2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．经过点的圆的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
5．若圆上总存在两点关于直线对称，则过圆外一点向圆所作的切线长的最小值是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
6．已知圆，圆，若圆平分圆的圆周，则正数的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知三条直线，，，其中，，，，为实数，，不同时为零，，，不同时为零，且．设直线，交于点，则点到直线的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为
A． B． C． D．
9．已知圆，圆，，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系xOy中，点Q为圆M：上一动点，过圆M外一点P向圆M引-条切线，切点为A，若|PA|=|PO|，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知为直线上一点，点，若为坐标原点)，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知圆的方程为，过点的直线与圆相交于，两点，当最小时，则直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
13．已知为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
14．已知直线，若圆上存在两点，关于直线对称，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
15．圆与直线相交于、两点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．若直线过，且被圆：截得的弦长为，则直线方程为________.
17．已知圆的方程为：，直线：．若直线与圆和圆均相切于同一点，且圆经过点，则圆的标准方程为____________．
18．若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
三、解答题
19．已知圆C的圆心为，直线与圆C相切.
（1）求圆C的方程；
（2）若直线过点，被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.
20．已知圆，圆.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)直线过点与圆相交于两点，且，求直线的方程.
21．已知圆与直线相交于两点且；
（1）求的值；
（2）过点作圆的切线，切点为，再过作圆的切线，切点为，若，求的最小值(其中为坐标原点).
22．已知圆C：，直线l：
（1）求证：对，直线l与圆C总有两个交点；
（2）设直线l与圆C交于点A，B，若，求直线l的倾斜角；
（3）设直线l与圆C交于点A，若定点满足，求此时直线l的方程．
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．C
根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式建立不等式，解之可得选项.
【详解】
圆的标准方程为，半径，
当圆心到直线的距离时，满足题意，圆心在直线上的射影点即满足题意，
故有，解得，即的最大值为，
故选：C.
2．D
判断点在圆上，再由切线的几何性质求斜率，进而求切线方程.
【详解】
，
在圆上，且，
过的切线斜率为.
过的切线方程为：，即.
故选:D.
3．B
由题意画图，数形结合可知，当圆心在C处时，点到直线的距离最大，进而可求结果.
【详解】
如图：圆心为，经过原点，可得
则圆心在单位圆上，原点到直线的距离为
延长BO交于点C，以C为圆心，OC为半径作圆C，BC延长线交圆C于点D，
当圆心在C处时，点到直线的距离最大为
此时，圆上点D到直线的距离最大为
故选：B
关键的点睛：由题意画图，数形结合可得，点D到直线的距离最大是解题的关键.本题考查了作图能力，数形结合思想，运算求解能力，属于一般题目.
4．D
计算出圆心距，比较圆心距与两圆半径差的绝对值的大小关系，可得出结论.
【详解】
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
，因此，两圆内切.
故选：D.
5．D
依题意可知动点在直线：上移动，当与直线垂直时，最小，从而切线长最小. 由点到直线距离公式求得的最小值，进而可得结果.
【详解】
圆：，圆心为，半径.
依题意知，直线过圆心，所以，即动点在直线：上移动.
所以，当与直线垂直时，最小，从而切线长最小，.
此时，切线长的最小值为.
故选：D.
6．A
直接利用两圆的位置关系的应用求出相交弦的方程，由题意可知圆心在相交弦上，进一步求出的值
【详解】
圆，化为，则圆心，
两圆方程相减可得，即为两圆的相交弦方程，
因为圆平分圆的圆周，所以圆心在相交弦上，
所以，解得或（舍去），
故选：A
7．D
分析出直线，且直线过原点，直线过定点，直线过定点，求出点P的轨迹是以OM为直径的圆，求出圆心到点N的距离，再加上半径即可得解.
【详解】
由于，，且，，
易知直线过原点，
将直线的方程化为，由，解得，
所以，直线过定点，所以，
因为，则，直线的方程为，
直线的方程可化为，由，解得，
所以，直线过定点，如下图所示：
设线段OM的中点为点E，则，
若点P不与O或M重合，由于，由直角三角形的性质可得；
若点P与O或M重合，满足.
由上可知，点P的轨迹是以OM为直径的圆E，该圆圆心为，半径为.
设点E到直线的距离为d，当时，；
当EN不与垂直时，.
综上，.
所以，点P到直线的距离的最大值为.
故选：D.
方法点睛：解析几何的最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
8．D
由于两圆不在直线的同侧，先做出圆关于直线对称的圆，把转化为，若最大，必须最大，最小.
【详解】
如图：
依题意得点在直线上，
点关于直线对称的点,
点在圆关于直线对称的圆上，
则，设圆的圆心为，
因为，，
所以，当五点共线，在线段上，在线段上时“=”成立.
因此，的最大值为4.
本题主要考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，距离和差的最值问题对称变换是常采用的方法.
9．A
分析圆与圆的圆心和半径，求出与圆关于直线对称的圆，再设圆上的点与圆上点对称，分析可得原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，据此分析可得答案．
【详解】
圆，即，圆心为，半径，
圆，即，圆心为，半径，
设点关于直线对称的点为
则 ，解得：，
圆关于直线对称的圆为圆，其圆心为，半径，则其方程为，
设圆上的点与圆上点对称，则有，
原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，
连接，与直线交于点，此时点是满足最小的点，
此时，即的最小值为，
故选：A．
关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆关于直线的对称问题，解答本题的关键是求出圆直线对称的圆的方程，原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题.
10．C
利用|PA|=|PO|，两点间距离公式，以及勾股定理得出，
可得点P在直线 上，将的最小值转化为圆心到直线的距离减去半径求解.
