1.3空间向量及其运算的坐标表示 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 1.3空间向量及其运算的坐标表示 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 779.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-04 11:49:38 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 1.3 空间向量及其运算的坐标表示
一、单选题
1．平面的法向量，平面的法向量，已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知点，若向量，则点B的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
4．已知三维数组，，且，则实数（ ）
A．-2 B．-9 C． D．2
5．已知，，O是坐标原点，与的夹角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在空间直角坐标系中，已知，，则点B的坐标是
A． B．
C． D．
7．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
8．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
9．设，，为空间的三个不同向量，如果λ1+λ2+λ3＝0成立的等价条件为λ1＝λ2＝λ3＝0，则称，，线性无关，否则称它们线性相关.若＝（2，1，﹣3），＝（1，0，2），＝（1，﹣1，m）线性相关，则m＝（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
10．若向量，且与的夹角余弦为，则λ等于（ ）
A． B． C．或 D．2
11．在正三棱台中，，是的中点，设与所成角分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知为坐标原点，向量，点，.若点在直线上，且，则点的坐标为（ ）.
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知而，若，则___________.
14．若向量，，且与的夹角的余弦值为，则实数x的值为______．
15．已知空间向量且，则与的夹角的余弦值为______．
16．已知，，.若平面，则的最小值为___________.
三、解答题
17．求证：以A（4，1，9），B（10，–1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．
18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，E为的中点.求的值；
19．已知（2，3，﹣1），（﹣1，0，3），（0，1，2）．
（1）求的值；
（2）已知，，||＝||，求．
20．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值.
21．已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点的坐标；
（2）求线段的长度；
（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
根据两个平面平行得出其法向量平行，根据向量共线定理进行计算即可.
【详解】
由题意得，因为，所以（），
即，解得，
所以.
故选:A
2．D
根据空间向量的坐标运算，计算即可.
【详解】
由，
得，
所以，
故选：D
3．B
利用空间向量的坐标运算求得的坐标.
【详解】
设为空间坐标原点，
.
故选：B
4．D
结合空间向量的数量积的应用即可.
【详解】
因为，
所以，
又，
所以.
故选：D
5．C
首先求出空间向量的坐标，及向量的模，进一步利用向量的夹角公式求出结果．
【详解】
由题意，
所以，又，，
所以，所以
解得λ
故选：C.
6．C
根据空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】
设，，
则，
而，
所以，解得，
所以，
故选：C.
本题考查了空间向量的坐标运算，属于基础题.
7．C
根据向量平行和垂直的坐标表示得出答案.
【详解】
故选：C
8．C
由两平面平行，得法向量平行，由此求得后可得结论．
【详解】
∵，∴，
∴，解得，，
∴．
故选：C．
9．A
依题意知，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数x，y，z，使得成立，则，解方程组可求出的值
【详解】
解：依题意知，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数x，y，z，使得成立；
即
由，得，
代入，得（m﹣9）z＝0；
由于x，y，z不全为0，
所以z≠0，
所以m＝9.
故选：A.
10．A
由向量的数量积求得夹角的余弦值，可得参数值．
【详解】
解：∵向量，
∴，
解得．
故选：A．
11．D
设的中心分别为，所以垂直于上下底面， 是的中点，所以，取的中点，则，分别以为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，利用夹角公式可得答案.
【详解】
如图正三棱台中， 均为正三角形，设的中心分别为，所以垂直于上下底面， 是的中点，所以，取的中点，则，分别以为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，因为，所以 ，，取中点，则，因为为正三角形的中心，所以，所以，，作交于，则，，
所以，
所以，
所以，，，
，
所以，
，
，
综上所述，，.
故选：D.
本题考查了线线角的求法，关键点是建立空间直角坐标系，利用向量数量积公式求得答案，考查了学生的空间想象力和运算能力.
12．A
由在直线上，设，再利用向量垂直，可得，进而可求E点坐标.
【详解】
因为在直线上，故存在实数使得，
.若，则，所以，解得，
因此点的坐标为.
故选：A.
【定睛】
本题考查了空间向量的共线和数量积运算，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
13．6
利用空间向量平行的坐标公式，即可得到结果.
【详解】
，
，解得：，.
故答案为：
14．
利用空间向量数量积的坐标运算求夹角即可求解.
【详解】
根据题意得，
即，且，解得（舍去）或．
故答案为：
15．
由，利用向量的坐标运算，求得的值，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
由题意，空间向量
可得，
所以，解得，即，
所以，
即向量与的夹角的余弦值为.
故答案为：.
．
16．
利用平面，得到两个向量垂直，从而利用坐标运算得到，，之间的关系，然后再利用模的坐标表示求解最值即可．
【详解】
因为平面，都在平面内，
所以，
所以，
又因为，，，
所以，
解得，
所以，
所以
，
所以的最小值为．
故答案为：
方法点睛：解答立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用配方法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
17．见证明
利用空间间两点的距离公式分别求AB,AC，BC，进而可得三角形的形状.
