4.2等差数列 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 4.2 等差数列 同步练习
一、单选题
1．已知等差数列中，，则数列的公差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知数列满足且，设的n项和为，则使得取得最大值的序号n的值为（ ）
A．5 B．6 C．5或6 D．6或7
3．已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．
4．已知等差数列中，，为数列的前项和，则（ ）
A．30 B．35 C．40 D．45
5．已知为等差数列的前项和，，，则下列数值中最大的是（ ）
A． B．
C． D．
6．设等差数列的前项和为，公差为，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
7．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（ ）．
A．10层 B．11层 C．12层 D．13层
8．若等差数列的首项是，且从第项开始大于，则公差的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知正项数列满足，是的前项和，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（ ）
A． B． C． D．与均为的最小值
11．在数列中，，.若为等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
12．某市抗洪指挥部接到最新雨情通报，未来城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝．经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用台某型号翻斗车，每辆翻斗车需要平均工作．而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调．若抽调的翻斗车每隔才有一辆到达施工现场投入工作，要在内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车（ ）
A．辆 B．辆 C．辆 D．辆
13．《九章算术类比大全》是中国古代数学名著，其中许多数学问题是以诗歌的形式呈现的.某老师根据其中的“宝塔装灯”编写了一道数学题目：一座塔共有层，从第层起，每层悬挂的灯数都比前一层少盏，已知塔上总共悬挂盏灯，则第层悬挂的灯数为（ ）
A． B． C． D．
14．已知数列是公差不为零的等差数列，前项和为，则“，”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
15．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至 小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至 大寒 雨水的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
二、填空题
16．设等差数列的前项和为，若，则的值为___________.
17．如图所示，八个边长为1的小正方形拼成一个长为4，宽为2的矩形，，，，均为小正方形的顶点，在线段上有2020个不同的点，且它们等分．记．则的值为______．
18．已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为_________
三、解答题
19．已知等差数列中，，公差大于0，且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
20．①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由.
问题：等差数列前n项和为，若___________，是否存在，使得且？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21．已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列，表示不超过的最大整数，求的前1000项和.
22．已知等差数列{an}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为Sn．
（1）求数列{an}的通项公式an及Sn；
（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
利用，直接计算公差即可.
【详解】
等差数列中，，设公差为d，则，即.
故选：C.
2．C
通过通项找到非负项即可.
【详解】
由已知得，，故是公差为得等差数列，
又，所以，
令，故或6时，取得最大值．
故选:C
此题为基础题，考查等差数列项的符号变化与和的关系．
3．D
根据题意可得，，而，即可表示出题中，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．
【详解】
对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；
对于B，由题意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；
对于C，，
当时，，C正确；
对于D，，，
．
当时，，∴即；
当时，，∴即，所以，D不正确．
故选：D.
本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．
4．B
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解.
【详解】
解：等差数列中，，
∴，
即，
所以，
则，
故选：B.
5．D
根据题意求出数列的首项和公差，再求出，可得出是单调递增数列，即可判断.
【详解】
设等差数列的公差为，，，
，解得，，
，
，可得是单调递增数列，
所以在，，，中，最大的为．
故选：D.
6．B
由得出，在结合等差数列的通项公式与求和公式逐一检验即可.
【详解】
由得
，
化简：，
，
又因为，所以，
对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于CD：，故CD错误；
故选：B
7．C
设该数列为，塔群共有n层，则数列为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，根据题意结合等差数求和公式可得，从而可求出的值
【详解】
根据题意，设该数列为，塔群共有n层，
即数列有n项，数列为1，3，3，5，5，7，…，
则．
该数列从第5项开始成等差数列，且，，则其公差，
则有，
又，则有，
即，解得或（舍去），则．
故选：C．
8．D
直接写出等差数列的通项公式，由且联立不等式组求得公差的取值范围．
【详解】
解：等差数列的首项是，
则等差数列的通项公式为，
要使从第10项开始为正，
则由，解得：．
故选：．
9．A
由题得，，两式作差化简得数列是一个以为首项，以为公差的等差数列，求出即得解.
【详解】
由题得，，
两式相减得，
所以，
所以，
所以，
因为数列是正项数列，所以，
所以，
所以，
所以数列是一个以为首项，以为公差的等差数列.
令得，解之得，
所以.
故选：A
方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）归纳法；（2）公式法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
10．C
对于A选项，根据得到判断；对于C选项，根据得到判断；对于D选项，根据得到，结合判断； 对于B选项，根据，，得到时，判断.
