专题强化二 追及相遇问题
目标要求 1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧.2.会在图象中分析追及相遇问题.3.熟练运用运动学公式结合运动图象解决追及相遇的综合问题．
1．追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置．
2.追及相遇问题的基本物理模型：以甲车追乙车为例．
(1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲(2)若v甲＝v乙，甲、乙的距离保持不变．
(3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲、乙的距离不断减小．
3．分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系．通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口．
4．常用分析方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图．
能否追上的判断方法(临界条件法)
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB(2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx＝0时，表示两者相遇．
①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇．
当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值．
(3)图象法：在同一坐标系中画出两物体的运动图象．位移－时间图象的交点表示相遇，分析速度－时间图象时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系．
5．常见追及情景
(1)速度小者追速度大者
情景 图象 说明
匀加速追匀速 ①t＝t0以前，后面物体与前面物体间距离增大 ②t＝t0时，两物体相距最远，为x0＋Δx(x0为两物体初始距离) ③t＝t0以后，后面物体与前面物体间距离减小 ④能追上且只能相遇一次
匀速追匀减速
匀加速追匀减速
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动.
(2)速度大者追速度小者
情景 图象 说明
匀减速追匀速 开始追赶时，两物体间距离为x0，之后两物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻： ①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件 ②若Δxx0，则相遇两次，设t1时刻Δx＝x0，两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇(t2－t0＝t0－t1)
匀速追匀加速
匀减速追匀加速
题型一 追及相遇问题
考向1 速度小者追速度大者
例1 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
答案 2 s 6 m
解析 解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v＝at
所以t＝＝2 s
Δx＝vt－at2＝6 m.
解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝vt－at2
代入已知数据得Δx＝6t－t2
由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δx有最大值6 m
所以t＝2 s时两车相距最远，为Δx＝6 m.
解法三(图象法)：自行车和汽车的v－t图象如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，
v1＝6 m/s
所以有t1＝＝ s＝2 s，
Δx＝＝ m＝6 m.
例2 汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处、以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2.从刚刹车开始计时．求：
(1)A追上B前，A、B间的最远距离；
(2)经过多长时间A恰好追上B.
答案 (1)16 m (2)8 s
解析 汽车A和B的运动过程如图所示．
(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，
即v＝vB－at＝vA，
触得t＝3 s
此时汽车A的位移xA＝vAt＝12 m
汽车B的位移xB＝vBt－at2＝21 m
故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m.
(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间
t1＝＝5 s
运动的位移xB′＝＝25 m
汽车A在t1时间内运动的位移
xA′＝vAt1＝20 m
此时相距Δx＝xB′＋x0－xA′＝12 m
汽车A需再运动的时间t2＝＝3 s
故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s.
[拓展延伸] (1)若某同学应用关系式vBt－at2＋x0＝vAt，解得经过t＝7 s(另解舍去)时A恰好追上B.这个结果合理吗？为什么？
(2)若汽车A以vA＝4 m/s的速度向左匀速运动，其后方相距x0＝7 m处，以vB＝10 m/s的速度同方向运动的汽车B开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为a＝2 m/s2，则经过多长时间两车恰好相遇？
答案 见解析
解析 (1)这个结果不合理，因为汽车B运动的时间最长为t＝＝5 s<7 s，说明汽车A追上B时汽车B已停止运动．
(2)由位移时间关系公式有：vBt－at2＝x0＋vAt，解得t1＝(3－) s，t2＝(3＋) s.
