4.3等比数列 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 4.3等比数列 同步练习
一、单选题
1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则“Sn+1>Sn”是“{an}单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中表示这些半音的频率，它们满足.若某一半音与的频率之比为，则该半音为（ ）
频率
半音 C D E F G A B C（八度）
A． B．G C． D．A
3．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为(参考数据：，)（ ）
A． B． C． D．
4．设是数列的前项和，若，，则
A． B． C． D．
5．数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．设等比数列的公比为，前项和为.若，，且，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知数列满足，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．设为数列的前项和，，且.记为数列的前项和，若对任意，，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
9．已知数列的前n项和，若，恒成立，则实数的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．等比数列中，，，则数列的前6项和为（ ）
A．21 B． C． D．11
11．记为等比数列的前n项和．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的倍，若视力4.0的视标边长为，则视力4.9的视标边长为（ ）
A． B． C． D．
13．等比数列中，，，为的前项和．若，则的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．不存在
14．已知等比数列中，，，则（ ）
A． B． C．或 D．
15．若首项为1的等比数列{an}的前3项和为3，则公比q为（ ）
A．－2 B．1
C．－2或1 D．2或－1
二、填空题
16．数列，…是首项为，公比为的等比数列，那么________.
17．已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______.
18．如图，在中，D是AC边上一点，且，为直线AB上一点列，满足：，且，则数列的前n项和______．
三、解答题
19．已知等差数列的公差为正数，，其前项和为，数列为等比数列，，且，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和.
（3）设，，求数列的前项和.
20．已知数列的前项和为，数列满足，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求证：.
21．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知公差不为0的等差数列的前项和为，是与的等比中项，______．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
22．已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，，再从①；②；③这三个条件中选择___________，___________两个作为已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
由，举反例和即可得出结果
【详解】
，例如，但是数列不单调递增，故不充分；
数列单调递增，例如，但是，故不必要；
故选：D
2．B
利用对数与指数的转化，得到数列为等比数列，公比，然后求得所求半音对应的数列的项数，从而得到答案.
【详解】
依题意可知.
由于满足，则，
所以数列为等比数列，公比，对应的频率为，题目所求半音与的频率之比为，
所以所求半音对应的频率为，即对应的半音为.
故选：B.
本题考查等比数列的应用，涉及对数运算，等比数列的判定，等比数列的性质，属中档题.
3．C
根据规律可总结出第次操作去掉区间的长度和为，利用等比数列求和公式可求得去掉区间的长度总和，由此构造不等式求得结果.
【详解】
第一次操作去掉的区间长度为；
第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；
第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；
以此类推，第次操作去掉个长度为的区间，长度和为，
进行了第次操作后，去掉区间长度和，
由，即，，
又，的最小值为.
故选：C.
关键点点睛：本题解题关键是能够根据已知所给的规律总结出每次操作去掉的区间长度和成等比数列，并能得到等比数列通项公式.
4．B
推导出数列是以为周期的周期数列，由可得出，代值计算即可得解.
【详解】
在数列中，，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，即数列是以为周期的周期数列，
，因此，.
故选：B.
思路点睛：根据递推公式证明数列是周期数列的步骤：
（1）先根据已知条件写出数列的前几项，直至出现数列中的循环项，判断循环的项包含的项数；
（2）证明，则可说明数列是周期为的周期数列.
5．C
讨论n=1和n≥2两种情况，当n≥2时，通过及等比数列的定义得到答案.
【详解】
时，,
时，，所以，
而，
所以数列从第二项起是以3为首项，4为公比的等比数列，
所以.
故选：C.
6．B
先利用条件求出公比的值，然后利用等比数列求和公式以及可求出正整数的值.
【详解】
因为，
所以，得到，
因为，所以.
由，得，又，
所以，
因为，则，
所以，解得，
故选：B
7．B
据题意求出，判断出数列递减，且，再对两边取倒数，然后平方整理得，再利用单调性进行放缩，可得出当时，，结合不等式的性质即可得解.
【详解】
解析： ，且，
∴，，则，
∵，
∴，即数列递减，则，
∵，
∴两边取倒数得，即，则，
∵数列递减，
∴当时，，即；
当时，，即，，，，
∴根据不等式的性质可得，即，
∴.
同理：，与选项范围不符.
故选：B
8．B
由已知得.再求得，从而有数列是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得，再利用分组求和的方法，以及等比数列求和公式求得，从而求得得答案.
【详解】
解：由，得，∴.
又由，得，又，∴.所以，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，则，
∴，
∴，
∴.
∴.
∵对任意，，∴的最小值为.
故选：B.
9．C
先由求出，根据得到，求出的最小值，即可得出结果.
【详解】
因为数列的前n项和，
当时，；
当时，满足上式，
所以，
又，恒成立，所以，恒成立；
令，
则对任意，显然都成立，
所以单调递增，
因此，即的最小值为，
所以，即实数的最大值是.
故选：C
思路点睛：
根据数列不等式恒成立求参数时，一般需要分离参数，构造新数列，根据新数列的通项公式，判断其单调性，求出最值，即可求出参数范围（或最值）.