【详解】
对于A选项，由可得，A选项正确；
对于C选项，由可得，∴，C选项错误；
对于D选项，由可得，且，，，
所以，当且时，，且，则与均为的最小值，D选项正确；
对于B选项，∵，，当时，，
所以，，B选项正确．
故选：C．
11．A
由数列是等差数列知，先求，，从而求等差数列通项公式，再求即可．
【详解】
解：，，且数列是等差数列，
，
，
，
.
故选：A
12．C
由题意可知每辆车的工作时间成等差数列，利用等差数列前项和公式可确定辆车的工作总时长，当时，，当时，，可知共需要辆车，由此确定结果.
【详解】
总工作量为：，
由题意可知：每调来一辆车，工作时间依次递减，则每辆车的工作时间成等差数列，
设第辆车的工作时间为，则，等差数列的公差，
辆车的工作总时长，
，，
共需辆车完成工程，至少还需要抽调辆车.
故选：C.
13．C
根据题意，得到各层悬挂的灯数构成一个等差数列，其公差为，结合等差数列的求和公式，列出方程，即可求解.
【详解】
从第一层开始各层悬挂的灯数构成一个等差数列，其公差为，前项和，
设第层的灯数为，则由等差数列前项和公式得，
解得，∴.
故选：C.
14．A
利用等差数列的单调性及前n项和的性质分析
【详解】
∵恒成立，∴，∴递增；
反之，可取，则递增，但，
所以“，”是“数列是递增数列”的充分不必要条件.
故选：A.
本题以等差数列的单调性及前n项和的性质为载体，考查充分条件与必要条件的判断，难度一般.
15．D
根据题意转化为等差数列，求首项.
【详解】
设冬至的日影长为，雨水的日影长为，根据等差数列的性质可知，芒种的日影长为，
，解得：，，
所以冬至的日影长为尺.
故选：D
16．
根据等差数列的求和公式，以及等差数列的性质，先求出，进而可求出结果.
【详解】
因为，所以，
.
故答案为：.
17．
设为的中点，得到，由等分，得到，
根据，令，结合向量的线性运算和数量积的运算，即可求解.
【详解】
如图所示，设为的中点，则，
因为等分，所以．
又由，
令，
则
，
所以．
故答案为：．
18．-110
由等差数列性质及等差数列前项和公式，可得.
【详解】
根据题意得，，，
所以，即，
所以，
故答案为：-110.
19．（1）；（2）.
（1）设等差数列的公差为，根据题中条件，求出公差，进而可得出通项公式；
（2）根据（1）的结果，先得到，由裂项求和的方法，即可求出结果.
【详解】
（1）设等差数列的公差为（），
因为，则，，，
因为是与的等比中项，
所以，
即，
化简得，
解得或（舍）
所以.
（2）由（1）知，，
所以，
所以
.
本题主要考查等差数列基本量的运算，以及裂项相消法求数列的和，涉及等比中项的应用，属于常考题型.
20．答案见解析
根据题意，可得，，设等差数列首项为，公差为，若选择条件①：根据条件求得，代入公式求得，令，求得n的范围，结合条件，即可求得k值；若选择条件②：根据条件求得，代入公式求得，令，求得n的范围，结合条件，即可求得k值；若选择条件③：根据条件求得，代入公式求得，易知恒成立，所以不存在满足条件的.
【详解】
解：若存在，使得且，则，.设等差数列首项为，公差为.
若选择条件①：
由，得，解得.
所以.
令，得，所以当时，满足，，
所以k=5满足题意.
若选择条件②：
由，得，解得.
所以.
由，得.所以当时，满足，.
所以k=5满足题意.
若选择条件③：
由，得，解得.
所以.
易知恒成立，
所以不存在满足条件的.
关键点点睛：解题的关键是熟练掌握等差数列通项、求和公式，并灵活应用，并选择合适的条件求解，考查计算求值的能力，属基础题.
21．（1）；（2）.
（1）利用可求出；
（2）根据数列特点采用分组求和法求解.
【详解】
（1）当时，，
当时，，
将代入上式验证显然适合，所以.
（2）因为，，，，
所以，
所以.
本题考查和的关系，考查分组求和法，属于基础题.
22．（1）,；（2）．
（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．
【详解】
（1）设等差数列的首项为，公差为，则，
解得，，
∴.
（2），
∴数列的前项和为
.
答案第1页，共2页
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