考向2 速度大者追速度小者
例3 (2022·陕西西北大学附中高三开学考试)在一条平直的公路上，一货车以30 m/s的速率超速行驶时，司机突然发现前方40 m处有一自行车以5 m/s的速率同道、同方向匀速行驶．司机开始制动. (这段公路很窄，无法靠边让道)
(1)若货车刹车后以大小为5 m/s2的加速度做匀减速运动．通过计算分析骑自行车的人是否有危险？ 若无危险，求两车相距最近时的距离；若有危险，求出从货车发现自行车开始到撞上自行车的时间(不计反应时间)．
(2)若货车司机发现自行车时，自行车也恰好发现货车，自行车立即做匀加速直线运动(不计反应时间)，加速度大小为2 m/s2(两车均视为质点)．货车也立即刹车做匀减速直线运动(不计反应时间)，为避免碰撞，问：货车加速度至少多大才能避免相撞．
答案 (1)2 s (2)5.8 m/s2
解析 (1)当货车和自行车共速时，两者距离最短，则
v0－at＝v
解得t＝5 s
此时货车的位移
x1＝t＝87.5 m
自行车的位移x2＝vt＝25 m
因x1>x2＋Δx
可知货车已经和自行车相撞；由位移关系，设经过时间t′两车相撞，则
v0t′－at′2＝Δx＋vt′
解得t′＝2 s
(2)两车恰不相撞时，这两者共速，则
v0－a′t″＝v＋a1t″
v0t″－a′t″2＝Δx＋vt″＋a1t″2
解得a′≈5.8 m/s2
考向3 体育赛事中的追及问题
例4 如图所示，在一次接力训练中，已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持10 m/s的速度跑完全程．设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速运动，加速度大小为3 m/s2.乙在接力区前端
听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒．在这次练习中，甲以v＝10 m/s的速度跑到接力区前端s0＝14.0 m处向乙发出起跑口令．已知接力区的长度为L＝20 m.
(1)求此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离；
(2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令？
(3)在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？
答案 (1)6 m (2)16.7 m (3)2 s
解析 (1)设乙加速到交接棒处时运动时间为t，
则在甲追及乙过程中有：s0＋at2＝vt
代入数据得：t1＝2 s，t2≈4.67 s(大于乙加速最长时间tm＝＝ s，故舍去)
此次练习中交接棒处离接力区前端的距离为：x＝at12＝6 m
(2)乙加速时间为：t乙＝＝ s
设甲在距离接力区前端为s时对乙发出起跑口令
则在甲追及乙过程中有：s＋vt乙＝vt乙
代入数据得：s≈16.7 m
(3)棒在(2)情形下以v＝10 m/s的速度运动，
所以有：t′＝＝2 s.
题型二 图象法在追及相遇问题中的应用
1．x－t图象、v－t图象中的追及相遇问题：
(1)利用图象中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算．
(2)有时将运动图象还原成物体的实际运动情况更便于理解．
2．利用v－t图象分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图象，再通过图象分析计算得出结果，这样更直观、简捷．
3．若为x－t图象，注意交点的意义，图象相交即代表两物体相遇；若为a－t图象，可转化为v－t图象进行分析．
考向1 x－t图象、v－t图象中的追及相遇问题
例5 甲、乙两辆玩具车在同一平直路面上行驶，二者运动的位移－时间图象如图所示，其中乙车的位移－时间图线是关于x轴对称的抛物线的一部分，则下列说法正确的是( )
A．甲车先做匀减速直线运动后做匀速直线运动
B．乙车一定做初速度为零的匀加速直线运动
C．甲车在0～10 s内的平均速度为－1.5 m/s
D．在0～10 s内甲、乙两车相遇两次，且相遇时速度可能相等
答案 B
解析 甲车先做匀速运动后静止不动，选项A错误；乙车的x－t图象为关于x轴对称的抛物线的一部分，由此得位移方程x＝－at2，可知乙车做初速度为零的匀加速直线运动，选项B正确；甲车在10 s内的平均速度 v＝＝－0.6 m/s，选项C错误；从图象中可知图线相交两次，则两车相遇两次，图线的斜率表示速度，可知两次相遇时甲、乙速度都不同，选项D错误．
例6 (多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图象如图所示．已知两车在t＝3 s时并排行驶，则( )
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
答案 BD
解析 根据v－t图象知，甲、乙两车都沿正方向运动．t＝3 s时，甲、乙两车并排行驶，此时v甲＝30 m/s，v乙＝25 m/s，由v－t图线与时间轴所围“面积”对应位移知，0～3 s内甲车位移x甲＝×3×30 m＝45 m，乙车位移x乙＝×3×(10＋25) m＝52.5 m．故t＝0时，甲、乙两车相距Δx1＝x乙－x甲＝7.5 m，即甲车在乙车前方7.5 m，选项B正确；0～1 s内，x甲′＝×1×10 m＝5 m，x乙′＝×1×(10＋15) m＝12.5 m，Δx2＝x乙′－x甲′＝7.5 m＝Δx1，说明在t＝1 s时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A、C错误；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为x＝x甲－x甲′＝45 m－5 m＝40 m，选项D正确．
