1.2空间向量基本定理 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 1.2空间向量基本定理 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-04 11:48:56 | ||
图片预览
文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 1.2 空间向量基本定理 同步练习
一、单选题
1．已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC的中点，则（ ）．
A． B．
C． D．
3．已知在平行六面体中，，，，，，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面互相垂直，O是BE的中点，，则线段OM的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，空间四边形中，点在线段上，且，为的中点，，则，，的值分别为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
6．如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记,则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
9．已知点在基底下的坐标是(8，6，4)，其中，则点在基底下的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，若G是的中点，，，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A．6π B．10π C．8π D．12π
12．设=+，=+，=+，且{，，}是空间的一个基底，给出下列向量组:①{，，}；②{，，}；③{，，}；④{，，++}，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图在平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，侧棱且，则 （ ）
A． B． C． D．
14．已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．在正方体中，AC与BD的交点为M.设则下列向量与相等的向量是 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是_______．
17．已知空间四边形ABCD的对角线为AC与BD，M，N分别为线段AB，CD上的点满足，，点G在线段MN上，且满足，若，则__________.
18．正四面体ABCD的棱长为2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则的值为___．
三、解答题
19．如图，在平行六面体中，点M是棱的中点，点G在对角线上，且．设，，，用向量，，表示向量，，，．
20．如图，已知正方体的棱长为1，P，Q，R分别在AB，，上，并满足．设，，．
(1)用，，表示，；
(2)设的重心为G，用，，表示；
(3)当时，求a的取值范围．
21．如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，.
（1）求证： 平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求与平面所成角的正弦值.
22．正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等．它有4个面，6条棱，4个顶点．正四面体ABCD中，E，F分别是棱AD、BC中点．求：
（1）AF与CE所成角的余弦值；
（2）CE与底面BCD所成角的正弦值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
结合几何体，根据空间向量的加法运算得到的值.
【详解】
如图，
，
所以，
所以.
故选：C
本题考查空间向量的运算，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.
2．B
由向量的加法、减法及数乘运算法则计算即可．
【详解】
连接ON，则
由题可得
故选：B.
3．D
运用向量表示出，然后平方计算出结果.
【详解】
解：在平行六面体中，因为，所以．
所以．
故选：D.
本题考查了平行六面体中的长度问题，运用向量将其进行分解，线性表示出要求向量，然后求出结果，属于中档题.
4．B
建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，求出点、的坐标，再利用空间中两点间的距离公式求出线段的长.
【详解】
由题意建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系
，
则，，因为是的中点，所以，
因为，所以，所以，即线段的长为，故选B.
本题考查空间中两点间的距离公式的应用，解题的关键在于建立合适的空间直角坐标系，并求出相应点的坐标，考查空间想象能力，属于中等题.
5．B
利用空间向量的基本定理求解.
【详解】
因为，
，
所以，，.
故选：B.
6．C
根据所给的图形，在图形中看出要求的向量可以怎么得到，用减法把向量先变化成已知向量的差的形式，再利用向量的加法法则，得到结果．
【详解】
，．
，
故选：．
本题考查空间向量的加减法，本题解题的关键是在已知图形中尽量的应用几何体的已知棱表示要求的结果，属于基础题．
7．A
用表示出，计算，开方得出AO的长度.
【详解】
因为四边形是平行四边形，
,
,
,
,
，
即.
故选：A
8．C
结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案.
【详解】
故选：C.
9．A
根据向量的坐标的定义列关系式，由此可求向量在基底下的坐标.
【详解】
∵ 在基底下的坐标为，
∴ ，
∴ 在基底下的坐标为，
故选：A.
10．B
由空间向量的基本定理求解即可
【详解】
因为OM＝2MA，
所以，
又点N为BC中点，
所以，
所以，
故选：B
11．C
利用已知结合数量积的运算求解，可得为直角三角形，再由为直角三角形，可知为三棱锥的外接球的直径，再由球的表面积公式得答案．
【详解】
解：，，
，
又、、两两相互垂直，
，即，
，，
，则为直角三角形，
又为直角三角形，为三棱锥的外接球的直径，
则三棱锥的外接球的表面积．
故选：C．
12．C
借助长方体，结合题设向量间的线性关系，将它们转化到长方体中对应线段上，再判断各项向量组中的向量是否共面，即可确定是否可以作为基底.
【详解】
结合长方体，如图可知：向量共面，不共面，不共面，，也不共面，
故选：C.
13．B
先求出 ，，，，，，再计算即可.
【详解】
解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱且，
则 ，，，，，，
则
故选：B.
本题考查向量的数量积，向量的模的计算公式，是中档题.
14．B
利用向量的线性运算和数量积运算律可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解
【详解】
设正方体内切球的球心为，则,
,
因为MN是正方体内切球的一条直径，
所以，，
所以，
又点Р在正方体表面上运动，
所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；
当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为；
所以，
所以的取值范围为，
故选：B
15．C
根据空间向量的运算法则，推出的向量表示，可得答案.
【详解】
，
故选：C.
