2.2基本不等式 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 2.2 基本不等式 同步练习
一、单选题
1．若x＞2，则函数的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知，且，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
3．若，则（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
4．已知两个正实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．3
5．已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
6．下列不等式的证明过程正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若则
D．若，且，则
7．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．﹣8≤m≤1 B．m≤﹣8或m≥1 C．﹣1≤m≤8 D．m≤﹣1或m≥8
8．已知当x=a时，代数式取得最小值b，则a+b= （ ）
A．-3 B．2 C．3 D．8
9．若正实数满足，则（ ）
A．有最大值 B．有最大值4
C．有最大值2 D．有最小值
10．已知正数a，b满足，则的最小值等于（ ）
A．4 B． C．8 D．9
11．已知集合，则
A． B．
C． D．
12．在边长为1的正三角形ABC中，且则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
13．已知，那么函数有（ ）
A．最大值2 B．最小值2 C．最小值4 D．最大值4
14．“”是“函数的最小值大于4”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．已知正数x，y满足x+y＝1，且≥m，则m的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
二、填空题
16．已知正实数，满足，则的最小值是______．
17．已知，且，则的最小值为________．
18．已知△ABC三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，D是线段BC上任意一点，ADBC，且AD＝BC，则的取值范围是_________.
三、解答题
19．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1．
（1）求的最小值；
（2）证明：＜．
20．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则被调整出从事第三产业的员工的人数应控制在什么范围？
（2）在（1）的条件下，若被调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求 的取值范围．
21．已知，.
（1）求证：；
（2）若，求ab的最小值.
22．已知.
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求实数m的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
直接由利用基本不等式求最值即可.
【详解】
∵x＞2，∴x﹣2＞0，
∴，当且仅当，即x＝4时取等号，
∴函数的最小值为6.
故选：D.
2．A
将变形为，再将变形为，整理后利用基本不等式可求最小值.
【详解】
因为，故，
故，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为3.
故选：A.
方法点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
3．A
直接根据基本不等式求解即可．
【详解】
解：∵，
又，，当且仅当即时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
故选：A．
4．A
根据题中条件，得到，展开后根据基本不等式，即可得出结果.
【详解】
因为正实数满足，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：．
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
5．D
由，知，，，由，得，结合基本不等式求出的最小值，得到m的最大值．
【详解】
由，知，，，
由，得，
又，
，当且仅当，
即时，取得最小值9，
，的最大值为9．
故选：．
6．D
利用基本不等式成立的条件判断出证明过程正确的选项.
【详解】
对于A选项，当时，，所以A选项错误.
对于B选项，如时，，所以B选项错误.
对于C选项，由于，则，，所以C选项错误.
对于D选项，根据基本不等式成立的条件可知D选项正确.
故选：D
本小题主要考查基本不等式成立的条件，属于基础题.
7．A
由题意可得（x+2y）（）4≥4+28，不等式m2+7m成立 m2+7m＜（）min，即可求得实数m的取值范围．
【详解】
解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，
∴（x+2y）（）4≥4+28．（当，即x＝2y时取等号），
∵不等式m2+7m成立，
∴m2+7m≤8，
求得﹣8≤m≤1．
故选：A．
8．C
由基本不等式求得最小值得及取最小值成立的条件得即可得结果．
【详解】
令，由，得x+1>0，>0，
所以由基本不等式得，
当且仅当x+1=，即(x+1)2=9，即x+1=3，即x=2时取等号，所以a=2，b=1，a+b=3.．
故选：C
9．A
A.根据正实数满足，由判断.B..由判断.C.由，判断.D.由判断.
【详解】
因为正实数满足
所以，当且仅当，，即取等号，故A正确.
，当且仅当，，即取等号，故B错误.
，当且仅当，，即取等号，故C错误.
，当且仅当，，即取等号，故D错误.
故选:A
本题主要考查基本不等式的变形以及应用，变形灵活，特别注意使用条件，属于中档题.