考向2 利用v－t图象分析追及相遇问题
例7 假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶．甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30 m/s.甲、乙相距x0＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化分别如图甲、乙所示．取运动方向为正方向．下列说法正确的是( )
A．t＝3 s时两车相距最近
B．t＝6 s时两车速度不相等
C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m
D．两车在0～9 s内会相撞
答案 C
解析 由题给图象画出两车的v－t图象如图所示，由图象可知，t＝6 s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积为0～6 s内两车位移之差，即Δx＝x乙－x甲＝[×30×3＋×30×
(6－3)] m＝90 m课时精练
1．甲、乙两车在一条平直的公路上同向行驶，t＝0时刻甲车开始刹车，甲车的速度随时间变化的图象如图(a)所示，以t＝0时刻甲车所在位置为坐标原点，以甲车速度方向为正方向建立x轴，乙车的位置坐标随时间变化的图象如图(b)所示．下列说法正确的是(图中数据为已知)( )
A．甲车做匀变速直线运动的加速度大小为2 m/s2
B．乙车做匀速直线运动，速度大小为5 m/s
C．t＝4 s时甲车追上乙车
D．甲、乙两车相距最近为2 m
答案 D
解析 由v－t图象知，图象的斜率表示加速度，可得甲车加速度大小a＝1 m/s2，A错误；由x－t图象知，图象的斜率表示速度，可得乙车速度大小v2＝4 m/s，B错误；由图象知：甲车的初速度v1＝10 m/s，设甲车追上乙车的时间为t，可得v1t－at2＝x0＋v2t，整理得t2－12t＋40＝0，由于Δ＜0，所以t无解，说明两车不相遇，C错误；当速度相等时两车相距最近，即v1－at′＝v2，可得t′＝6 s，甲车的位移x1＝v1t′－at′2＝42 m，乙车的位移x2＝v2t′＝24 m，最近距离为Δx＝x2＋x0－x1＝2 m，D正确．
2.(多选)(2018·全国卷Ⅱ·19)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t2时刻并排行驶．下列说法正确的是( )
A．两车在t1时刻也并排行驶
B．在t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
答案 BD
解析 t1～t2时间内，甲车位移大于乙车位移，且t2时刻两车并排行驶，则t1时刻甲在乙的后面，A项错误，B项正确；由题图图象的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，C项错误，D项正确．
3．一辆轿车在平直公路的一条车道上以72 km/h的速度匀速行驶，突然发现其正前方120 m处有一辆货车同向匀速前进，于是轿车紧急刹车做匀减速运动，若轿车刹车过程的加速度大小为a＝1 m/s2，两车相距最近时，距离为22 m，忽略司机的反应时间，则货车的速度大小为( )
A．21.6 km/h B．18 km/h
C．16 km/h D．12 km/h
答案 A
解析 轿车速度为v轿＝72 km/h＝20 m/s，设货车速度为v货，当二者速度相等时，距离最近，有t＝；t＋22 m＝v货t＋120 m，解得：v货＝6 m/s＝21.6 km/h，故A正确，B、C、D错误．
4．(多选)两辆汽车在同一直道上以相等的速度v0做同向直线运动，某时刻前车突然熄火做加速度大小为a1的匀减速运动，后车司机经Δt时间后刹车，以大小为a2的加速度做匀减速运动，结果两车同时停下且没有发生碰撞，则在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是( )
A. B．v0Δt
C.(＋) D.(－)
答案 AD
解析 前车减速到零所需时间为：t1＝，减速通过的位移为：x1＝，后车在Δt时间内通过的位移为x′＝v0Δt，后车减速到零经历的时间为：t2＝，减速通过的位移为：x2＝，由于两车同时停下且没有发生碰撞，故t1－Δt＝t2，x′＋x2＝x1＋s0，联立解得，在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是：s0＝或(－)，故A、D正确，B、C错误．
5．雾霾给人们出行带来很大的影响．一雾霾天，某人驾驶小汽车在高速公路上以30 m/s的速度行驶，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，但刹车过程中刹车失灵．图中a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图象，以下说法正确的是( )
A．在t＝3 s时追尾
B．因刹车失灵前小汽车已减速，不会追尾
C．由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾
D．如果刹车不失灵，两车最近距离为20 m
答案 A
解析 根据速度－时间图象与时间轴所围的“面积”大小等于位移，由题图知，t＝3 s时，大卡车的位移为xb＝vbt＝10×3 m＝30 m，小汽车的位移为xa＝×(30＋20)×1 m＋×(20＋15)×2 m＝60 m，则xa－xb＝30 m，所以在t＝3 s时追尾，故B错误，A正确；若刹车不失灵，可知t＝2 s时两车速度相同，在0～2 s内，小汽车和大卡车的位移之差Δx＝ m＝20 m<30 m，所以不会追尾，故C错误；如果刹车不失灵，两车最近距离为s＝30 m－Δx＝30 m－20 m＝10 m，故D错误．
