2.3直线的交点坐标与距离公式 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 2.3 直线的交点坐标与距离公式
一、单选题
1．已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
2．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
3．斜率为2，且过直线和直线交点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．直线，分别过点，，它们分别绕点和旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离的最大值是（ ）
A．5 B．4 C． D．3
5．若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（ ）
A． B．或 C． D．或
6．已知直线与直线和的距离相等，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．设直线 与直线的交点为,则到直线的距离最大值为
A． B． C． D．
8．两条平行直线和间的距离为，则，分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．若动点 分别在直线和上移动，则的中点到原点距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为A(0,0)，B(4,0)，，则该三角形的欧拉线方程为
A． B． C． D．
11．直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知直线和直线，则当与间的距离最短时，t的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
二、填空题
13．直线关于点对称的直线的方程为_________.
14．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________.
15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使路线最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在的直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_________.
16．设，过定点的动直线和过定点的动直线 交于点，则的最大值______.
三、解答题
17．已知点，求：
（1）过点与原点距离为2的直线的方程；
（2）过点与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
18．（1）已知点A的坐标为，直线l的方程为，求点A关于直线l的对称点的坐标；
（2）求直线关于点对称的直线l的方程；
（3）求直线关于直线对称的直线l的方程.
19．已知两条直线：和：，求满足下列条件的 的值.
（1），且过点；
（2），且坐标原点到这两条直线的距离相等.
20．在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.
（1）求点坐标；
（2）求直线的方程.
21．已知直线l过点P(2，3)且与定直线l0：y=2x在第一象限内交于点A，与x轴正半轴交于点B，记 的面积为S( 为坐标原点)，点B(a，0).
（1）求实数a的取值范围；
（2）求当S取得最小值时，直线l的方程.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
根据题意得到直线与直线和直线分别平行时或直线过直线和直线的交点时，三条直线不能构成三角形，再分别计算相应的值即可.
【详解】
由题知：
①当直线与直线平行时，三条直线不能构成三角形.
即.
②当直线与直线平行时，三条直线不能构成三角形.
即.
③当直线过直线与直线交点时，
三条直线不能构成三角形.
所以，解得，
将代入，解得.
所以实数的取值集合为.
故选：D.
2．C
作出图形，求出点关于直线的对称点的坐标，在直线上取点，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
【详解】
如下图所示，设点关于直线的对称点为，
由题意可得，解得，即点，
在直线上取点，由对称性可得，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马“的最短总路程为.
故选：C.
思路点睛：本题考查“将军饮马”最短路径问题，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用三点共线时求得最值来求解.
3．A
求出两直线的交点坐标，根据点斜式可得结果.
【详解】
联立，解得，所以两直线的交点坐标为，
所求直线方程为.整理为.
故选：A
本题考查了求两直线的交点，考查了直线方程的点斜式，属于基础题.
4．A
根据题意画出图像，根据图像分析可得直线，之间的距离的最大值为，即可得出结果.
【详解】
解：根据题意画出图像，如图所示：
根据图像可得：当，且，时，与之间的距离为；
当，但是与不垂直，与不垂直时，过点向引垂线，垂足为，则与之间的距离为；
因为，
所以.
故选：A .
本题主要考查数形结合的思想和两平行线间的距离，属于中档题.
5．C
根据平行关系得出或，再由距离公式得出满足条件.
【详解】
∵，∴，解得或
当时，当时
故选：C
6．D
设所求直线方程为：，根据该直线与和的距离相等，建立方程求解可得选项.
【详解】
设所求直线l方程为：，
因为直线l与；距离相等，所以，解得，
所以所求直线方程为：，
故选：D.
7．A
先求出的坐标，再求出直线所过的定点，则所求距离的最大值就是的长度.
【详解】
由可以得到，故，
直线的方程可整理为：，故直线过定点，
因为到直线的距离，当且仅当时等号成立，
故，
故选A.
一般地，若直线和直线相交，那么动直线（）必过定点（该定点为的交点）.
8．D
先由直线平行求出，再由平行线间距离公式可求出d.
【详解】
两直线平行，，解得，
将化为，
.
故选：D.
9．C
点的轨迹是两直线与之间与它们平行且距离相等的直线，由原点到直线的距离公式可得．
【详解】
∵在直线上，在直线上，是中点，∴点在到两直线与距离相等的平行线上，
直线和，因此点所在直线为，
则的最小值为．
故选：C．
本题考查点到直线的距离公式，解题关键是确定点的轨迹．
10．A
利用点A,B,C坐标得出重心G的坐标，设的外心为,可得，从而解出，利用点斜式即可得出欧拉线.
【详解】
的顶点为A(0，0)，B(4，0)， ，∴重心.设的外心为，则，即，解得，∴W(2，0).则该三角形的欧拉线即直线GW的方程为，化简.故选A.
本题主要考查了直线的方程的求法，利用点斜式求方程时要知道直线的斜率以及直线上一点的坐标，属于中档题.
11．A
联立两直线的方程，解得交点的坐标，根据交点在第四象限，由求解.
【详解】
由，
解得，
因为直线与直线的交点在第四象限，
所以，
解得，
所以实数的取值范围为，
故选：A
12．B
利用平行线之间的距离公式可求出关于的二次函数解析式，再利用二次函数的单调性即可求解.
