2.3二次函数与一元二次方程、不等式 （Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
一、单选题
1．若0A． B．或
C．或 D．
2．已知集合，则集合A的子集个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
3．不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
4．不等式4-x2≤0的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
5．已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．
6．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C． D．或
7．不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
9．关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有两个正整数，则实数a的取值范国是（ ）
A．[2，4） B．[3，4] C．（3，4] D．（3，4）
10．设，则“”是“”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．如果二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为，3，且a<0，那么不等式ax2＋bx＋c>0的解集为（ ）
A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－212．已知函数的图象与x轴交于、两点，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．设a＞0，b＞0，给出下列不等式：
①a2＋1＞a； ②； ③(a＋b)； ④a2＋9＞6a.
其中恒成立的是________(填序号).
14．若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是________.
15．若关于x的不等式在内有解，则实数a的取值范围是___________.
16．已知关于的不等式的解集为，则的最小值是______．
17．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是______________.
三、解答题
18．解下列不等式
（1）；
（2）.
19．已知关于的不等式，．
（1）若，则求上述不等式的解集；
（2）若上述不等式对一切恒成立，则求的取值范围．
20．设f(x)=ax2+(1-a)x+a-2.
(1)若命题“对任意实数x，f(x)≥-2”为真命题，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式f(x)21．设函数.
（1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；
（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；
（3）解关于的不等式：.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
利用一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】
∵01>m，
故原不等式的解集为，
故选：D．
2．A
通过解一元二次不等式以及，可得集合A，根据集合A中元素的个数可得子集个数.
【详解】
由，得，
得，
所以，
因为，所以或，
所以，所以集合A的子集个数为.
故选：A
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了根据集合中元素个数计算子集个数，属于基础题.
3．C
根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果.
【详解】
由可得，
解得或
即原不等式的解集为.
故选：C.
4．B
根据一元二次不等式的求解方法直接求解即可.
【详解】
不等式即，解得或，
故不等式的解集为或.
故选：B.
5．C
由一元二次方程存在两个实根，有判别式即可求的取值范围.
【详解】
由题意知：，解之得或，
故选：C
6．A
根据一元一次不等式解集的性质，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.
【详解】
因为不等式的解集是，所以，，
所以关于的不等式，即，即，解得或，
故不等式的解集是或.
故选：A.
7．D
由一元二次不等式的解法求得选项.
【详解】
由不等式得或，
所以不等式的解集为或
故选：D.
8．C
分两种情况讨论即可，当时为二次函数，若小于0恒成立，可用开口和控制
【详解】
当，即时，不等式为，对一切恒成立．
当时，则
即，解得．
所以实数的取值范围是．
故选：C
9．C
结合因式分解法先求得两根，再结合解集中恰有两正根，可进一步判断的取值范围
【详解】
，因解集中恰好有两个正整数，可判断解集为，两正整数为2,3，故
故选C
本题考查由解集分布情况来求解参数范围，一元二次不等式的解法，易错点为在端点处等号取不取，能不能精确判断的问题，要避免此类错误可采取试值法，把端点值代入检验即可，属于中档题
10．A
首先分别解不等式和，根据即可得到答案.
【详解】
由题知：，解得.
，解得.
因为，
所以“”是“” 必要不充分条件.
故选：A
本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查了二次不等式，属于简单题.
11．C
本题先根据一元二次方程的两根因式分解，再根据a<0求一元二次不等式的解集即可.
【详解】
解析：由二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2，3，且a<0，知不等式ax2＋bx＋c>0可化为a(x＋2)(x－3)>0，即(x＋2)(x－3)<0，方程(x＋2)(x－3)＝0的两根为x1＝－2，x2＝3，则不等式(x＋2)(x－3)<0的解集是{x|－2故选：C.
本题考查根据一元二次方程的根求对应一元二次不等式的解集，是基础题.
12．D
利用函数图象与的交点，可知的两个根分别为或，再利用根与系数的关系，转化为，，最后代入不等式，求解集.
【详解】
由条件可知的两个根分别为或，
则，，得，，
，
整理为：，
解得：或，
所以不等式的解集是.
故选：D
思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示，，再代入不等式化简后就容易求解.
13．①②③
利用做差法判断①，利用基本不等式判断②③，特殊值代入判断④即可得出结论.