6．在恶劣天气中，能见度很低，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，甲在前、乙在后同向行驶．某时刻两车司机听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车，两车刹车后的v－t图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．甲车的加速度大于乙车的加速度
B．若t＝24 s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最远
C．为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48 m
D．若两车发生碰撞，则可能是在开始刹车24 s以后的某时刻发生的
答案 C
解析 甲车的加速度大小
a1＝＝ m/s2＝ m/s2
乙车的加速度大小a2＝＝ m/s2＝ m/s2
所以甲车的加速度小于乙车的加速度，故A错误；
t＝24 s时，两车速度相等，开始时，甲在前、乙在后同向行驶，所以若t＝24 s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最近，故B错误；
0～24 s内，甲车的位移x1＝×24 m＝288 m
乙车的位移x2＝×24 m＝336 m
两者位移之差Δx＝x2－x1＝48 m
所以为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48 m，故C正确；
t＝24 s时，两车速度相等，若两车速度相等时没有相撞，则速度相等后，甲车的速度比乙车的大，两车不可能相撞，故D错误．
7．台风“烟花”的出现引起多地暴雨，致使高速公路上的司机难以看清前方道路，严重影响道路交通安全．某高速公路同一直线车道上同向匀速行驶的轿车和货车，其速度大小分别为v1＝40 m/s、v2＝25 m/s，轿车在与货车距离x0＝22 m时才发现前方有货车，此时轿车立即刹车，若无其他影响，轿车要经过x＝160 m才能停下来．两车均可视为质点．若轿车刹车时货车仍以速度v2匀速行驶，忽略反应时间，通过计算分析两车是否会相撞．
答案 见解析
解析 法1：临界法 对轿车刹车过程有v12＝2a1x
解得轿车刹车过程的加速度大小a1＝5 m/s2
设从轿车开始刹车经过时间t0两车速度相等，
有v1－a1t0＝v2，
解得t0＝3 s
此段时间内轿车行驶的距离为x1＝v1t0－a1t02
解得x1＝97.5 m
货车行驶的距离为x2＝v2t0，
解得x2＝75 m
因为x1－x2＝22.5 m>x0＝22 m，
故两车会相撞．
法2：函数法 假设两车在t时刻相撞，由解法1知，两车相撞时，x1′＝x2′＋x0
即v1t－a1t2＝v2t＋x0
整理得t2－15t＋22＝0
这是一个关于时间t的一元二次方程，
Δ＝(－15)2－4××22＝5>0，
说明该方程有实数解，即两车会相撞．
法3：图象法 作出两车运动的v－t图象，图中阴影面积Δx表示两车速度相等时的位移差，由图可知Δx＝×3×15 m＝22.5 m>22 m，说明两车会相撞．
8．一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内．求：
(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离；
(2)警车发动后要多长时间才能追上货车．
答案 (1)75 m (2)12 s
解析 (1)当两车速度相等时，它们的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等．
则：t1＝＝ s＝4 s
x货＝v1＝10×(5.5＋4) m＝95 m
x警＝at12＝×2.5×42 m＝20 m
所以两车间的最大距离
Δx＝x货－x警＝75 m
(2)警车达到最大速度v＝90 km/h＝25 m/s所用的时间：
t2＝＝10 s
此时两车的位移分别为
x警′＝＝ m＝125 m
x货′＝v1＝10×(5.5＋10) m＝155 m
两车距离
Δx′＝x货′－x警′＝30 m
警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间追上货车，
则：Δt＝＝2 s
所以警车发动后要经过t＝t2＋Δt＝12 s，才能追上货车．
9．(2022·四川成都市新都一中高三月考)一辆大客车正在以30 m/s的速度匀速行驶．突然，司机看见车的正前方x0 ＝ 95 m处有一只小狗，如图所示．司机立即采取制动措施，司机从看见小狗到开始制动客车的反应时间为Δt＝0.5 s，设客车制动后做匀减速直线运动．试求：
(1)为了保证小狗的安全，客车制动的加速度大小至少为多大？(假设这个过程中小狗一直未动)
(2)若客车制动时的加速度大小为5 m/s2，在离小狗30 m时，小狗发现危险并立即朝前跑去．假设小狗起跑阶段做匀加速直线运动，加速度大小a＝3 m/s2.已知小狗的最大速度为8 m/s且能保持较长一段时间．试判断小狗有没有危险，并说明理由．
答案 (1)5.625 m/s2 (2)见解析
解析 (1)客车运动的速度v＝30 m/s，在反应时间内做匀速运动，运动的位移为：
x1＝vΔt＝30×0.5 m＝15 m
所以汽车减速位移为：x2＝x0－x1＝80 m
根据速度位移关系知客车加速度大小至少为：a0＝＝ m/s2＝5.625 m/s2.