【详解】
设，则有，
所以，设圆心到直线2x+2y=1的距离为d，
，
则有PQ.
故选：C
充分利用信息，将的最小值转化为圆心到直线的距离减去半径是解这个题目的关键.
11．B
设出A点坐标(x，y)，代入关系式，求得x，y满足的关系，则问题转化为直线与x，y满足关系的曲线有交点，从而用圆心到直线的距离小于等于半径即可求得参数取值范围.
【详解】
设，因为，
所以，即，
又点A在直线上，所以直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离为
解得，
故选：B.
关键点点睛：求出A(x，y)满足的关系，将问题转化为两曲线交点问题，从而解决问题.
12．D
由题意可知当最小时，则弦最小，此时，从而可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程
【详解】
解：由题意可得圆心坐标为，由三角形的大边对大角可知，当最小时，则弦最小，
所以，，
所以直线方程为，
故选：D.
13．C
求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由即可求解.
【详解】
∵圆，∴圆心，半径，
∴圆心到直线的距离，
∴圆上的点到直线的距离最大值为，
故选：C.
关键点点睛：本题考查圆上的点到直线距离的最值问题，利用圆的几何性质是解题的关键.
14．D
根据圆上存在两点，关于直线对称，可得直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可得出答案.
【详解】
解：因为圆，
所以圆C的圆心坐标为，
又因为圆上存在两点，关于直线对称，
所以直线过圆心，
则，解得.
故选：D.
15．C
由题意可知，线段的垂直平分线经过圆心且与直线垂直，根据两直线垂直求出线段的垂直平分线所在直线的斜率，然后利用点斜式可求得所求直线的方程.
【详解】
圆的圆心坐标为，
由圆的几何性质可知，线段的垂直平分线经过圆心且与直线垂直，
直线的斜率为，则所求直线的斜率为，
因此，线段的垂直平分线的方程是，即.
故选：C.
16．或
将圆化为，求出圆心，半径，讨论直线的斜率存在或不存在，分别利用圆心到直线的距离，利用点到直线的距离即可求解.
【详解】
圆：，即，
即圆心，半径，
当直线的斜率不存在时，直线，
此时弦心距，弦长为，满足条件；
当所求直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由弦长公式可得弦心距，
再利用点到直线的距离公式可得，解得，
故此直线方程为，
综上可得，满足条件的直线方程为或.
故答案为：或.
本题考查了直线与圆的位置关系，根据弦长求直线方程，考查了分类讨论的思想，属于基础题.
17．
由圆与直线相切得，直线与圆的方程联立求得切点坐标，设，由两点间的距离公式可得的圆心坐标和半径，从而得到答案.
【详解】
方程为：，圆心，半径为，
因为圆与直线：相切，
所以，解得，所以直线：，
由得，得切点为，
设，所以①，
且②，由①②得，所以，
所以圆的半径为，
所以圆的标准方程为.
故答案为：.
18．
设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.
【详解】
设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.
故答案为：.
19．（1）；（2）或.
（1）由题意，根据点到直线距离公式，求出半径，进而可得圆的方程；
（2）先考虑斜率不存在的情况，由题中条件，直接得直线方程；再考虑斜率存在的情况，设的方程为，根据圆的弦长的几何表示，得到圆心到直线的距离，再根据点到直线距离公式列出方程求解，即可得出斜率，求出对应直线方程.
【详解】
（1）因为直线与圆C相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即圆心到直线的距离为
∴圆C的方程为：；
（2）当斜率不存在时，的方程为，
易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意，所以；
当斜率存在时，设的方程为，
则.
又直线被圆C所截得的弦长为2，所以，则，
所以，解得，
所以直线的方程为.
综上：的方程为或.
20．(1)相交；
(2)或.
（1）由圆的方程可确定两圆圆心和半径，根据圆心距与关系可得两圆位置关系；
（2）易知直线斜率存在，假设直线方程，利用垂径定理可构造方程求得，由此可得直线方程.
(1)
由圆的方程知：圆圆心为，半径；圆圆心为，半径；
，，
圆和圆相交.
(2)
当直线斜率不存在，即时，直线与圆相离，不合题意；
当直线斜率存在时，设，即，
圆心到距离，
，解得：或，
或，即直线方程为或.
21．（1）；（2）.
(1)写出圆C的圆心坐标，半径，利用半径、半弦、弦心距的关系列式求解即得；
(2)设点P(x，y)，借助切线长定理探求出点P的轨迹即可作答.
【详解】
（1）的圆心，半径，
圆心到直线距离的距离，则弦MN长，得，
所以的值为1；
（2）由(1)知圆的圆心，半径，设，
由切线的性质得，
圆的圆心，半径，同理：，
而，即，化简得到：，
又点到直线距离为，点到直线距离为，
即直线与两圆都无公共点，点的轨迹为直线，
所以最小值即为原点到直线距离.
22．（1）证明过程见解析；（2）或；（3）或.
（1）先求得直线过定点，利用该点在圆内可得所证的结论；
（2）根据弦长可得弦心距，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，两者结合可求，从而可得直线的倾斜角；
（3）设，的中点为，，则可得，求出后利用圆心到直线的距离公式可求，从而得到所求的直线方程.
【详解】
（1）由直线可得：，故直线过定点.
因为，故在圆内，所以直线与圆总有两个不同的交点；
（2）因为，故到直线的距离，
又圆心到直线的距离为，
所以，解得，故直线的斜率为，
所以其倾斜角为或；
（3）由（1）可得在圆内.
设，则，故.
设的中点为，则且.
设，因为，故，
解得，所以，所以，
故直线或.
关键点睛：判断直线所过的定点和利用圆的垂径定理是解题的关键.
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