【详解】
由于a2＋1－a＝，故①恒成立；
由于＝＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当即a＝b＝1时等号成立，故②恒成立；
由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，
那么a＝b＝1时等号成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.
综上，恒成立的是①②③.
故答案为：①②③.
本题主要考查了利用做差法和基本不等式以及特殊值代入的方法，判断不等式是否成立的问题.属于较易题.
14．或
分别讨论和，利用不等式的解集不是空集，解出的取值范围.
【详解】
解：若，则原不等式等价为，此时不等式的解集为空集，所以不成立，即.
若，要使不等式的解集不是空集，
则①若，有，解得.
②若，则满足条件.
综上所述，满足条件的的取值范围是或.
故答案为：或.
本题主要考查一元二次不等式的基本解法，属于基础题.
15．
应用参变分离，将不等式转化为，由二次函数的性质求函数的值域，进而确定参数a的范围即可.
【详解】
由，即，
设，
当时，最小值，而，，
∴，
∴要使不等式在内有解，则，即a的范围是.
故答案为：.
16．
由韦达定理求出与，带入计算即可．
【详解】
由一元二次不等式与一元二次等式的关系，知道的解为，
由韦达定理知，，
所以当且仅当取等号．
本题考查韦达定理与基本不等式，属于基础题．
17．
分类讨论二次项系数，当，符合题意；当，由解得结果即可得解.
【详解】
当，即时，不等式化为，其解集为，符合题意；
当，即时，由不等式的解集为得，解得，
综上所述：的取值范围是.
故答案为：
易错点点睛：本题容易漏掉的情况.
18．（1）（2）
（1）原不等式可化为，由无实数解，即可得不等式解集；
（2）原不等式可化为，求方程的实数根，即可得不等式解集.
【详解】
（1）原不等式可化为，
由于，方程无实数解，
∴不等式的解集为.
（2）原不等式可化为，
由于，方程的两根为，，
∴不等式的解集为.
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了转化能力与计算能力，属于基础题.
19．（1）；（2）．
（1）代入参数，解一元二次不等式求解集即可；
（2）由不等式在上恒成立，讨论、，结合二次函数的性质求的范围．
【详解】
（1）将代入不等式，得：，即，得，
∴不等式的解集为；
（2）恒成立，
1）当时，有，显然不恒成立，舍去；
2）当时，由二次函数的性质得：，解得；
∴综上，有.
20．(1)a≥
(2)答案见解析
（1）根据“对任意实数x，f(x)≥-2”为真命题，知ax2+(1-a)x+a-2≥-2，即ax2+(1-a)x+a≥0，此时对a进行分类讨论，再结合判别式Δ即可求出a的范围.
（2）由f(x)(1)
∵命题“对任意实数x，f(x)≥-2”为真命题，
∴ax2+(1-a)x+a-2≥-2恒成立，即ax2+(1-a)x+a≥0恒成立.
当a=0时，x≥0，不满足题意；
当a≠0时，知即解得a≥.
故实数a的取值范围为a≥.
(2)
∵f(x)当a=0时，x<1，∴不等式的解集为{x|x<1}；
当a>0时，ax2+(1-a)x-1<0 (ax+1)(x-1)<0，此时方程(ax+1)(x-1)=0的解分别为-，1，
∵-<1，∴不等式的解集为{ x当a<0时，不等式可化为(ax+1)(x-1)<0，
①当a=-1时，-=1，∴不等式的解集为{x|x≠1}；
②当-11，此时不等式的解集为{ x或x<1}；
③当a<-1时，-<1，此时不等式的解集为{ x或x<}
21．(1)；(2)；(3)分类求解，答案见解析.
(1)将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可；
(2)将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答；
(3)将不等式化为，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答.
【详解】
(1)依题意，有实数解，即不等式有实数解，
当时，有实数解，则，
当时，取，则成立，即有实数解，于是得，
当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得，
综上，，
所以实数的取值范围是；
(2)不等式对于实数时恒成立，即，
显然，函数在上递增，从而得，即，解得，
所以实数的取值范围是；
(3) 不等式，
当时，，
当时，不等式可化为，而，解得，
当时，不等式可化为，
当，即时，，
当，即时，或，
当，即时，或，
所以，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为.
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