(2)若客车制动时的加速度为a1＝－5 m/s2，在离小狗x＝30 m时，客车速度为v1，则v12－v2＝2a1(x2－x)，代入数据解得v1＝20 m/s
设小狗从起跑到与客车速度相等所经历的时间为t，即v1＋a1t＝at
解得：t＝2.5 s
此时客车的位移x3＝v1t＋a1t2
代入数据解得x3＝34.375 m
小狗的位移：x4＝at2＝9.375 m
即x4＋x＞x3，所以小狗是安全的．(共68张PPT)
第一章 运动的描述 匀变速直线运动
专题强化二 追及相遇问题
目标
要求
1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧.2.会在图象中分析追及相遇问题.3.熟练运用运动学公式结合运动图象解决追及相遇的综合问题.
1.追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置.
2.追及相遇问题的基本物理模型：以甲车追乙车为例.
(1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲(2)若v甲＝v乙，甲、乙的距离保持不变.
(3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲、乙的距离不断减小.
3.分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”.
(1)一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系.通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口.
4.常用分析方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图.
能否追上的判断方法(临界条件法)
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB(2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx＝0时，表示两者相遇.
①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇.
(3)图象法：在同一坐标系中画出两物体的运动图象.位移－时间图象的交点表示相遇，分析速度－时间图象时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系.
情景 图象 说明
匀加速追匀速 ①t＝t0以前，后面物体与前面物体间距离增大
②t＝t0时，两物体相距最远，为x0＋Δx(x0为两物体初始距离)
③t＝t0以后，后面物体与前面物体间距离减小
④能追上且只能相遇一次
匀速追匀减速 匀加速追匀减速 5.常见追及情景
(1)速度小者追速度大者
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动.
情景 图象 说明
匀减速追匀速 开始追赶时，两物体间距离为x0，之后两物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：
①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件
②若Δx③若Δx>x0，则相遇两次，设t1时刻Δx＝x0，两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇(t2－t0＝t0－t1)
匀速追匀加速 匀减速追匀加速 (2)速度大者追速度小者
内容
索引
题型一 追及相遇问题
题型二 图象法在追及相遇问题中的应用
课时精练
题型一
追及相遇问题
例1 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车.则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
考向1 速度小者追速度大者
答案 2 s 6 m
解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v＝at
由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δx有最大值6 m
所以t＝2 s时两车相距最远，为Δx＝6 m.
解法三(图象法)：自行车和汽车的v－t图象如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，
v1＝6 m/s
例2 汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝
7 m处、以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2.从刚刹车开始计时.求：
(1)A追上B前，A、B间的最远距离；
答案 16 m
汽车A和B的运动过程如图所示.
当A、B两汽车速度相等时，两
车间的距离最远，
即v＝vB－at＝vA，
触得t＝3 s
此时汽车A的位移xA＝vAt＝12 m
故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m.
(2)经过多长时间A恰好追上B.
答案 8 s
汽车B从开始减速直到静止经历的时间
汽车A在t1时间内运动的位移
xA′＝vAt1＝20 m
此时相距Δx＝xB′＋x0－xA′＝12 m
故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s.
[拓展延伸] (1)若某同学应用关系式vBt－ at2＋x0＝vAt，解得经过t＝7 s
(另解舍去)时A恰好追上B.这个结果合理吗？为什么？
答案 见解析
这个结果不合理，因为汽车B运动的时间最长为t＝ ＝5 s<7 s，说明汽车A追上B时汽车B已停止运动.
