10.3频率与概率 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 10.3 频率与概率 同步练习
一、单选题
1．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A． B． C． D．
2．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾的分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计生活垃圾，经分拣以后统计数据如下表（单位：t）．根据样本估计本市生活垃圾的分类投放情况，则下列说法正确的是（ ）
“厨余垃圾”箱 “可回收垃圾”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收垃圾 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
A．厨余垃圾投放错误的概率为
B．居民生活垃圾投放正确的概率为
C．该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是其他垃圾
D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000
3．下列说法正确的是（ ）
A．投掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上”
B．若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，则甲组数据比乙组数据稳定
C．为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式
D．一组数据1 2 5 5 5 3 3的中位数和众数都是5
4．从数字中随机取两个不同的数，分别记为和，则为整数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．将一个容量为1000的样本分成若干组，已知某组的频率为0.4，则该组的频数是（ ）
A．4 B．40 C．250 D．400
6．气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（ ）
A．本市明天将有70%的地区降雨 B．本市有天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大 D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
7．一个容量为20的样本数据，分组后组距为10，区间与频数分布如下：(10，20]，2；(20，30]，3；(30，40]，4；(40，50]，5；(50，60]，4；(60，70]，2.则样本在(10，50]上的频率为（ ）
A． B． C． D．
8．“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（ ）.
A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防；
B．小概率事件很少发生，不用怕；
C．小概率事件就是不可能事件，不会发生；
D．大概率事件就是必然事件，一定发生．
9．若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
10．某家庭准备晚上在餐馆吃饭，他们查看了两个网站关于四家餐馆的好评率，如下表所示，考虑每家餐馆的总好评率，他们应选择（ ）
网站①评价人数 网站①好评率 网站②评价人数 网站②好评率
餐馆甲 1000 95% 1000 85%
餐馆乙 1000 100% 2000 80%
餐馆丙 1000 90% 1000 90%
餐馆丁 2000 95% 1000 85%
A．餐馆甲 B．餐馆乙 C．餐馆丙 D．餐馆丁
11．已知某工厂生产的产品的合格率为90%现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品，经随机模拟产生了如下20组随机数：
7527 0293 7040 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0301 6233 2616 8045 6001 3661 9597 7424 7610 4001
掘此估计，4件产品中至少有3件合格品的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．对于总数的一批零件，抽取一个容量为30的样本.若每个零件被抽到的可能性均为25%，则（ ）
A．120 B．150 C．200 D．240
二、填空题
13．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组 [10,20） [20,30） [30,40） [40,50） [50,60） [60,70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本数据落在区间[10,40）的频率为________．
14．如图所示电路中，开关、、断开的概率分别是0.3、0.2、0.1，且开关、、断开是相互独立的，则此电路连通的概率为________
15．有三台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为0.06，第二三台加工的次品率均为0.05，加工出来的零件混放在一起.已知第一，二，三台车床加工的零件数分别占总数的0.25，0.3，0.45，任取一个零件，求它是次品的概率______.
16．在一次数学考试中，某班学生的及格率是，这里所说的“”是指___________.(填“频率”或“概率”)
17．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量（单位：g）如下．
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134
则样本数据落在内的频率为______．
三、解答题
18．用抛掷1枚一元硬币和1枚五角硬币来模拟孟德尔的豌豆实验，设2枚硬币的正面对应DD，—元硬币的正面与五角硬币的反面对应Dd，一元硬币的反面与五角硬币的正面对应dD，2枚硬币的反面对应dd.抛掷这2枚硬币100次，记下出现DD，Dd，dD和dd的次数，考察你的结果是否基本符合的比例.
