第六章平面向量及其应用 单元练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 第六章 平面向量及其应用
一、单选题
1．在中，若，则三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，角的对边分别为，且，，，则（ ）．
A． B． C． D．
3．已知边长为1的正方形，设，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若平面向量与的夹角为120°， ， ，则（ ）
A． B． C．2 D．3
5．下列命题中正确的有
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在中，已知，，且满足，，若线段和线段的交点为，则（ ）.
A． B． C． D．
7．在中，，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
8．在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）.
A． B． C． D．
9．希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学，特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示，阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的周长为（ ）
A． B．
C． D．
10．在△ABC中，若其面积为S，且=2S，则角A的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
11．在菱形中，，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
12．设均为单位向量，且，则（ ）
A． B． C． D．7
二、填空题
13．O是正六边形的中心，且，在以A、B、C、D、E、F、O为端点的向量中：
（1）与相等的向量有_________个；
（2）与互为负向量有__________个；
（3）与平行的向量有个__________个．
14．设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为______．
15．已知向量，，，______．
16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．角B为钝角．设△ABC的面积为S，若，则sinA+sinC的最大值是____________．
三、解答题
17． 在中，内角所对的边分别为.已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
18．已知函数.
（1）求的最小正周期及在区间上的最大值
（2）在锐角中，f（）=，且a=，求b+c取值范围.
19．在中，角的对边分别为，已知.
（1）求边的长﹔
（2）在边上取一点，使得，求的值.
20．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
21．在中，角，，所对的边分别为，，，，.
（1）求外接圆的面积；
（2）若，，求的周长.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
由题知，最大角为，最小角为，再结合余弦定理求得，由三角形的内角和即可得答案.
【详解】
在中，若，
由正弦定理化边为角可得：，
根据大边对大角，小边对小角可知：最大角为，最小角为，
设，，，
在中，由余弦定理可得：
，
因为，所以，
所以，
所以三角形的最大角与最小角的和是，
故选：B.
2．B
利用余弦定理可构造方程直接求得结果.
【详解】
在中，由余弦定理得：，
即，解得：或（舍），.
故选：B.
3．B
根据向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质可得答案.
【详解】
因为是边长为1的正方形，，
所以
又，所以
故选：B
4．B
直接化简，求出答案.
【详解】
化简，
或（舍去）.
故选：B.
5．A
根据向量的运算律及数量积的定义逐一验证即可得出结果.
【详解】
由向量加法三角形法则可知，，故（1）正确；
，故（2）错误；
由向量的加法法则可知，故（3）错误；
向量乘法不满足分配律， 不一定成立，故（4）错误.
故选：A
本题考查向量运算律，考查基本分析判断能力，属基础题.
6．B
待定系数法将向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算
【详解】
设，
由知，∴，∵，，三点共线，∴①，
由知，∴，∵，，三点共线，∴②，
由①②得：.，∴，
而，
∴
故选：B
7．C
由向量数量积的定义式可得，即可判断.
【详解】
∵，∴，
又∵为三角形内角，∴是钝角，即是钝角三角形.
故选：C.
8．D
根据向量共线转化为，利用三点共线求实数的取值.
【详解】
，又因为，
所以，即，
所以，
因为点三点共线，所以，
解得：.
故选：D
本题考查向量共线，平面向量基本定理，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型.
9．A
根据题意，利用余弦定理，可求得长，即可求得AB为直径的圆的周长，利用正弦定理，可求得 的外接圆半径R，根据圆的几何性质，可求得劣弧AB对应的圆心角，代入公式即可求得弧长，即可得答案.
【详解】
因为，，
所以，所以，
故以AB为直径的圆的周长为，所以月牙的长弧对应圆周长的一半为，
设的外接圆的圆心为O，半径为R，如图所示，
由正弦定理得，所以，
所以四边形OABC为菱形，且，
所以劣弧AB的长为，
所以该月牙形的周长为.