(2)若汽车A以vA＝4 m/s的速度向左匀速运动，其后方相距x0＝7 m处，以vB＝10 m/s的速度同方向运动的汽车B开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为a＝2 m/s2，则经过多长时间两车恰好相遇？
答案 见解析
例3 (2022·陕西西北大学附中高三开学考试)在一条平直的公路上，一货车以30 m/s的速率超速行驶时，司机突然发现前方40 m处有一自行车以5 m/s的速率同道、同方向匀速行驶.司机开始制动. (这段公路很窄，无法靠边让道)
(1)若货车刹车后以大小为5 m/s2的加速度做匀减速运动.通过计算分析骑自行车的人是否有危险？ 若无危险，求两车相距最近时的距离；若有危险，求出从货车发现自行车开始到撞上自行车的时间(不计反应时间).
考向2 速度大者追速度小者
答案 2 s
当货车和自行车共速时，两者距离最短，则
v0－at＝v
解得t＝5 s
此时货车的位移
自行车的位移x2＝vt＝25 m
因x1>x2＋Δx
可知货车已经和自行车相撞；由位移关系，设经过时间t′两车相撞，则
解得t′＝2 s
(2)若货车司机发现自行车时，自行车也恰好发现货车，自行车立即做匀加速直线运动(不计反应时间)，加速度大小为2 m/s2(两车均视为质点).货车也立即刹车做匀减速直线运动(不计反应时间)，为避免碰撞，问：货车加速度至少多大才能避免相撞.
答案 5.8 m/s2
两车恰不相撞时，这两者共速，则
v0－a′t″＝v＋a1t″
解得a′≈5.8 m/s2
例4 如图所示，在一次接力训练中，已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持10 m/s的速度跑完全程.设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速运动，加速度大小为3 m/s2.乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒.在这次练习中，甲以v＝10 m/s的速度跑到接力区前端s0＝14.0 m处向乙发出起跑
口令.已知接力区的长度为L＝20 m.
(1)求此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离；
考向3 体育赛事中的追及问题
答案 6 m
设乙加速到交接棒处时运动时间为t，
(2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令？
答案 16.7 m
设甲在距离接力区前端为s时对乙发出起跑口令
代入数据得：s≈16.7 m
(3)在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？
答案 2 s
棒在(2)情形下以v＝10 m/s的速度运动，
题型二
图象法在追及相遇问题中的应用
1.x－t图象、v－t图象中的追及相遇问题：
(1)利用图象中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算.
(2)有时将运动图象还原成物体的实际运动情况更便于理解.
2.利用v－t图象分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图象，再通过图象分析计算得出结果，这样更直观、简捷.
3.若为x－t图象，注意交点的意义，图象相交即代表两物体相遇；若为
a－t图象，可转化为v－t图象进行分析.
例5 甲、乙两辆玩具车在同一平直路面上行驶，二者运动的位移－时间图象如图所示，其中乙车的位移－时间图线是关于x轴对称的抛物线的一部分，则下列说法正确的是
A.甲车先做匀减速直线运动后做匀速直线运动
B.乙车一定做初速度为零的匀加速直线运动
C.甲车在0～10 s内的平均速度为－1.5 m/s
D.在0～10 s内甲、乙两车相遇两次，且相遇时速度可能相等
考向1 x－t图象、v－t图象中的追及相遇问题
√
甲车先做匀速运动后静止不动，选项A错误；
从图象中可知图线相交两次，则两车相遇两次，图
线的斜率表示速度，可知两次相遇时甲、乙速度都
不同，选项D错误.
例6 (多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图象如图所示.已知两车在t＝3 s时并排行驶，则
A.在t＝1 s时，甲车在乙车后
B.在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
C.两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
√
√
根据v－t图象知，甲、乙两车都沿正方向运动.t＝3 s时，甲、乙两车并排行驶，此时v甲＝30 m/s，v乙＝25 m/s，由v－t
图线与时间轴所围“面积”对应位移知，0～3 s内
甲车位移x甲＝ ×3×30 m＝45 m，乙车位移x乙＝
×3×(10＋25) m＝52.5 m.故t＝0时，甲、乙两
车相距Δx1＝x乙－x甲＝7.5 m，即甲车在乙车前方7.5 m，选项B正确；
0～1 s内，x甲′＝ ×1×10 m＝5 m，x乙′＝ ×1×(10＋15) m＝
12.5 m，Δx2＝x乙′－x甲′＝7.5 m＝Δx1，说明在t＝1 s时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A、C错误；
甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为x＝x甲－x甲′＝45 m－
5 m＝40 m，选项D正确.
