8.6空间直线、平面的垂直 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.6 空间直线、平面的垂直
一、单选题
1．如图.是圆的直径，，，是圆上一点(不同于，)，且，则二面角的平面角为（ ）
A． B． C． D．
2．中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°，若取，则下列结论正确的是（ ）
A．正四棱锥的底面边长为48m
B．正四棱锥的高为4m
C．正四棱锥的体积为
D．正四棱锥的侧面积为
3．设 为两条直线， 为两个平面，则下列命题中假命题是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
4．在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．已知两条直线m，n和平面，且，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．如果直线l，m与平面满足和，那么必有（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
7．如图，正方体的棱长为1，动点在线上，，分别是，的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．平面
C．三棱锥的体积为定值 D．存在点，使得平面平面
8．如图1，矩形ABCD，，，E为CD中点，F为线段CE（除端点外）的动点，如图2，将沿AF折起，使平面平面ABC，在平面ABD内，过点D作，K为垂足，则AK长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方体中，点P在线段上运动，给出下列判断：
（1）平面平面
（2）平面
（3）异面直线与所成角的范围是
（4）三棱锥的体积不变
其中正确的命题是（ ）
A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（2）（4）
10．已知直线a，b，平面，，，，，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面.记与平面所成角为，与所成角为，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知三个顶点都在球的表面上，且，，是球面上异于 的一点，且平面，若球的表面积为，则球心到平面的距离为____________.
14．在矩形ABCD中，，，沿AC将折起，得到的四面体的体积的最大值为______．
15．已知三棱锥的各顶点都在球O上，点M，N分别是，的中点，上平面，，，则下列结论正确的是___________.
①平面；
②球O的体积是；
③二面角的余弦值是；
④平面被球O所截的截面面积是
16．在直三棱柱中，为的中点，平面，，则异面直线与所成角的正切值为___________.
17．如图，在平面四边形中，为的中点，将沿折起，使得，以为球心，为半径的球与三棱锥各面交线的长度和为___________.
三、解答题
18．如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，求证：
（1）平面平面；
（2）．
19．如图，已知矩形CDEF和直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ADC＝90°，DE＝DA，M为AE的中点.
（1）求证：AC∥平面DMF；
（2）求证：BE⊥DM.
20．如图所示，在三棱锥中，，，，点，分别为，的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求四面体的体积.
21．如图所示，四边形为正方形，平面，过点且垂直于的平面分别交于点．求证：．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
由圆的性质知：，根据线面垂直的判定得到面，即，结合二面角定义可确定二面角的平面角.
【详解】
∵是圆上一点(不同于，)，是圆的直径，
∴，，，即面，而面，
∴，又面面，，
∴由二面角的定义：为二面角的平面角.
故选：C
2．C
在如图所示的正四棱锥中，设底面边长为，根据侧棱长和侧面与底面所成的二面角可求底边的边长，从而可求体高、侧面积以及体积，据此可判断各项的正误.
【详解】
如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，，
则为的中点，连接，则平面，，
则为侧面与底面所成的锐二面角，
设底面边长为．正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，
这个角接近30°，取，∴，
则，，．
在中，，解得，故底面边长为，
正四棱锥的高为，侧面积为，
体积．
故选：C．
3．C
本题要进行两平面平行与垂直的判断，只要利用两平面平行与垂直的性质定理以及平面的法向量之间的关系判断两平面平行与垂直即可得出答案.
【详解】
A.若，，，相当于两平面的法向量垂直，两个平面垂直，A正确；
B.若，，则，又，则平面内存在直线，所以，所以，B正确；
C.若，，，则可能相交，可能平行，C错误；
D.若，，，则的法向量平行，所以，D正确.
故选：C.
4．A
如图，连接，，，利用余弦定理可求的值，从而可得直线与直线所成角大小.
【详解】
设正方体的棱长为，连接，，，
因为，故或其补角为直线与直线所成角.
而，，，
故，所以，
所以，因为为锐角，故，
故选：A.
5．C
首先利用特殊情况得到不满足题意得充分性，再利用线面平行的性质和线面垂直的性质即可判断满足必要性，即可得到答案.
【详解】
充分性：如图所示，在长方体中，满足，，
此时，不满足充分性.
必要性：若，则存在，，
又因为，，所以，所以，满足必要性.
故“”是“”的必要而不充分条件.
故选：C
6．A
根据题设线面关系，结合平面的基本性质判断线线、线面、面面的位置关系.
【详解】
由，则；由，则；由上条件，m与可能平行、相交，与有可能平行、相交.
