5.2导数的运算 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 5.2导数的运算
一、单选题
1．设函数，则＝（ ）
A．0 B．1 C． D．以上均不正确
2．函数y＝3x2在x＝1处的导数为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．12
3．下列求导数运算错误的是（ ）
A．(c为常数) B．
C． D．
4．已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数则它的导函数（ ）
A． B． C． D．
6．函数的斜率等于的切线有（ ）
A．条 B．条
C．条 D．不确定
7．已知函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的导数为，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
9．设曲线在点处的切线方程为，则
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知函数的导函数为，若，则
A．4 B．2 C．1 D．
11．下列结论正确的个数为（ ）
①若y＝ln2，则y′＝；②若f(x)＝，则f′（3）＝－；③若y＝2x，则y′＝2xln2；④若y＝log5x，则y′＝．
A．4
B．1
C．2
D．3
12．下列求导计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．设函数，，则实数a＝______．
14．已知直线与曲线相切，则的最大值为___________.
15．已知，则______.
16．已知曲线：，若过曲线外一点引曲线的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数的值为______．
17．函数的导函数是，则______________.
三、解答题
18．已知函数，，，若函数的最小值为（为自然对数的底数）．
（1）求实数的值；
（2）方程在有解，求的取值范围．
19．已知，函数的导函数为．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的值．
20．已知函数，的导函数为，且满足，，求在处的切线方程.
21．求余弦曲线在点处的切线方程．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
先求的值再求导，实质是常数的导数为0.
【详解】
因为为常数，所以.
故选：A.
2．C
求出函数的导数，令即得．
【详解】
利用导数的计算求解即可
解：由得，令，则．
故选：C．
3．C
根据求导公式与求导法则即可判断结果．
【详解】
C选项，因为，故C错
故选：C
4．B
经过恒等变形，原问题变成当时，恒成立，构造函数，利用导数的性质进行求解即可.
【详解】
由，
当时，上式可变形为：，问题转化为：
当时，恒成立，
设，，
，
因为，，所以，因此，
所以当时，单调递减，
当时，单调增，故，要想
当时，恒成立，只需，
设，，
，
当时，，所以函数单调递增，而，
显然当，成立，
故选：B
关键点睛：通过数学运算把问题转化为当时，恒成立，利用构造函数法，结合导数的性质是解题的关键.
5．C
利用导数运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：C
6．B
由导数几何意义可构造方程求得切点个数，由此可得结果.
【详解】
，设切点为，，解得：，
在点和点处有斜率等于的切线，满足题意切线有条.
故选：B.
7．B
依题意求出函数的导函数，再解方程即可；
【详解】
解：由题意可得，因为，所以．
故选：B
8．B
直接求导，令求出，再将带入原函数即可求解.
【详解】
由得，当时，，解得，所以，.
故选：B
9．D
利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解
【详解】
因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即.
故选D
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题
10．B
根据题意求得，再根据即可求得.
【详解】
解：由题意知：.
因为，所以，解得.
故选：B.
本题主要考查导数的运算，考查学生的计算能力，属于基础题.
11．D
由导数的运算求得导数后判断．
【详解】
解：在①中，(ln2)′＝0，错；
②，，正确；
③，，正确；
④，，正确．
共有3个正确，
故选：D．
12．B
利用导数的四则运算和复合函数的导数，即得解
【详解】
，A错误；
，B正确；
，C错误；
，D错误．
故选：B．
13．2；
先对求导，再利用即可求解.
【详解】
，所以，解得，
故答案为：.
14．1
设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义结合已知条件建立关系求出a+b即可得解.
【详解】
设切点为，由求导得，
因直线与曲线相切，则，解得，则，
而切点在直线上，即，于是得，
因此，，当且仅当时取“=”，
所以当时，取最大值1.
故答案为：1
15．
求出导函数，分别将代入原函数、导函数，得到关于的方程组，求得即可得答案.
【详解】
，解得，
故答案为： .
本题主要考查导数的运算法则以及基本初等函数的求导公式，属于基础题,
16．
设切点为，由导数的几何意义求切线的斜率，根据倾斜角关系求a.
【详解】
设切点坐标为．由题意，知，切线的斜率为①，所以切线的方程为②．
将点代入②式，得，解得或．分别将和代入①式，得和．由题意，得，得．
故答案为：.
17．
利用基本函数求导公式和导数运算法则，求出导数，然后代入求值．
【详解】
解：因为，
由于且，解得：且，
即的定义域为：，
，
即：.
故答案为：．
本题考查基本函数求导公式和导数运算法则，以及复合函数求导，考查计算能力．
18．（1）；（2）；
（1）求导然后分类讨论与两种情况，求出最小值即可计算的值；（2）参变分离将等式转化为，设，然后求导判断单调性，求解最值，即可得的取值范围.
【详解】
（1），当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时函数有最大值，与题意不符；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，可得；
（2）在有解，即在有解，即在有解，设，恒成立，所以在上单调递增，，所以，得，
所以的取值范围为.
（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
（2）若可导函数在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为 （或）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
19．（1）；（2）.
（1）根据，得到，对其求导，得出切线斜率，进而可求出切线方程；
（2）先对函数求导，分别计算，，，将所求式子化简整理，即可得出结果.
【详解】
（1）若，则，所以，
则，即曲线在点处的切线斜率为，
又，
所以所求切线方程为：；
（2）由得
，
所以，，，
因此
.
本题主要考查求曲线在某点的切线方程，考查导数的计算，属于常考题型.
20．
令，结合已知可得，则的解析式，由求参数，进而可得的解析式，最后应用导数的几何意义求在处的切线方程.
【详解】
令，则，
所以，(为常数)，则，又，可得．
所以，故，
所以，又，
所求切线方程为，即．
21．
求导得的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得切线方程.
【详解】
因为，则，
可得曲线在点处的切线斜率为，
则曲线在点处的切线方程为，
故答案为：.
答案第1页，共2页
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