16．
利用，即可求解．
【详解】
，
，
，
故答案为：．
本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
17．
以作为空间向量的基底，利用向量的线性运算可得的表示，从而可得的值，最后可得的值.
【详解】
,
又，
故，
而，
所以，
因为不共面，故，
所以，
故答案为：
18．1
根据给定条件用空间向量的一个基底表示与，再利用空间向量数量积及运算律计算作答.
【详解】
在正四面体ABCD中，令，显然，，，如图：
因点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则，
，
于是得，
所以的值为1.
故答案为：1
19．见解析
利用空间向量的线性运算可得，，，的表示形式.
【详解】
，
，
，
.
20．(1)，
(2)
(3)
（1）利用向量的加法运算，以及数乘运算即可表示；
（2）利用向量的加法运算，以及数乘运算即可表示；
（3）先用，，表示，再计算，发现其恒为零，进而可得a的取值范围．
(1)
(2)
(3)
又
即对任意，都有
即a的取值范围为.
21．（1）证明见详解；（2）；（3）
（1）连接OF，可得OF为的中位线，OF∥DE，可得证明；
（2）连接C点与AD中点为x轴，CB为y轴，CE为z轴建立空间直角坐标系，可得，的值，可得异面直线与所成角的余弦值；
（3）可得平面EBD的一个法向量为，可得与平面所成角的正弦值.
【详解】
解：（1）
如图，连接OF，因为底面是菱形，与交于点，
可得O点为BD的中点，又为的中点，所以OF为的中位线，
可得OF∥DE,又,DE不在平面ACF内，
可得 平面；
（2）如图连接C点与AD中点位x轴，CB为y轴，CE为z轴建立空间直角坐标系，
设菱形的边长为2，可得CE=2，
可得E(0，0，2)，O(,,0),A(,1,0),F(0,1,1),
可得：,,设异面直线与所成角为，
可得，
（3）可得D (,-1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),
可得,,设平面EBD的一个法向量为，
可得，,可得的值可为，由
可得与平面所成角的正弦值为
=.
本题主要考查直线与平面平行，及向量法求异面直线所成的角及向量法求直线与平面所成的角，综合性大，难度较大.
22．（1）；（2）.
（1）设，两两成角，利用空间向量的夹角公式结合向量基本定理进行计算即可；
（2）利用几何法，如图先确定线面角为，利用正四面体的性质进行计算即可得解.
【详解】
（1）不妨设正四面体的边长为，
设，两两成角，
则，
，
设所成角为，
所以，
（2）
连接，由为中点，则，
所以平面，所以平面平面，
作于，则平面，
由对称性为的中心，
由棱长为，所以，，
，
作于，由为中点，，
连接，，
CE与底面BCD所成角的正弦值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC的中点，则（ ）．
A． B．
C． D．
3．已知在平行六面体中，，，，，，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面互相垂直，O是BE的中点，，则线段OM的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，空间四边形中，点在线段上，且，为的中点，，则，，的值分别为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
6．如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记,则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
9．已知点在基底下的坐标是(8，6，4)，其中，则点在基底下的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，若G是的中点，，，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A．6π B．10π C．8π D．12π
12．设=+，=+，=+，且{，，}是空间的一个基底，给出下列向量组:①{，，}；②{，，}；③{，，}；④{，，++}，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图在平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，侧棱且，则 （ ）
A． B． C． D．
14．已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．在正方体中，AC与BD的交点为M.设则下列向量与相等的向量是 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是_______．
17．已知空间四边形ABCD的对角线为AC与BD，M，N分别为线段AB，CD上的点满足，，点G在线段MN上，且满足，若，则__________.
18．正四面体ABCD的棱长为2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则的值为___．
三、解答题
19．如图，在平行六面体中，点M是棱的中点，点G在对角线上，且．设，，，用向量，，表示向量，，，．
20．如图，已知正方体的棱长为1，P，Q，R分别在AB，，上，并满足．设，，．
(1)用，，表示，；
(2)设的重心为G，用，，表示；
(3)当时，求a的取值范围．
21．如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，.
（1）求证： 平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求与平面所成角的正弦值.
22．正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等．它有4个面，6条棱，4个顶点．正四面体ABCD中，E，F分别是棱AD、BC中点．求：
（1）AF与CE所成角的余弦值；
（2）CE与底面BCD所成角的正弦值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
结合几何体，根据空间向量的加法运算得到的值.
【详解】
如图，
，
所以，
所以.
故选：C
本题考查空间向量的运算，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.
2．B
由向量的加法、减法及数乘运算法则计算即可．
【详解】
连接ON，则
由题可得
故选：B.
3．D
运用向量表示出，然后平方计算出结果.
【详解】
解：在平行六面体中，因为，所以．
所以．
故选：D.
本题考查了平行六面体中的长度问题，运用向量将其进行分解，线性表示出要求向量，然后求出结果，属于中档题.
4．B
建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，求出点、的坐标，再利用空间中两点间的距离公式求出线段的长.
【详解】
由题意建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系
，
则，，因为是的中点，所以，
因为，所以，所以，即线段的长为，故选B.