故选：A
10．A
由数量积的定义，结合条件即可求解.
【详解】
因为，而，所以，所以，故.
故选：A
11．D
作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设, 得到是的中点，根据已知求出再根据即得解.
【详解】
作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设，因为
因为，所以,即是的中点，
所以
所以，由题知.
故
故选：D
12．A
由已知，利用向量数量积的运算律求得，又即可求.
【详解】
由题设，，又均为单位向量，
∴，
∴，则.
故选：A
13． 3 4 9
根据相等向量、相反向量、平行向量的概念结合图形进行分析求解.
【详解】
（1）与长度相同，方向相同的向量有：，共个；
（2）与长度相同，方向相反的向量有：，共个；
（3）与方向相同或相反的向量有：，共个，
故答案为：；；.
14．
利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值．
【详解】
，解得：，
，
设，
，
当时，，∴的最小值是．
故答案为：
关键点点睛：解题关键是合理转化，应用函数求最值．本题的特点是注重基础，本题考查了利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查转化与化归思想，考查数学运算、数学建模等学科素养．
15．
由两个向量垂直的坐标运算进行计算即可.
【详解】
因为，所以，所以，解得．
故答案为：
16．
根据已知，利用三角形面积公式、余弦定理可得，B为钝角知，由三角形内角和的性质得，即可求最大值.
【详解】
由题设，，则，
∴，又 B为钝角即为锐角，
∴，即，又，
∴且，
而，
∴当时，的最大值为.
故答案为：
关键点点睛：根据已知条件，利用三角形面积公式、余弦定理可得到，再应用三角形内角性质及三角恒等变换写出关于的二次函数式，求最值.
17．(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值
(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.
【详解】
(Ⅰ)在中，由正弦定理得，
又由，得，即.
又因为，得到，.
由余弦定理可得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，
从而，.
故.
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理 余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.
18．（1）最小正周期为，最大值；（2）.
（1）先利用三角恒等变换对函数进行化简，进而通过三角函数的图像和性质的应用得到答案；
（2）利用正弦定理进行边化角，然后借助三角恒等变换进行化简，最后通过三角函数的图像和性质的应用求出结果.
【详解】
（1），
所以的最小正周期为.
因为，所以
于是，当，即时，取得最大值
（2）在中，
，，，.
由正弦定理，，
，
，
，
.
19．（1）；（2）.
（1）在中，利用余弦定理即可求解；
（2）在中，由正弦定理可以求出，再利用与互补可以求出，得出是钝角，从而可得为锐角，即可求出和的值，利用展开代入数值即可求解.
【详解】
在中，因为，，，
由余弦定理，
得
所以解得：或（舍）
所以.
（2）在中，由正弦定理，
得.
所以
在中，因为，
所以为钝角.
而，
所以为锐角
故
因为，
所以，
，
关键点点睛：本题解题的关键是利用两角互补余弦互为相反数求出，可得为钝角，从而为锐角，可确定的值.
20．（1）；（2）.
（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；
（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.
【详解】
（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
[方法二]：正弦化角（通性通法）
设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．
[方法三]：余弦与三角换元结合
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，
所以周长的最大值为．
【整体点评】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；
方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.
方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.
方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.
21．（1）；（2）.
（1）先利用诱导公式将原式化简，再运用正弦定理进行边角互化，得出角的大小，然后运用正弦定理求解外接圆的半径，从而得出外接圆的面积.
（2）由及可解出，的大小，得出角的大小，进而得出角，然后在中，由余弦定理可解得的值，得出的周长.
【详解】
（1）∵ ，
∴ ，由正弦定理得：，
因为 ，所以，得，
又，故 ，
∴外接圆的半径，
∴外接圆的面积为.
（2）由及得：，，
∵，则为锐角，
∴，故.
如图所示，在中，由余弦定理得，
，
解得，
则的周长为.
解三角形时，若题目所给式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或者边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征不明显，则两个定理都有可能用到.
答案第1页，共2页
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