【详解】
解：
∵直线即为直线，∴直线直线．
∴与间的距离，当且仅当时取等号．
∴当与间的距离最短时，t的值为．
故答案选：B
13．
设所求直线上任一点坐标为，点关于点对称的点，根据中点坐标公式，点在直线，可得所求直线方程，即可求得答案.
【详解】
设所求直线上任一点坐标为，点关于点对称的点为
根据坐标中点公式可得：
解得：①
点在直线
②
将①代入②可得：
整理可得：.
故答案为：.
本题主要考查直线关于点对称的直线方程，设出所求直线上任一点的坐标，求出其关于定点对称的点的坐标，代入已知直线即可求出结果，属于基础题型.
14．
由点到直线的距离公式建立不等式即可求解.
【详解】
由题意得，点P到直线的距离为.
又，即，解得，
所以a的取值范围是[0，10].
故答案为：.
15．
利用点关于直线对称点的求法可求得点关于直线的对称点的坐标，由此可知所求最短路线为.
【详解】
设点关于直线的对称点为，
则，解得：，即，
“将军饮马”的最短总路程为.
故答案为：.
16．
根据两直线的方程可求得定点、的坐标，以及两直线垂直，进而可得，再结合即可求解.
【详解】
由可知，所以该直线过定点，
由可得，所以该直线过定点，
因为直线与垂直，
所以，
因为，
即，解得：，
所以的最大值为，
故答案为：.
17．（1）或；（2），最大距离为；（3）不存在，见解析
（1）设直线，根据点到直线的距离公式可得参数的值，进而可得结果；
（2）过点与原点距离最大的直线是过点且与垂直的直线，求出斜率，利用点斜式可得直线方程，再利用点到直线的距离公式求出距离即可；
（3）只需比较“过点与原点距离最大的直线中最大距离”与6的大小，即可判断是否存在.
【详解】
（1）设直线，则．化简，得或，故直线的方程为或
（2）过点与原点距离最大的直线是过点且与垂直的直线，
由，得，所以，
由直线方程的点斜式得，即，
即直线是过点与原点距离最大的直线，最大距离为.
（3）由（2）知，过点不存在到原点距离超过的直线，所以不存在过点且到原点距离为6的直线.
本题主要考查了直线的一般方程，以及两点之间的距离公式的应用，属于中档题.
18．（1）；（2）；（3）.
(1)求得直线AA′的方程，再求直线l与与直线AA′的交点，进而即可求出A′的坐标；
(2)取直线l上任一点(x，y)，根据题意得到关于点的对称点在直线上，进而求出直线方程；
(3)求出已知两直线的交点坐标，进而根据对称的性质，结合两点式方程即可解答.
【详解】
（1）过点且与直线垂直的直线的方程为，
由得，
即直线与直线的交点坐标为，
∵点关于点的对称点的坐标为，
∴点A关于直线l的对称点的坐标为.
（2）取直线l上任一点，其关于点的对称点在直线上，
∴，整理得，
即所求直线l的方程为.
（3）由得
∴两直线的交点为，
在直线上取点，
设点B关于直线的对称点为，
则有
解得即点C的坐标为，
由于所求直线经过A C两点，则有，
即，
∴所求直线l的方程为.
19．（1），；（2），或，.
（1）由两线垂直的判定及点在直线上列方程组求参数即可；
（2）由两线平行的判定，两直线到原点距离相等即y轴截距互为相反数，列方程组求参数，注意验证所得结果是否存在两线重合的情况.
【详解】
（1）知：，又过点有，
∴，代入得：，即，故.
（2）知：，则，
又坐标原点到这两条直线的距离相等，即y轴上的截距互为相反数，故，
∴
∴时，；时，；
将 代入直线方程验证可知： 均不重合，
∴，或，.
20．（1）（2）
（1）由AC边上的高BE所在的直线方程可得kAC．利用点斜式可得AC方程,与CM方程联立解得C坐标．（2）设B点坐标，可得中点M坐标代入CM方程，与BE方程联立，可得点B坐标，利用点斜式即可得出所求直线方程．
【详解】
（1）边上的高为，故的斜率为，
所以的方程为，
即，
因为的方程为
解得
所以.
（2）设，为中点，则的坐标为，
解得，
所以， 又因为，
所以的方程为
即的方程为.
本题考查两条直线垂直的应用、考查中点坐标公式以及直线方程的求法，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
21．（1）；（2）
（1）求出直线与直线平行时，直线的斜率，由斜率公式以及题设条件确定实数的取值范围；（2）首先求直线的斜率不存在时的面积，当直线的斜率存在时，设出直线方程，求出直线斜率的范围，联立直线与的方程，求出点的坐标，由三角形面积公式，结合判别式法，求出的最小值，及此时直线方程.
【详解】
（1）当直线与直线平行时，不能构成，此时，解得：，所以，又因为点在轴正半轴上，且直线与定直线再第一象限内交于点，所以.
（2）当直线的斜率不存在时，即,，此时,
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，由于直线的斜率存在，所以，且，
又，或，
由，得，即，
则，
即，
当时，，
整理得，得，即的最小值为3，
此时，解得：，
则直线的方程为
即
本题主要考查直线与直线的位置关系，求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于中档题型.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页