10．D
整理得出，进而得，结合基本不等式即可.
【详解】
因为，
所以，
所以，
所以，
当且仅当，即时等式成立，
故选：D．
11．B
【详解】
分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.
详解：解不等式得，
所以，
所以可以求得，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
12．B
根据，可将表示为，利用数量积运算及基本不等式，可求的最大值．
【详解】
由题意，
∵
∴1
∵x＞0，y＞0，且x+y＝1
∴xy
∴﹣11
当且仅当x＝y时，取等号
∴当x＝y时，的最大值为
故选：B．
本题考查向量知识的运用，考查向量的加法，考查向量的数量积，考查基本不等式的运用，综合性强．
13．B
利用基本不等式，即可得到答案；
【详解】
，等号成立当且仅当，
函数的最小值2，
故选：B.
14．C
根据充分条件和必要条件的定义判断即可．
【详解】
解：若，则的最小值为；
若的最小值大于4，则，且，则，
故选：C．
15．B
根据题意＝=()﹣5，由基本不等式的性质求出＝(）[(x+1)+(y+1)]的最小值，即可得的最小值，据此分析可得答案.
【详解】
根据题意，正数x，y满足x+y＝1，
则＝
＝(y+1)+﹣4+(x+1)+﹣4＝()﹣5，
又由＝() [(x+1)+(y+1)],
＝ [8+]≥，
当且仅当x＝y＝时等号成立，
所以＝()﹣5﹣5＝，
即的最小值为，
所以，则m的最大值为；
故选：B．
本题主要考查基本不等式的性质以及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题．
16．
利用“1”的代换，转化为，利用基本不等式求解.
【详解】
，
，当且仅当，时取等号．
所以则的最小值是，
故答案为：
17．10
根据，先利用基本不等式“”的代换求的最小值，再求结果.
【详解】
且，
（当且仅当，即时取等号），
，
故答案为：10
关键点点睛：本题考查利用基本不等式求最值的问题，解题关键是能够灵活利用已知条件中“”的等式，将所求项配凑成符合基本不等式的形式.
18．
确定的取值范围，结合对勾函数的性质，可求得结果
【详解】
因为ADBC，且，D是线段BC上任意一点，
所以当点D与B重合时，c最小，b最大，取最大值，
当点D与C重合时，c最大，b最小，取最小值，
所以，
由对勾函数的性质可得.
故答案为：.
19．（1）；（2）证明见解析.
（1）利用基本不等式即可求得最小值；
（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．
【详解】
（1），
当且仅当“”时取等号，
故的最小值为；
（2）证明：
，
当且仅当时取等号，此时a+b≠1．
故＜．
本题主要考查利用基本不等式求和的最小值，以及利用基本不等式证明不等式，属基础题.
20．（1）；（2）．
（1）由题意得剩余员工创造的年总利润为，结合题意，列出不等式，即可求得结果；
（2）被调整出的员工创造的年总利润为万元，结合（1），列出不等式，根据基本不等式，即可求得 的取值范围．
【详解】
（1）由题意得：，
即，又，所以．
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元，
则
所以，
所以，因为
则恒成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立．
所以，又，所以，
即的取值范围为．
本题考查利用基本不等式解决实际问题，学生需认真审题，列出函数关系，结合基本不等式求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
21．（1）证明见解析；（2）1.
（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.
（2）根据，可得，从而得到，进而求得，注意等号成立的条件，得到结果.
【详解】
证明：（1）∵，
∴.
（2）∵，，
∴，即，
∴，∴.
当且仅当时取等号，此时ab取最小值1.
该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.
22．（1）16；（2）.
（1）利用基本不等式即求；
（2）由题知只需求的最值即可.
【详解】
（1）∵，
∴，
当且仅当时，即时，有最小值16.
（2）∵，
∴，，
∴，
当时，有最大值，
∵恒成立，
∴.
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