例7 假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶.甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30 m/s.甲、乙相距x0＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化分别如图甲、乙所示.取运动方向为正方向.下列说法正确的是
A.t＝3 s时两车相距最近
B.t＝6 s时两车速度不相等
C.t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m
D.两车在0～9 s内会相撞
考向2 利用v－t图象分析追及相遇问题
√
由题给图象画出两车的v－t图象如图所示，由图象可知，t＝6 s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积为0～6 s内两车位移之差，即Δx＝x乙－x甲＝[ ×30×3＋ ×30×(6－3)] m＝90 m＝10 m，故A、B错误，C正确；
t＝6 s时，两车相距10 m，且甲车在前、乙车
在后，在6～9 s内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大，故在0～9 s内，甲车一直在前，两车不会相撞，故D错误.
课时精练
1.甲、乙两车在一条平直的公路上同向行驶，t＝0时刻甲车开始刹车，甲车的速度随时间变化的图象如图(a)所示，以t＝0时刻甲车所在位置为坐标原点，以甲车速度方向为正方向建立x轴，乙车的位置坐标随时间变化的图象如图(b)所示.下列说法正确的是(图中数据为已知)
A.甲车做匀变速直线运动的加速度大小为2 m/s2
B.乙车做匀速直线运动，速度大小为5 m/s
C.t＝4 s时甲车追上乙车
D.甲、乙两车相距最近为2 m
√
必备基础练
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
由v－t图象知，图象的斜率表示加速度，可得甲车加速度大小a＝1 m/s2，A错误；
由x－t图象知，图象的斜率表示速度，可得乙车速度大小v2＝4 m/s，B错误；
由图象知：甲车的初速度v1＝10 m/s，设甲车追上乙车的时间为t，可得v1t－ at2＝x0＋v2t，整理得t2－12t＋40＝0，由于Δ＜0，所以t无解，
说明两车不相遇，C错误；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
当速度相等时两车相距最近，即v1－at′＝v2，可得t′＝6 s，甲车的位移x1＝v1t′－ at′2＝42 m，乙车的位移x2＝v2t′＝24 m，最近距离为Δx＝x2＋x0－x1＝2 m，D正确.
2.(多选)(2018·全国卷Ⅱ·19)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示.已知两车在t2时刻并排行驶.下列说法正确的是
A.两车在t1时刻也并排行驶
B.在t1时刻甲车在后，乙车在前
C.甲车的加速度大小先增大后减小
D.乙车的加速度大小先减小后增大
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
√
t1～t2时间内，甲车位移大于乙车位移，且t2时刻两车并排行驶，则t1时刻甲在乙的后面，A项错误，B项正确；
由题图图象的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，C项错误，D项正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
轿车速度为v轿＝72 km/h＝20 m/s，设货车速度为v货，当二者速度相等时，距离最近，有t＝ ＋22 m＝v货t＋120 m，解得：v货＝6 m/s＝21.6 km/h，故A正确，B、C、D错误.
3.一辆轿车在平直公路的一条车道上以72 km/h的速度匀速行驶，突然发现其正前方120 m处有一辆货车同向匀速前进，于是轿车紧急刹车做匀减速运动，若轿车刹车过程的加速度大小为a＝1 m/s2，两车相距最近时，距离为22 m，忽略司机的反应时间，则货车的速度大小为
A.21.6 km/h B.18 km/h C.16 km/h D.12 km/h
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4.(多选)两辆汽车在同一直道上以相等的速度v0做同向直线运动，某时刻前车突然熄火做加速度大小为a1的匀减速运动，后车司机经Δt时间后刹车，以大小为a2的加速度做匀减速运动，结果两车同时停下且没有发生碰撞，则在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5.雾霾给人们出行带来很大的影响.一雾霾天，某人驾驶小汽车在高速公路上以30 m/s的速度行驶，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，但刹车过程中刹车失灵.图中a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图象，以下说法正确的是
A.在t＝3 s时追尾
B.因刹车失灵前小汽车已减速，不会追尾
C.由于初始距离太近，即使刹车不失灵也
会追尾
D.如果刹车不失灵，两车最近距离为20 m
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
根据速度－时间图象与时间轴所围的“面积”大小等于位移，由题图知，t＝3 s时，大卡车的位移为xb＝vbt＝10×3 m＝30 m，小汽车的位移为xa＝ ×(30＋20)×1 m＋ ×(20＋15)×2 m＝60 m，则
xa－xb＝30 m，所以在t＝3 s时追尾，故B错误，A正确；
若刹车不失灵，可知t＝2 s时两车速度相同，在0～2 s内，小汽车和大卡车的位移之差Δx＝ m＝20 m<30 m，所以不会追尾，故C错误；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
如果刹车不失灵，两车最近距离为s＝30 m－Δx＝30 m－20 m＝10 m，故D错误.
