7.2离散型随机变量及其分布列 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第三册 7.2 离散型随机变量及其分布列
一、单选题
1．小明通过某次考试的概率是未通过的5倍，令随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列表中，可以作为某离散型随机变量的分布列的是（其中）（ ）
A．
1 2 3
B．
1 2 3
C．
1 2 3
D．
1 2 3
3．从含甲、乙在内的5名全国第七次人口普查员中随机选取3人到某小区进行人口普查，则在甲被选中的条件下，乙也被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．设随机变量的概率为分布列如下表，则（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
5．设随机变量等可能地取，又设随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．某一随机变量的概率分布如下表，且，则 （ ）
0 1 2 3
0.1 0.2
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
8．2021年世界园艺博览会于2021年4月到10月在江苏省扬州市举行，“花艺园”的某个部位摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，……，9，若从任取1盆，则编号“大于5”的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．甲、乙两种零件某次性能测评的分值，的分布列如下，则性能比较稳定的零件是（ ）
8 9 10
P 0.3 0.2 0.5
8 9 10
P 0.2 0.4 0.4
A．乙 B．甲 C．一样 D．无法比较
10．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(　　)
A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3…
11．已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，，在这些抛物线中，记随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知服从两点分布，且，则______．
14．已知一种元件的使用寿命超过年的概率为，超过年的概率为，若一个这种元件使用到年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为_____.
15．设随机变量X的概率分布列如下表所示：
X 0 1 2
P a
若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于_______
16．某同学参加投篮训练，已知每投篮一次，投进球的概率均为．记该同学投篮4次，进球个数为，若，则_______．
三、解答题
17．写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
（1）某市医院明天接到120急救电话的次数．
（2）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数是一个随机变量．
18．已知小王钱夹中有20元、10元、5元和1元面额的人民币各一张，他决定随机抽出两张，用来买晚餐．若用表示所抽两张人民币的金额之和，求出随机变量的取值范围，并分别说明这些取值所表示的随机试验结果．
19．为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内（）个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计．若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为．
(1)求的值；
(2)若一次抽取4个城市，
（i）假设抽取出的小城市的个数为，求的概率分布列；
（ii）若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率．
20．某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为．
（1）问该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于？
（2）已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值．
21．某单位有8名青年志愿者，其中男青年志愿者5人，记为，女青年志愿者3人，记为.现从这8人中选4人参加某项公益活动.
（1）求男青年志愿者或女青年志愿者被选中的概率；
（2）在男青年志愿者被选中的情况下，求女青年志愿者也被选中的概率.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
根据通过某次考试的概率是未通过的5倍，由求解.
【详解】
因为通过某次考试的概率是未通过的5倍，
所以，
解得.
故选：C
本题主要考查离散型随机变量的概率，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
2．C
分析选项ABD不满足离散型随机变量的分布列的性质，选项C满足离散型随机变量的分布列的性质，即得解.
【详解】
解：选项A中，所以选项A不满足题意；
选项B中概率之和为，事实上，所以选项B不满足题意；
选项D中，都不符合概率的意义．所以选项D不满足题意；
选项C中，，，，且，显然有解．所以选项C满足题意.
故选：C
3．B
记事件A为“甲被选中”，事件B为“乙被选中”，则所求概率为，分别求出，，即可得答案
【详解】
解：记事件A为“甲被选中”，事件B为“乙被选中”，则由题意可得
，，
所以,
故选：B
4．A
根据概率之和等于1得出的值，再求，即可得出答案.
【详解】
由，解得或
故选：A
本题主要考查了离散型随机变量分布列的性质的应用以及求概率，属于基础题.
5．A
根据题中条件，确定的所有可能取值，以及其对应的概率，即可求出结果.
【详解】
因为随机变量等可能地取，
所以，
所以等可能的取，则，
所以.
故选：A.
6．C
根据两点分布得，与条件联立解得结果.
【详解】
因为的分布列服从两点分布，所以，
因为，所以
故选：C
本题考查两点分布，考查基本分析求解能力，属基础题.
7．C
由已知条件求出，然后根据分布列即可得出结果.
【详解】
由题意可得：，解得，
故，
故选：C.
8．B
设编号为随机变量，结合题设可得其各可能值的对应概率，再应用互斥事件概率的加法公式求即可.
【详解】
设任取1盆的编号为随机变量，
∴的可能取值为0，1，2，……，9，且，
∴．
故选：B.
9．A
分别求出两个变量的数学期望和方差，由此能求出结果．
【详解】
由题意知:
，，
所以，，
因为，所以乙稳定．
故选:A．
10．B
【详解】
从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出球，也有可能取完6个红球后才取出白球.
11．D
根据题意,列表求得随机变量及的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出和,根据比较大小即可得解.
【详解】
随机变量满足,,其中.