本题考查空间中两点间的距离公式的应用，解题的关键在于建立合适的空间直角坐标系，并求出相应点的坐标，考查空间想象能力，属于中等题.
5．B
利用空间向量的基本定理求解.
【详解】
因为，
，
所以，，.
故选：B.
6．C
根据所给的图形，在图形中看出要求的向量可以怎么得到，用减法把向量先变化成已知向量的差的形式，再利用向量的加法法则，得到结果．
【详解】
，．
，
故选：．
本题考查空间向量的加减法，本题解题的关键是在已知图形中尽量的应用几何体的已知棱表示要求的结果，属于基础题．
7．A
用表示出，计算，开方得出AO的长度.
【详解】
因为四边形是平行四边形，
,
,
,
,
，
即.
故选：A
8．C
结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案.
【详解】
故选：C.
9．A
根据向量的坐标的定义列关系式，由此可求向量在基底下的坐标.
【详解】
∵ 在基底下的坐标为，
∴ ，
∴ 在基底下的坐标为，
故选：A.
10．B
由空间向量的基本定理求解即可
【详解】
因为OM＝2MA，
所以，
又点N为BC中点，
所以，
所以，
故选：B
11．C
利用已知结合数量积的运算求解，可得为直角三角形，再由为直角三角形，可知为三棱锥的外接球的直径，再由球的表面积公式得答案．
【详解】
解：，，
，
又、、两两相互垂直，
，即，
，，
，则为直角三角形，
又为直角三角形，为三棱锥的外接球的直径，
则三棱锥的外接球的表面积．
故选：C．
12．C
借助长方体，结合题设向量间的线性关系，将它们转化到长方体中对应线段上，再判断各项向量组中的向量是否共面，即可确定是否可以作为基底.
【详解】
结合长方体，如图可知：向量共面，不共面，不共面，，也不共面，
故选：C.
13．B
先求出 ，，，，，，再计算即可.
【详解】
解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱且，
则 ，，，，，，
则
故选：B.
本题考查向量的数量积，向量的模的计算公式，是中档题.
14．B
利用向量的线性运算和数量积运算律可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解
【详解】
设正方体内切球的球心为，则,
,
因为MN是正方体内切球的一条直径，
所以，，
所以，
又点Р在正方体表面上运动，
所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；
当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为；
所以，
所以的取值范围为，
故选：B
15．C
根据空间向量的运算法则，推出的向量表示，可得答案.
【详解】
，
故选：C.
16．
利用，即可求解．
【详解】
，
，
，
故答案为：．
本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
17．
以作为空间向量的基底，利用向量的线性运算可得的表示，从而可得的值，最后可得的值.
【详解】
,
又，
故，
而，
所以，
因为不共面，故，
所以，
故答案为：
18．1
根据给定条件用空间向量的一个基底表示与，再利用空间向量数量积及运算律计算作答.
【详解】
在正四面体ABCD中，令，显然，，，如图：
因点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则，
，
于是得，
所以的值为1.
故答案为：1
19．见解析
利用空间向量的线性运算可得，，，的表示形式.
【详解】
，
，
，
.
20．(1)，
(2)
(3)
（1）利用向量的加法运算，以及数乘运算即可表示；
（2）利用向量的加法运算，以及数乘运算即可表示；
（3）先用，，表示，再计算，发现其恒为零，进而可得a的取值范围．
(1)
(2)
(3)
又
即对任意，都有
即a的取值范围为.
21．（1）证明见详解；（2）；（3）
（1）连接OF，可得OF为的中位线，OF∥DE，可得证明；
（2）连接C点与AD中点为x轴，CB为y轴，CE为z轴建立空间直角坐标系，可得，的值，可得异面直线与所成角的余弦值；
（3）可得平面EBD的一个法向量为，可得与平面所成角的正弦值.
【详解】
解：（1）
如图，连接OF，因为底面是菱形，与交于点，
可得O点为BD的中点，又为的中点，所以OF为的中位线，
可得OF∥DE,又,DE不在平面ACF内，
可得 平面；
（2）如图连接C点与AD中点位x轴，CB为y轴，CE为z轴建立空间直角坐标系，
设菱形的边长为2，可得CE=2，
可得E(0，0，2)，O(,,0),A(,1,0),F(0,1,1),
可得：,,设异面直线与所成角为，
可得，
（3）可得D (,-1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),
可得,,设平面EBD的一个法向量为，
可得，,可得的值可为，由
可得与平面所成角的正弦值为
=.
本题主要考查直线与平面平行，及向量法求异面直线所成的角及向量法求直线与平面所成的角，综合性大，难度较大.
22．（1）；（2）.
（1）设，两两成角，利用空间向量的夹角公式结合向量基本定理进行计算即可；
（2）利用几何法，如图先确定线面角为，利用正四面体的性质进行计算即可得解.
【详解】
（1）不妨设正四面体的边长为，
设，两两成角，
则，
，
设所成角为，
所以，
（2）
连接，由为中点，则，
所以平面，所以平面平面，
作于，则平面，
由对称性为的中心，
由棱长为，所以，，
，
作于，由为中点，，
连接，，
CE与底面BCD所成角的正弦值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页