19．某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分，该公司将收集到的数据按照,分组，绘制成评分频率分布直方图如图：
（Ⅰ）从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率；
（Ⅱ）从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，从B地区抽取的100名用户随机选取两台，求这三名用户中至少有两名用户的评分不低于80分的概率；
（Ⅲ）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小．（结论不要求证明）
20．某班倡议假期每位学生每天至少锻炼一小时.为了解学生的锻炼情况，对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如下表:
锻炼时长（小时） 5 6 7 8 9
男生人数（人） 1 2 4 3 4
女生人数（人） 3 8 6 2 1
（Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生在该周的平均锻炼时长;
（Ⅱ）若从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，求选到男生和女生各1人的概率；
（Ⅲ）试判断该班男生锻炼时长的方差与女生锻炼时长的方差的大小.（直接写出结果）
21．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【详解】
分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
2．D
对于A，利用表中的数据可得厨余垃圾投放错误的概率为；对于B，利用表中的数据可得居民生活垃圾投放正确的概率为；对于C，依次求出三类垃圾中投放正确的概率，再比较即可；对于D，利用方差公式求解即可
【详解】
解：对于A，厨余垃圾投放错误的概率为，所以A错误；
对于B，居民生活垃圾投放正确的概率为，所以B错误；
对于C，厨余垃圾投放正确的概率为，可回收垃圾投放正确的概率为，其他垃圾投放正确的概率为，
所以该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾，C错误；
对于D，计算平均数为，
方差为，
所以厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000，D正确．
故选：D．
3．B
根据统计量，对各项分析判断即可得解.
【详解】
对于A，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A错误；
对于B，因为方差越小越稳定，故B正确；
对于C，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故C错误；
对于D，数据1 2 5 5 5 3 3按从小到大排列后为1 2 3 3 5 5 5，
则其中位数为3，故D错误，
故选：B.
4．B
先计算出从数字中随机取两个不同的数，共有种情况，再求出满足为整数的情况，即可求出为整数的概率.
【详解】
解：从数字中随机取两个不同的数，
则有种选法，有种选法，共有种情况；
则满足为整数的情况如下：
当时，或有种情况；
当时，有种情况；
当或时，则不可能为整数，
故共有种情况，
故为整数的概率是：.
故选：B.
5．D
直接利用频率的定义求解即可．
【详解】
一个容量为1000的样本分成若干组，某组的频率为0.4，
该组的频数为：．
故选：．
本题考查频数的求法，解题时要认真审题，属于基础题．
6．C
根据概率的意义,可判断各选项.
【详解】
气象台预报“本市明天降雨概率是70%”,则本市明天降雨的可能性比较大.与降水地区面积和降水时间无关,所以A,B错误.
降水概率是事件发生的可能,不是一定会发生的事情,所以D错误.
而由降水概率是70%,可知降水概率较大,所以明天出行不带雨具淋雨的可能性很大,所以C正确.
故选:C.
本题考查了概率的概念和意义,属于基础题.
7．D
根据频率等于频数比样本容量求解.
【详解】
因为样本在(10，50]上的频数为14，样本容量为20，
所以样本在(10，50]上的频率为
故选：D
本题主要考查统计中频率的求法，属于基础题.
8．A
理解谚语的描述，应用数学概率知识改写即可.
【详解】
“不怕一万，就怕万一” 表示小概率事件很少发生，但也可能发生，需提防；
故选：A
9．D
由随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，知，由此能求出实数的取值范围．
【详解】
随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，
且，，
，即，
解得，即．
故选：D．
本题考查互斥事件的概率的应用，属于基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
10．D
根据给定条件求出各餐馆总好评率，再比较大小作答.
【详解】
餐馆甲的总好评率为：，
餐馆乙的总好评率为：，
餐馆丙的好评率为：，
餐馆丁的好评率为：，
显然，所以餐馆丁的总好评率最高.
故选：D
11．D
0表示不是合格品，4件产品中至多出现一次0，根据概率计算公式即可求解.
【详解】
4件产品中至多出现一次0，共个，
所以4件产品中至少有3件合格品的概率为.
故选：D
12．A
根据每个个体被抽到的概率及样本容量,即可求得总体个数.
【详解】
∵对于总数为的一批零件,抽取一个容量为30的样本,每个零件被抽到的可能性均为25%,
∴,
解得.
故选:A.
本题考查了样本容量与抽样概率的关系,属于基础题.
13．0.45
用的频数除以求得的频率.
【详解】
数据落在区间[10,40）的频率为.
故答案为：
本小题主要考查频率的计算，属于基础题.
14．
由题可知当此电路连通时开关联通,至少有一个连通时线路是连通的,再利用分步原理计算即可.