【详解】
A（4，1，9），B（10，–1，6），C（2，4，3），
AB==7，
AC==7，
BC==7，
∴AB2+AC2=BC2，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形．
本题主要考查了空间中两点距离的求解，利用三角形的长度关系判断三角形的形状，属于基础题.
18．
建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系：
∴，，，
∴，
∴，
，
.
19．（1）-13；（2）(3，﹣2，1)或（﹣3，2，﹣1）．
（1）根据空间向量运算律进行计算即可；
（2）设（x，y，z），根据⊥，⊥，||＝||列方程组可解决此问题．
【详解】
（1）∵（2，3，﹣1），（﹣1，0，3），（0，1，2），
∴（﹣2，﹣3，0），
∴()＝2×（﹣2）+3×（﹣3）+（﹣1）×0＝﹣13；
（2）设（x，y，z），
∵⊥，⊥，||＝||，
∴，
解得：或，
∴(3，﹣2，1)或（﹣3，2，﹣1）．
20．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）
把平面与平面垂直转化为直线和平面垂直.要证直线和平面垂直，依据相关判定定理转化为证明直线和直线垂直.求二面角，往往利用“作——证——求”的思路完成，作二面角是常常利用直线和平面垂直.第（Ⅲ）题，求解有难度，可以空间向量完成.
（Ⅰ）因为为正方形，所以.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C，，且平面ABC平面AA1C1C，
所以⊥平面ABC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，⊥AC, ⊥AB.
由题意知，所以.
如图，以A为原点建立空间直角坐标系,则.
设平面的法向量为，则即
令，则，所以.
同理可得，平面的法向量为.
所以.
由题知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为.
（Ⅲ）设是直线上的一点，且.
所以，解得，所以.
由，即，解得.
因为，所以在线段上存在点D，使得，此时.
【考点定位】本题考查了平面与平面垂直的性质定理，直线和平面垂直的判定定理，考查了法向量、空间向量在立体几何中的应用和二面角的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力.
【详解】
请在此输入详解！
21．（1）；（2）；（3）不垂直，理由见解析.
（1）根据长方体的长，宽，高，结合中点坐标公式，即可得出点的坐标；
（2）根据空间中两点的距离公式求解即可；
（3）由空间中向量的数量积公式，证明即可.
【详解】
（1）由于为坐标原点，所以
由得：
点N是AB的中点，点M是的中点，；
（2）由两点距离公式得：，
；
（3）直线与直线不垂直
理由：由（1）中各点坐标得：
与不垂直，所以直线与直线不垂直
本题主要考查了空间向量的坐标表示，求空间中两点间的距离，数量积的应用，属于中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．平面的法向量，平面的法向量，已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知点，若向量，则点B的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
4．已知三维数组，，且，则实数（ ）
A．-2 B．-9 C． D．2
5．已知，，O是坐标原点，与的夹角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在空间直角坐标系中，已知，，则点B的坐标是
A． B．
C． D．
7．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
8．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
9．设，，为空间的三个不同向量，如果λ1+λ2+λ3＝0成立的等价条件为λ1＝λ2＝λ3＝0，则称，，线性无关，否则称它们线性相关.若＝（2，1，﹣3），＝（1，0，2），＝（1，﹣1，m）线性相关，则m＝（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
10．若向量，且与的夹角余弦为，则λ等于（ ）
A． B． C．或 D．2
11．在正三棱台中，，是的中点，设与所成角分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知为坐标原点，向量，点，.若点在直线上，且，则点的坐标为（ ）.
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知而，若，则___________.
14．若向量，，且与的夹角的余弦值为，则实数x的值为______．
15．已知空间向量且，则与的夹角的余弦值为______．
16．已知，，.若平面，则的最小值为___________.
三、解答题
17．求证：以A（4，1，9），B（10，–1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．
18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，E为的中点.求的值；
19．已知（2，3，﹣1），（﹣1，0，3），（0，1，2）．
（1）求的值；
（2）已知，，||＝||，求．
20．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值.
21．已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点的坐标；
（2）求线段的长度；
（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
根据两个平面平行得出其法向量平行，根据向量共线定理进行计算即可.
【详解】
由题意得，因为，所以（），
即，解得，
所以.
故选:A
2．D
根据空间向量的坐标运算，计算即可.
【详解】
由，
得，
所以，
故选：D
3．B
利用空间向量的坐标运算求得的坐标.
【详解】
设为空间坐标原点，
.
故选：B
4．D
结合空间向量的数量积的应用即可.
【详解】
因为，
所以，
又，
所以.
故选：D
5．C
首先求出空间向量的坐标，及向量的模，进一步利用向量的夹角公式求出结果．
【详解】
由题意，
所以，又，，
所以，所以
解得λ
故选：C.
6．C
根据空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】
设，，
则，
而，
所以，解得，
所以，
故选：C.
本题考查了空间向量的坐标运算，属于基础题.
7．C
根据向量平行和垂直的坐标表示得出答案.