则随机变量的分布列为:
所以
随机变量,
所以当时,,当时,
所以随机变量的分布列如下表所示(当时,只有一个情况,概率为1):
则
当即,解得.所以A、B错误.
恒成立.
所以C错误,D正确
故选:D
本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.
12．A
由题知a，b同号且均不为零，c可取中的任意值，进而得共有种不同的情况．再根据随机变量求解即可得答案.
【详解】
由于抛物线的对称轴在y轴左侧，
所以，即a，b同号且均不为零，c可取中的任意值，
所以共有种不同的情况．
因为，
所以的取值范围是，
其中的可能情况为且，所以，
的可能情况为且，所以，
的可能情况为且，所以，
所以．
故选：A．
13．0.7
利用两点分布的性质解答.
【详解】
解：因为服从两点分布，所以．
故答案为：0.7
14．0.75
结合条件概率计算公式，代入数据，即可．
【详解】
记使用寿命超过年为事件，超过年为事件，
，
故答案为：0.75.
15．
利用分布列的性质求参数a，由题设知F(x)＝P(X≤1)，结合分布列可求概率值.
【详解】
由分布列的性质，得a＋＋＝1，
∴a＝，而x∈[1,2)，
∴F(x)＝P(X≤x)＝P(X≤1)=＋＝．
故答案为：
16．2
根据二项分布的方差公式可得，求出，再由均值运算公式可得即可求解.
【详解】
由题意知离散型随机变量，
则由，得，即，解得，
所以．
故答案为：2
本题考查了离散型随机变量的二项分布的方差、均值，属于基础题.
17．（1）答案见解析 ；（2） 答案见解析．
（1）根据题意可直接得出结果；
（2）根据题意可得可能的取值为0，1，2，3.
【详解】
（1），表示接到次急救电话，．
（2）随机变量可能的取值为0，1，2，3．
表示“取出0个白球”；表示“取出1个白球”；表示“取出2个白球”；表示“取出3个白球”．
18．答案见解析.
的取值范围是，再说明这些取值所表示的随机试验结果.
【详解】
的取值范围是．
其中，表示“抽到的是1元和5元”；
表示“抽到的是1元和10元”；
表示“抽到的是5元和10元”；
表示“抽到的是1元和20元”；
表示“抽到的是5元和20元”；
表示“抽到的是10元和20元”．
19．(1)7
(2)（i）
0 1 2 3 4
（ii）
（1）一次抽取2个城市，全是小城市的个数和从个城市中一次抽取2个城市的情况用组合数表达出来，列出方程，求出的值；（2）（i）用超几何分布求出分布列，（ii）把抽取的4个城市是同一类城市，全为超大城市和全为小城市的情况均求出来，进而求出全为超大城市的概率.
(1)
（1）从个城市中一次抽取2个城市，有种情况，其中全是小城市的有种情况，则全是小城市的概率为，解得
(2)
（i）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，4，
，，，
，，
则的概率分布列为
0 1 2 3 4
（ii）若抽取的4个城市全是超大城市，共有种情况；若抽取的4个城市全是小城市，共有种情况，所以若抽取的4个城市是同一类城市，则全为超大城市的概率为．
20．（1）名；（2）万元．
（1）一台机器运行是否出现故障看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障的概率为；4台机器相当于4次独立重复试验，设出现故障的机器台数为X，，求出对应概率值，写出分布列，计算“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”的概率不少于90%的对应工人数；
（2）设该厂获利为Y万元，Y的所有可能取值为18，13，8，计算对应的概率值，求出分布列与数学期望值．
【详解】
（1）设“机器出现故障设”为事件，则．
设出现故障的机器台数为，则，
，
，
，
，
．
故的分布列为
0 1 2 3 4
设该厂有名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为，，，，…，，这个互斥事件的和事件，则
0 1 2 3 4
因为，所以至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于．
（2）设该厂获利为万元，则的所有可能取值为18，13，8，
，
，
．
故的分布列为
18 13 8
所以，
故该厂获利的均值为万元．
本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合性题目．
21．（1）；（2）.
（1）其对立事件是和都没被选中，由对立事件概率公式计算可得．
（2）先求出被选中的概率，再求出都被选中的概率，然后由条件概率公式计算可得．
【详解】
（1）设“男青年志愿者和女青年志愿者都不被选中”为事件，则，
所以所求概率为.
（2）记“男青年志愿者被选中”为事件，“女青年志愿者被选中”为事件，
则，
所以.
所以在男青年志愿者被选中的情况下，女青年志愿者也被选中的概率为.
方法点睛：本题考查对立事件的概率公式，考查条件概率．在一个事件较为复杂，而其对立事件较简单时，常常先求出对立事件的概率，再由对立事件概率公式计算．
答案第1页，共2页
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