10．A
根据等比数列的通项公式可求出等比数列的公比为，进而求出，再根据等比数列的前项和公式，即可求出结果.
【详解】
设等比数列的公比为，
因为，所以，即，
所以，故前6项和为.
故选：A.
11．C
由条件结合等比数列的通项公式和性质先求出公比和首项，再由等比数列的前n项和公式求前n项和，从而得出答案.
【详解】
由数列为等比数列，设公比为
由条件，可得，解得
将代入，得，解得
所以，
所以
故选：C
12．D
由等比数列的通项公式计算．
【详解】
设第行视标边长为，第行视标边长为，
由题意可得，则，则数列为首项为，公比为的等比数列，
所以，则视力4.9的视标边长为，
故选：D.
13．A
利用基本量代换，求出公比q，再根据前n项和公式，即可求出m.
【详解】
等比数列中，，，则，则．
当时，若，则有，解得；
当时，若，则有，整理可得，无整数解．故．
故选：A．
14．B
由等比数列性质可知，即可求解，进而求出．
【详解】
解：由等比数列性质可知，所以或，
但，可知，所以，则，
故选：B
15．C
对等比数列的公比分两种情况讨论即得解.
【详解】
当q＝1时，S3＝3a1＝3，符合题意；
当q≠1时，S3＝1＋q＋q2＝3，解得q＝－2.
故选：C
易错点睛：求等比数列的前项和时，要注意分和两种情况讨论.本题容易漏掉，导致出错.
16．
根据题意，可知，再根据累加法，即可求出结果.
【详解】
，
即
各式相加得，
故.
故答案为：
17．
利用以及已知条件可求得的值.
【详解】
设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为，
则，
由，得，因为，所以，所以，.
故答案为：.
18．
利用向量的线性运算平面向量基本定理可得，令，进而可得为等比数列，再利用求和公式即得.
【详解】
由于D是AC边上一点，且，
则，
由于为直线AB上一点列，则．
因为，则，
故，
整理，即，
故，
令，则，即，
因此，，
所以为等比数列，，
则，
故
．
故答案为：
关键点点睛：本题的关键是由，的变形，然后构造数列，进而可得数列的通项，利用求和公式可求.
19．（1）；；（2）；（3）.
（1）假设公差和公比，由等差和等比数列通项与求和公式可构造方程求得，由等差和等比通项公式可求得结果；
（2）由（1）可得，利用错位相减法可求得结果；
（3）由（1）可得，利用分组求和的方法，结合等比数列求和公式和裂项相消法可求得结果.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，等比数列公比为，
，解得：，
；；
（2）由（1）得：，
，
，
两式作差得：，
.
（3）由（1）得：，
则.
方法点睛：当数列通项公式满足等差等比的形式时，采用错位相减法求解数列的前项和，具体步骤如下：
①列出的形式；
②左右两侧同乘通项中的等比部分的公比，得到；
③上下两式作差得到，结合等比数列求和公式可整理等式右侧的部分；
④整理所得式子求得.
20．（1），；（2）证明见解析.
（1）根据的前项和即可求出通项公式，进而可判断是以3为首项，4为公比的等比数列，即可求出的通项公式；
（2）可得，求和然后放缩利用等比数列求和公式即可证明.
【详解】
（1）数列的前项和为，
∴.
当时，符合，故，
∴，
∴，∴，∵
∴是以3为首项，4为公比的等比数列，
∴，∴.
（2）证明：∵，∴，
，
.
21．(1)
(2)
（1）选条件①：由等比中项的定义和等差数列的通项公式求出的首项和公差，代入等差数列的通项公式中，得的通项公式．
选条件②：由等比中项的定义和等差数列的前项和公式求出的首项和公差，代入等差数列的通项公式中，得的通项公式．
选条件③：由是与的等比中项，判断，由，可得，只需利用等比中项的定义和等差数列的前项和公式，求出的首项和公差，代入等差数列的通项公式中，得的通项公式．
（2）先求出，进而可得，利用裂项相消法即可求得数列的前项和．
(1)
选条件①．
设等差数列的公差为，
则依题意得，，所以，得，
所以数列的通项公式为；
选条件②．
设等差数列的公差为，
则依题意得，，所以，得，
所以数列的通项公式为．
选条件③．
因为是与的等比中项，所以，
由，可得，
设等差数列的公差为，
则依题意得，，所以，得，
所以数列的通项公式为．
(2)
由（1）可得．
因为，所以，
.
22．答案见解析
（1）根据题设条件可得关于基本量的方程组，求解后可得的通项公式.
（2）利用公式法可求数列的前项和.
【详解】
解：选择条件①和条件②
（1）设等差数列的公差为，∴
解得：，.∴，.
（2）设等比数列的公比为，，
∴解得，.
设数列的前项和为，∴.
选择条件①和条件③：
（1）设等差数列的公差为，∴
解得：，.∴.
（2），设等比数列的公比为，.
∴，解得，.
设数列的前项和为，∴.
选择条件②和条件③：
（1）设等比数列的公比为，，
∴，解得，，.
设等差数列的公差为，∴，又，故.
∴.
（2）设数列的前项和为，
由（1）可知.
方法点睛：等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页