6.在恶劣天气中，能见度很低，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，甲在前、乙在后同向行驶.某时刻两车司机听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车，两车刹车后的v－t图象如图所示，下列说法正确的是
A.甲车的加速度大于乙车的加速度
B.若t＝24 s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最远
C.为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少
为48 m
D.若两车发生碰撞，则可能是在开始刹车24 s以后的某时刻发生的
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
能力综合练
所以甲车的加速度小于乙车的加速度，故A错误；
t＝24 s时，两车速度相等，开始时，甲在前、乙在后同向行驶，所以若t＝24 s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最近，故B错误；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
两者位移之差Δx＝x2－x1＝48 m
所以为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的
间距至少为48 m，故C正确；
t＝24 s时，两车速度相等，若两车速度相等时没有相撞，则速度相等后，甲车的速度比乙车的大，两车不可能相撞，故D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
7.台风“烟花”的出现引起多地暴雨，致使高速公路上的司机难以看清前方道路，严重影响道路交通安全.某高速公路同一直线车道上同向匀速行驶的轿车和货车，其速度大小分别为v1＝40 m/s、v2＝25 m/s，轿车在与货车距离x0＝22 m时才发现前方有货车，此时轿车立即刹车，若无其他影响，轿车要经过x＝160 m才能停下来.两车均可视为质点.若轿车刹车时货车仍以速度v2匀速行驶，忽略反应时间，通过计算分析两车是否会相撞.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案 见解析
法1：临界法 对轿车刹车过程有v12＝2a1x
解得轿车刹车过程的加速度大小a1＝5 m/s2
设从轿车开始刹车经过时间t0两车速度相等，
有v1－a1t0＝v2，
解得t0＝3 s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
解得x1＝97.5 m
货车行驶的距离为x2＝v2t0，
解得x2＝75 m
因为x1－x2＝22.5 m>x0＝22 m，
故两车会相撞.
法2：函数法 假设两车在t时刻相撞，由解法1知，两车相撞时，x1′＝x2′＋x0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
这是一个关于时间t的一元二次方程，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
说明该方程有实数解，即两车会相撞.
8.一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内.求：
(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案 75 m
当两车速度相等时，它们的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
所以两车间的最大距离
Δx＝x货－x警＝75 m
(2)警车发动后要多长时间才能追上货车.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案 12 s
警车达到最大速度v＝90 km/h＝25 m/s所用的时间：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
此时两车的位移分别为
两车距离
Δx′＝x货′－x警′＝30 m
警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间追上货车，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
所以警车发动后要经过t＝t2＋Δt＝12 s，才能追上货车.
9.(2022·四川成都市新都一中高三月考)一辆大客车正在以30 m/s的速度匀速行驶.突然，司机看见车的正前方x0＝95 m处有一只小狗，如图所示.司机立即采取制动措施，司机从看见小狗到开始制动客车的反应时间为Δt＝0.5 s，设客车制动后做匀减速直线运动.试求：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
素养提升练
(1)为了保证小狗的安全，客车制动的加速度大小至少为多大？(假设这个过程中小狗一直未动)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案 5.625 m/s2
客车运动的速度v＝30 m/s，在反应时间内做匀速运动，运动的位移为：
x1＝vΔt＝30×0.5 m＝15 m
所以汽车减速位移为：x2＝x0－x1＝80 m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(2)若客车制动时的加速度大小为5 m/s2，在离小狗30 m时，小狗发现危险并立即朝前跑去.假设小狗起跑阶段做匀加速直线运动，加速度大小
a＝3 m/s2.已知小狗的最大速度为8 m/s且能保持较长一段时间.试判断小狗有没有危险，并说明理由.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案 见解析
若客车制动时的加速度为a1＝－5 m/s2，在离小狗x＝30 m时，客车速度为v1，则v12－v2＝2a1(x2－x)，代入数据解得v1＝20 m/s
设小狗从起跑到与客车速度相等所经历的时间为t，即v1＋a1t＝at
解得：t＝2.5 s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
代入数据解得x3＝34.375 m
即x4＋x＞x3，所以小狗是安全的.