综上，A正确；B，C错误，m与有可能相交；D错误，与有可能相交．
故选：A
7．D
对A,根据中位线的性质判定即可.
对B,利用平面几何方法证明，再证明平面即可.
对C,根据三棱锥以为底,且同底高不变,故体积不变判定即可.
对D,根据与平面有交点判定即可.
【详解】
在A中,因为分别是的中点,所以,故A正确;
在B中,因为,,故,
故.故,又有,
所以平面,故B正确；
在C中,三棱锥以面为底,则高是定值,所以三棱锥的体积为定值,故C正确.
在D中,与平面有交点,所以不存在点,使得平面平面,故D错误.
故选：D.
方法点睛：本题考查空间点线面的位置关系，考查棱锥的体积，考查线面垂直的判定定理的应用，判断线面垂直的方法主要有：
1.线面垂直的判定定理，直线与平面内的两条相交直线垂直；
2.面面垂直的性质定理，若两平面互相垂直，则在一个平面内垂直于交线的垂直于另一个平面；
3.线面垂直的性质定理，两条平行线中有一条与平面垂直，则另一条也与平面垂直；
4.面面平行的性质定理，直线垂直于两平行平面之一，必然垂直于另一个平面．
8．A
过作交AB于M，连FK，设，用表示，，，然后在中，利用勾股定理求出的函数关系，求出的范围.
【详解】
过做交AB于M，连FK，设,
则，在中，,
在中，,
在中，
,化简得
∴t的取值范围是
故选：A
9．D
（1）线面垂直推出面面垂直；（2）面面平行推出线面平行；（3）数形结合找到异面直线与所成角的最小值和最大值，即可验证（3）；（4）为点C到平面的距离不变，且的面积不变，即可验证（4）.
【详解】
对于A中，根据正方体的性质，可得平面，
又由平面，则平面平面，故（1）正确；
对于B中，连接，在正方体中，可得平面平面，
又由平面，所以平面，故（2）正确；
对于C中，当P与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，
当P与线段的中点重合时，与所成角取最大值，
故与所成角的范围是，故（3）错误；
对于D中，，因为点C到平面的距离不变，且的面积不变，
所以三棱锥的体积不变，故（4）正确．
综上（1）（2）（4）正确.
故选：D.
10．C
过直线作平面，交平面于直线，，，，由可推出，由可推出，故“”是“”的充要条件．
【详解】
解：若，
过直线作平面，交平面于直线，，，
又，，
又，，
若，
过直线作平面，交平面于直线，，，
，，
又，，
，，
故“”是“”的充要条件，
故选：．
11．D
取BC的中点D，通过垂直关系的证明得到就是直线PA与平面PBC所成的角，结合线段长度求解出线面角的正弦值.
【详解】
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，即，
又∵，
∴△PAB△PAC，
∴.
取BC的中点D，连接AD，PD，
∴PD⊥BC，AD⊥BC，
又∵PD∩ADD，∴BC⊥平面PAD，
∵BC 平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC，
过A作AO⊥PD于O，易得AO⊥平面PBC，
∴就是直线PA与平面PBC所成的角.
在Rt△PAD 中，，
则，则.
故选：D.
12．D
利用作图，构造出和，分别求和，比较后，即可判断选项.
【详解】
如图，取，，的中点，，，连接，，，，，，设棱长为2，
，
平面，平面，
所以平面，
，同理平面，，且 ，
所以平面平面，所以点在线段上，
因为平面，所以，
因为，所以或为，
,当点在的中点时，最小，此时最大，最大值是，当点与点，重合时，最大，此时最小，最小值是，
当点在的中点时，，当点与点，重合时，最小，,， ，，
所以，，，
所以 .
故选：D
13．
根据题中的垂直关系，确定球心，再根据球的表面积公式计算，再求点到平面的距离.
【详解】
由，，
并且平面，平面，，且
平面，，
是直角三角形和的公共斜边，
取的中点，根据直角三角形的性质可知，
所以点是三棱锥外接球的球心，
设，则，
则三棱锥外接球的表面积，，解得：,
点到平面的距离.
故答案为：
方法点睛：本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为，那么外接球的直径，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立的方程.（3）而本题类型，是两个直角三角形的公共斜边的中点是外接球的球心.
14．##4.8
由题意当平面平面时，四面体的体积最大值，过作交于点，则为高，从而可得答案.
【详解】
由，，则
沿AC将折起,当平面平面时，四面体的体积最大值.