【详解】
故选：C
8．C
由两平面平行，得法向量平行，由此求得后可得结论．
【详解】
∵，∴，
∴，解得，，
∴．
故选：C．
9．A
依题意知，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数x，y，z，使得成立，则，解方程组可求出的值
【详解】
解：依题意知，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数x，y，z，使得成立；
即
由，得，
代入，得（m﹣9）z＝0；
由于x，y，z不全为0，
所以z≠0，
所以m＝9.
故选：A.
10．A
由向量的数量积求得夹角的余弦值，可得参数值．
【详解】
解：∵向量，
∴，
解得．
故选：A．
11．D
设的中心分别为，所以垂直于上下底面， 是的中点，所以，取的中点，则，分别以为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，利用夹角公式可得答案.
【详解】
如图正三棱台中， 均为正三角形，设的中心分别为，所以垂直于上下底面， 是的中点，所以，取的中点，则，分别以为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，因为，所以 ，，取中点，则，因为为正三角形的中心，所以，所以，，作交于，则，，
所以，
所以，
所以，，，
，
所以，
，
，
综上所述，，.
故选：D.
本题考查了线线角的求法，关键点是建立空间直角坐标系，利用向量数量积公式求得答案，考查了学生的空间想象力和运算能力.
12．A
由在直线上，设，再利用向量垂直，可得，进而可求E点坐标.
【详解】
因为在直线上，故存在实数使得，
.若，则，所以，解得，
因此点的坐标为.
故选：A.
【定睛】
本题考查了空间向量的共线和数量积运算，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
13．6
利用空间向量平行的坐标公式，即可得到结果.
【详解】
，
，解得：，.
故答案为：
14．
利用空间向量数量积的坐标运算求夹角即可求解.
【详解】
根据题意得，
即，且，解得（舍去）或．
故答案为：
15．
由，利用向量的坐标运算，求得的值，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
由题意，空间向量
可得，
所以，解得，即，
所以，
即向量与的夹角的余弦值为.
故答案为：.
．
16．
利用平面，得到两个向量垂直，从而利用坐标运算得到，，之间的关系，然后再利用模的坐标表示求解最值即可．
【详解】
因为平面，都在平面内，
所以，
所以，
又因为，，，
所以，
解得，
所以，
所以
，
所以的最小值为．
故答案为：
方法点睛：解答立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用配方法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
17．见证明
利用空间间两点的距离公式分别求AB,AC，BC，进而可得三角形的形状.
【详解】
A（4，1，9），B（10，–1，6），C（2，4，3），
AB==7，
AC==7，
BC==7，
∴AB2+AC2=BC2，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形．
本题主要考查了空间中两点距离的求解，利用三角形的长度关系判断三角形的形状，属于基础题.
18．
建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系：
∴，，，
∴，
∴，
，
.
19．（1）-13；（2）(3，﹣2，1)或（﹣3，2，﹣1）．
（1）根据空间向量运算律进行计算即可；
（2）设（x，y，z），根据⊥，⊥，||＝||列方程组可解决此问题．
【详解】
（1）∵（2，3，﹣1），（﹣1，0，3），（0，1，2），
∴（﹣2，﹣3，0），
∴()＝2×（﹣2）+3×（﹣3）+（﹣1）×0＝﹣13；
（2）设（x，y，z），
∵⊥，⊥，||＝||，
∴，
解得：或，
∴(3，﹣2，1)或（﹣3，2，﹣1）．
20．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）
把平面与平面垂直转化为直线和平面垂直.要证直线和平面垂直，依据相关判定定理转化为证明直线和直线垂直.求二面角，往往利用“作——证——求”的思路完成，作二面角是常常利用直线和平面垂直.第（Ⅲ）题，求解有难度，可以空间向量完成.
（Ⅰ）因为为正方形，所以.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C，，且平面ABC平面AA1C1C，
所以⊥平面ABC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，⊥AC, ⊥AB.
由题意知，所以.
如图，以A为原点建立空间直角坐标系,则.
设平面的法向量为，则即
令，则，所以.
同理可得，平面的法向量为.
所以.
由题知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为.
（Ⅲ）设是直线上的一点，且.
所以，解得，所以.
由，即，解得.
因为，所以在线段上存在点D，使得，此时.
【考点定位】本题考查了平面与平面垂直的性质定理，直线和平面垂直的判定定理，考查了法向量、空间向量在立体几何中的应用和二面角的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力.
【详解】
请在此输入详解！
21．（1）；（2）；（3）不垂直，理由见解析.
（1）根据长方体的长，宽，高，结合中点坐标公式，即可得出点的坐标；
（2）根据空间中两点的距离公式求解即可；
（3）由空间中向量的数量积公式，证明即可.
【详解】
（1）由于为坐标原点，所以
由得：
点N是AB的中点，点M是的中点，；
（2）由两点距离公式得：，
；
（3）直线与直线不垂直
理由：由（1）中各点坐标得：
与不垂直，所以直线与直线不垂直
本题主要考查了空间向量的坐标表示，求空间中两点间的距离，数量积的应用，属于中档题.
答案第1页，共2页
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