2.2直线的方程 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 2.2 直线的方程 同步练习
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B．
C． D．
2．一束光线从点处射到y轴上一点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是
A． B．
C． D．
3．过点且倾斜角为90°的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．直线和直线在同一坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
6．过点且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．过点的直线的倾斜角是直线:的倾斜角的2倍，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列说法正确的是（）
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程不能表示平行轴的直线
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．经过两点，的直线方程为
9．“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．若与的图形有两个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
11．已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（ ）
A． B．6 C． D．
12．设直线 与直线的交点为,则到直线的距离最大值为
A． B． C． D．
二、填空题
13．倾斜角为90°且与点距离为2的直线方程为______．
14．已知动直线恒过第一象限的点，且到动直线l的最大距离为5，则当的值为______时，点Q到直线l的距离取得最大值．
15．在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点.若光线经过的重心，则长为___________
16．已知两条直线和都过点，则过，两点的直线方程是______．
17．过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则（为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为____________.
三、解答题
18．求倾斜角为直线的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程：
（1）经过点；
（2）在轴上的截距为．
19．设直线l的方程为，根据下列条件分别确定m的值：
（1）直线l在x轴上的截距为；
（2）直线l的倾斜角为．
20．已知一条动直线，
(1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
(2)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
21．已知，，，，轴为边中线．
（1）求边所在直线方程；
（2）求内角角平分线所在直线方程．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
由斜率即可求出倾斜角.
【详解】
设直线的倾斜角为，
则，，.
故选：C.
2．B
由反射定律得点A关于y轴的对称点，又因为B点也在直线上，根据截距式可得直线方程．
【详解】
由题得点关于y轴的对称点在反射光线所在的直线上，再根据点也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为，即，故选B.
本题直线方程可由两点式或截距式求出，找到点A的对称点是突破口，属于基础题．
3．B
根据倾斜角为的直线的方程形式，判断出正确选项.
【详解】
由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以其直线方程为.
故选：B
本小题主要考查倾斜角为的直线的方程，属于基础题.
4．D
由四个选项中的可知，分别由四个选项中的的符号推导的斜率和纵截距的符号可得解.
【详解】
根据题意可知，，
对于、、，由可知，，所以：的斜率为正数，故、、不正确；
对于，由可知，，此时：符合，故正确.
故选：D.
本题考查了根据直线方程识别图象，属于基础题.
5．C
根据题意知A、B两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．
【详解】
根据题意，若直线l：kx﹣y﹣1＝0与线段AB相交，
则A、B在直线的异侧或在直线上，
则有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，
即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥，
即k的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．
故选C．
本题考查直线与线段AB相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．
6．A
结合图形可知，所求直线为过点且与原点和点连线垂直的直线，通过点斜式即可得结果.
【详解】
结合图形可知，所求直线为过点且与原点和点连线垂直的直线，其斜率为，直线方程为，即.
故选：A.
7．B
由的斜率得倾斜角，从而得直线的倾斜角，得斜率后可得直线方程．
【详解】
，，所以，所以直线的方程是：
，即．
故选：B．
8．D
横纵截距都为的直线不可以用方程表示，可判断选项A，当时，方程
表示的是平行轴的直线，可判断选项B，倾斜角的直线方程不能写成，可判断选项C，，直线的斜率存在，可以用点斜式表示，可判断选项D，进而可得正确答案.
【详解】
对于选项A：横纵截距都为的直线不可以用方程表示，故选项A不正确；
对于选项B：当时，方程表示的是平行轴的直线，故选项B不正确；
对于选项C：当倾斜角时，无意义，斜率不存在，直线方程不能写成，故选项C不正确；
对于选项D：因为，所以直线的斜率存在，且斜率为，因此直线的方程可以写成，故选项D正确.
故选：D
9．A
直线与直线相互垂直得到，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】
因为直线与直线相互垂直，
所以，
所以.
所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；
当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.
所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
10．A
根据题意，可知表示关于轴对称的两条射线，表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，画出图形，分析判断即可求出的取值范围.
【详解】
解：表示关于轴对称的两条射线，
表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，
根据题意，画出大致图形，如下图，
若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知．
故选：A．
本题考查由两直线的交点个数从而求参数范围，考查直线的斜率和截距，以及直线的方程和图象，考查数形结合思想.
11．C
直线AB的方程为：，点关于x轴的对称点，根据对称性特征求得点关于直线AB的对称点， 再根据反射对称性可得光线所经过的路程为，即得结果.
