结论
【详解】
（1）直角梯形中，由，，，，知，
∴，
∴，
（2）存在点为线段的中点．
取的中点，连，，
由三角形的中位线的性质，
，，
又，，
所以∥，，所以四边形是平行四边形，
所以，
平面，平面，
所以平面，
（3）设过的平面为，由（2）知点为线段的中点，又为的中点
∴，
又面，平面
∴平面
又面面，平面
∴
20．证明见解析
取的中点，连接、，分别证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证明平面平面，然后利用面面平行的性质可证明出平面.
【详解】
取的中点，连接、.
因为、分别为、的中点，所以.
又平面，且平面，所以平面，
因为平面，平面，平面平面，所以.
又，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以.
又平面，且平面，以平面.
又，所以平面平面.
又平面，所以平面.
本题考查利用面面平行的性质证明线面平行，同时也涉及了利用线面平行的性质定理证明线线平行，考查推理能力，属于中等题.
21．（1）证明见解析；（2）.
（1）设中点为，连接 ，利用线面平行的判定定理，可证平面，根据题意可得，且，所以四边形为平行四边形，根据线面平行的判定定理，可证平面，利用面面平行的判定定理，可证平面平面，又平面，即可得证.
（2）根据题意结合线面垂直的判定、性质定理，可证、、都为直角三角形，代入数据即可求得其面积，根据PA=PB，设等腰中，AB边上的高为h，即可求得h，进而可求得的面积，即可求得答案.
【详解】
（1）证明：设中点为，连接
∵为的中点∴，
又∵平面，平面
∴平面
又∵，，，
∴，且，
∴四边形为平行四边形
∴，
又∵平面，平面
∴平面
又∵，平面，平面
∴平面平面
又∵平面
∴平面
（2）∵，∴
又∵平面，∴
又∵，平面，平面
∴平面∴
∴、、都为直角三角形
∵，，，，
∴，，，，
∴，，，
设等腰中，AB边上的高为h，则,
∴
∴
∴四棱锥的侧面积为
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