过作交于点，由平面平面，且平面平面
所以平面,则为此时四面体的高. 且
所以
故答案为：
15．①②
对①，利用判定定理判断；对②，找到球心，得到半径，最后计算；对③，过点作，找到二面角的平面角，然后计算即可；对④，利用等体积法计算.
【详解】
如图：
对于选项①，因为平面，所以，
由，，可得，
满足，所以，又，
所以平面，故①正确；
对于选项②，是和的公共斜边，
所以的中点即三棱锥外接球的球心，
所以球的半径为，球的体积为，故②正确；
对于选项③，过点作，垂足为，连接，易证平面，
所以，又，所以平面，所以，
所以为二面角的平面角，在中，可得，
在中，可得，在中，，
则 ，故③错误；
对于选项④，设到平面的距离为，
平面被球所截的截面圆的半径为，因为是的中位线，
所以到平面的距离等于到平面的距离，
故，即，得，
所以，所以截面圆的面积为，故④错误.
故答案为：①②
16．
根据线面垂直，可知，，，进而可得是等腰直角三角形，再利用几何法求异面直线夹角.
【详解】
如图所示，不妨设.
因为平面，
所以，，.
因为为和中点，所以，
即，，
所以是等腰直角三角形.
设为的中点，连接，，则，
所以或其补角就是异面直线与所成的角，
因为，
所以，.
故答案为：
17．
根据线面垂直和面面垂直的判定可证得面面ABC，从而得球D与面BDC，面BAD，面ADC的交线分别为圆弧，圆弧，圆弧，再过D作于F，所以以D为球心，以DE为半径的球与平面ABC也相交，从而求得答案.
【详解】
翻折后形成的几何体如图所示，由题意知 ，所以，所以平面ACD，
由E为AC的中点得，，，所以面BDE，所以面面ABC，
所以球D与面BDC，面BAD，面ADC的交线分别为圆弧，圆弧，圆弧，过D作于F，所以，
故以D为球心，以DE为半径的球与平面ABC也相交,其交线是以F为圆心，以为半径的圆，
所以球与三棱锥各面交线的长度和为
故答案为：.
关键点睛：本题考查折叠问题，球与多面体的截面问题，关键在于运用空间的线面关系得出球与多面体的每一个面相截的截面形状.
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
（1）证得平面与平面，根据面面平行得判定定理即可证出结论；
（2）证得面，结合线面垂直的性质即可证出结论.
【详解】
证明：（1）∵在正方体中，
，，分别是棱，，的中点，
，又平面，平面，
所以平面，
又，又平面，且 平面，
所以平面，
又，
∴平面平面；
（2）由已知，可得，
又底面，底面，
面，，
，是，的中点，，
又，，
又，面，
面，．
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）根据矩形的性质，结合线面垂直的性质和判定定理进行证明即可.
【详解】
（1）如图，连结EC交DF于点N，连结MN.
因为CDEF为矩形，所以EC，DF相互平分，所以N为EC的中点.
又因为M为EA的中点，所以MN∥AC.
又因为AC 平面DMF，且MN 平面DMF.
所以AC∥平面DMF.
（2）因为矩形CDEF，所以CD⊥DE.
又因为∠ADC＝90°，所以CD⊥AD.
因为DE∩AD＝D，DE，AD 平面ADE，所以CD⊥平面ADE.
又因为DM 平面ADE，所以CD⊥DM.
又因为AB∥CD，所以AB⊥DM.
因为AD＝DE，M为AE的中点，所以AE⊥DM.
又因为AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABE，所以MD⊥平面ABE.
因为BE 平面ABE，所以BE⊥MD.
20．（1）证明见解析；（2）.
（1）根据线面垂直的判定定理，证得平面，即可得到平面平面；
（2）由（1）可得为三棱锥的高，在中，结合余弦定理和面积公式，求得，利用棱锥的体积公式，即可求解.
【详解】
（1）因为，所以，，
又因为，，平面，所以平面，
又由平面，所以，
因为，为的中点，所以，
又由，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）由（1）可得为三棱锥的高，
因为点，分别为，的中点，所以，，
由余弦定理可得，
因为，，所以，
可得，
所以，
即四面体的体积为.
21．证明见解析
由可证得平面，由此得到，再利用线面垂直性质和判定得到平面，由线面垂直性质可证得结论.
【详解】
平面，平面，；
四边形是正方形，；
，平面，平面，
又平面，．
平面，平面，．
又，平面，平面，
平面，．
答案第1页，共2页
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