【详解】
直线AB的方程为：，如图所示，
点关于x轴的对称点，
设点关于直线AB的对称点，如图，
则，且中点在直线上，
即联立解得，即，
所以根据反射原理的对称性，光线所经过的路程为：
．
故选：C.
本题考查了直线的方程、点关于直线的对称点的求法、两点之间的距离公式和光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题．
12．A
先求出的坐标，再求出直线所过的定点，则所求距离的最大值就是的长度.
【详解】
由可以得到，故，
直线的方程可整理为：，故直线过定点，
因为到直线的距离，当且仅当时等号成立，
故，
故选A.
一般地，若直线和直线相交，那么动直线（）必过定点（该定点为的交点）.
13．或
结合倾斜角以及直线的位置关系求出满足条件的直线方程即可．
【详解】
所求直线的倾斜角是，
所求直线和直线平行，
与直线距离为2的直线方程为：或，
故答案为：或．
14．##
根据到动直线l的最大距离为5，得，求出，再根据点Q到直线l的距离取得最大值时，利用列式计算即可.
【详解】
到动直线l的最大距离为5
，解得或（舍），
所以，
要点Q到直线l的距离取得最大值，则，
则，得.
故答案为：.
15．
建立平面直角坐标系，设点P的坐标，可得P1, P2的坐标，和P关于y轴的对称点的坐标，得直线的方程，由于直线过的重心，解得P的坐标，进而可得AP的值．
【详解】
建立如图所示的直角坐标系：
可得，故直线BC的方程为，
的重心为，即
设，其中，
则点P关于直线BC的对称点，满足，
解得，即，P关于y轴的对称点，
由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，
直线QR的斜率为k，故直线QR的方程为，
由于直线QR过的重心，代入化简可得，
解得，或（舍去），故，故
故答案为：
16．
结合直线方程的定义求过，两点的直线方程.
【详解】
点在直线上，
．
由此可知点的坐标满足．
点在直线上，
．
由此可知点的坐标也满足．
两点确定一条直线，过，两点的直线方程是，
故答案为：.
17．
设直线的方程为，求出点、的坐标，结合已知条件求出的取值范围，然后求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最小值，利用等号成立求出的值，即可得出所求直线的方程.
【详解】
易知直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，即.
在直线的方程中，令，可得；令，可得.
所以，点、.
由已知条件可得，解得.
的面积为.
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，直线的方程为，即.
故答案为：.
关键点点睛：解本题的关键在于将三角形的面积利用斜率有关的代数式表示，并结合基本不等式求出三角形面积的最小值，同时不要忽了斜率的取值范围的求解.
18．（1）；（2）.
（1）由题意可得的倾斜角为，可得所求直线倾斜角为，斜率为1，代入直线的点斜式方程，即可得答案；
（2）由题意，代入直线的斜截式方程，化简整理，即可得答案.
【详解】
由于直线的斜率为，且倾斜角，所以其倾斜角为．
由题意知所求直线的倾斜角为，所求直线的斜率．
（1）由于直线经过点，由直线的点斜式方程得，即．
（2）由于直线在轴上的截距为，由直线的斜截式方程得，即．
19．（1）；（2）．
（1）依题意解得即可；
（2）倾斜角为，即直线的斜率为，即可得到，解得即可；
【详解】
（1）由题意得，解得且
解得，所以．
故当时，直线在轴上的截距为．
（2）由题意得，解得且，
解得，所以．
故当时，直线的倾斜角为．
20．(1)证明见解析，定点；
(2)存在，且直线方程为.
（1）将直线方程变形为，解方程组，可得定点的坐标；
（2）设点A的坐标为，根据求出的值，可得出点的坐标，进而可求得直线的方程，可求出该直线与轴的交点的坐标，即可求得的周长，即可得解.
(1)
证明：将直线方程变形为，
由，可得，
因此，直线恒过定点.
(2)
解：设点A的坐标为，若，则，
则、，直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
此时直线与轴的交点为，则，，，
此时的周长为.
所以，存在直线满足题意.
21．（1）；（2）．
（1）设交轴于点，则根据条件可知为等边三角形，则，进而，由点斜式即可求解；
（2）先内角角平分线斜率的，再由点斜式即可求解
【详解】
（1）因为，，
设交轴于点，则根据条件可知为等边三角形，
则，为中点，则．
,
故直线方程为，
即，
故直线方程为．
（2）因为，
所以，,
所以内角角平分线斜率为，
故内角角平分线所在直线方程为．
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