【详解】
由题得当此电路连通时开关联通,至少有一个连通.
故概率为.
故答案为：
本题主要考查了概率的实际运用,需要根据题意分析到连通时满足的情况再求解,属于基础题.
15．
利用三台车床的次品率和零件数占比求得正确结论.
【详解】
依题意，任取一个零件，求它是次品的概率为
.
故答案为：
16．频率
根据频率与概率的概念即可得出答案.
【详解】
解析：在一次数学考试中，某班学生的及格率是，
这里所说的“”是指“频率”.
只有经过很多次考试得到的及格率都是，才能说是概率.
故答案为：频率.
17．0.4
根据频率的计算公式即可求解.
【详解】
解：因为样本数据落在内的有4个：120，122，116，120，
所以样本数据落在内的频率为，
故答案为：0.4.
18．符合
由题意，抛掷1枚一角硬币和1枚五分硬币，出现的可能是正正、正反、反正、反反，每一种情况的概率均为，即可得出结论．
【详解】
由题意，抛掷1枚一角硬币和1枚五分硬币，出现的可能是正正、正反、反正、反反．
每一种情况的概率均为，
抛掷这2枚硬币100次，记下出现，，和的次数，结果基本符合的比例．
19．（Ⅰ）0.6；（Ⅱ）0.036；（Ⅲ）
（Ⅰ）利用频率分布直方图计算评分不低于60分的频率，用频率估计概率即可；
（Ⅱ）先求出A地区随机选取一名，评分不低于80分的概率和B地区随机选取一名，评分不低于80分的概率，再分别求出这三名用户中恰有两名用户的评分不低于80分的概率和
这三名用户的评分都不低于80分的概率，即可求出；
（Ⅲ）利用频率分布直方图分别计算平均值和，再利用加权平均计算，比较即可.
【详解】
（Ⅰ）从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，这名用户对该公司产品的评分不低于60分的频率为，
利用频率估计概率可得这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率为0.6；
（Ⅱ）由频率分布图可得A地区随机选取一名，评分不低于80分的概率为，
B地区随机选取一名，评分不低于80分的概率为，
这三名用户中恰有两名用户的评分不低于80分的概率为，
这三名用户的评分都不低于80分的概率为，
则这三名用户中至少有两名用户的评分不低于80分的概率；
（Ⅲ）由A地区用户满意程度评分频率分布直方图可知，
，
由B地区用户满意程度评分频率分布直方图可知，
，
则，
又A地区与B地区抽取用户人数比值为，故A地区抽取用户人数占总数的，B地区抽取用户人数占总数的，
故A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值，
故.
关键点睛：解决本题的关键是正确利用频率分布直方图对数据进行估计，知道如何用频率估计概率，知道平均数的求解.
20．（Ⅰ）小时（Ⅱ）（Ⅲ）
（Ⅰ）由表中数据计算平均数即可；
（Ⅱ）列举出任选2人的所有情况，再由古典概型的概率公式计算即可；
（Ⅲ）根据数据的离散程度结合方差的性质得出
【详解】
（Ⅰ）这个班级女生在该周的平均锻炼时长为小时
（Ⅱ）由表中数据可知，锻炼8小时的学生中男生有人，记为，女生有人，记为
从中任选2人的所有情况为，，，共种，
其中选到男生和女生各1人的共有种
故选到男生和女生各1人的概率
（Ⅲ）
关键点睛：在第二问中，关键是利用列举法得出所有的情况，再结合古典概型的概率公式进行求解.
21．（Ⅰ）400人；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）见解析.
(Ⅰ)由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数；
(Ⅱ)利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000元的概率；
(Ⅲ)结合概率统计相关定义给出结论即可.
【详解】
（Ⅰ）由图表可知仅使用A的人数有30人，仅使用B的人数有25人，
由题意知A,B两种支付方式都不使用的有5人，
所以样本中两种支付方式都使用的有，
所以全校学生中两种支付方式都使用的有（人）.
（Ⅱ）因为样本中仅使用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，
所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金额大于2000元的概率为，
因为从仅使用B的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，
依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多.
本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
答案第1页，共2页
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