第二章一元二次函数、方程和不等式 单元练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式
一、单选题
1．若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．已知集合，则=
A． B． C． D．
3．下列命题正确的是（ ）
A．函数的最小值是
B．若且，则
C． 的最小值是
D．函数的最小值为
4．若，则下面结论正确的有（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则有最大值
5．关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．已知满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．不等式的解集为（ ）
A．或 B． C．或 D．
9．已知不等式对任意的正整数k成立，则实数x的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
10．若相异两实数x，y满足，则之值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．在边长为1的正三角形ABC中，且则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
12．若实数，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
二、填空题
13．已知点在线段上运动，则的最大值是____________．
14．不等式的解集为______________.
15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木 ”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门步有树，出南门步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：里步）________ 里.
16．已知实数x，y满足x2+xy=1，则y2﹣2xy的最小值为___________.
三、解答题
17．（1）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集；
（2）若不等式在实数集R上恒成立，求m的范围.
18．解关于x的不等式．
19．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
20．（1）已知，则取得最大值时的值为？
（2）已知，则的最大值为？
（3）函数 的最小值为？
21．已知，且.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
由题得，再通过变形得到，再利用基本不等式求解.
【详解】
因为，所以，
则
，
当且仅当时取等号，
故选：A．
关键点睛：解答本题的关键是对式子进行合理的变形和拼凑，使之能使用基本不等式求最值.
2．C
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】
由题意得，，则
．故选C．
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
3．B
利用基本不等式和对勾函数性质依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】
对于，当时，，错误；
对于，由知：，，（当且仅当，即时取等号），正确；
对于，令，则，错误；
对于，（当且仅当，即时取等号），即函数的最大值为，错误.
故选：.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意必须满足的三个条件：“一正二定三相等”.
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
4．B
对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可.
【详解】
对于选项A：若，
由基本不等式得，即，
当且仅当时取等号；所以选项A不正确；
对于选项B：若，
，
，
当且仅当且，
即时取等号，所以选项B正确；
对于选项C：由，
，
即，
如时，，所以选项C不正确；
对于选项D：，当且仅当时取等
则有最大值，所以选项D不正确；
故选：B
5．D
由题意可知，是不等式解集的一个真子集，然后对与的大小关系进行分类讨论，求得不等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数的取值范围.
【详解】
由题可知是不等式的解集的一个真子集.
当时，不等式的解集为，此时 ；
当时，不等式的解集为，
，合乎题意；
当时，不等式的解集为，
由题意可得 ，此时.
综上所述，.
故选：D.
本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题.
6．C
根据不等式的性质，对四个选项一一验证：
对于A：利用不等式的可乘性的性质进行判断；
对于B：取进行否定；
对于C：利用不等式的可乘性的性质进行证明；
对于D：取进行否定.
【详解】
对于A：当时，若取，则有.故A不正确；
对于B：当时，取时，有.故B不正确；
对于C：当，两边同乘以，则.故C正确；
对于D：当，取时，有.故D不正确.
故选：C.
（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；
（2）判断不等式成立的解题思路：
①取特殊值进行否定；②利用不等式的性质直接判断.
7．C
由不等式的性质可判断出A,B,D是否成立，代入特殊值即可判断C选项是否正确.
【详解】
因为满足，且，则，所以一定成立；
又因为，所以，即一定不成立；
因为是否为不确定，因此也不一定成立；
因为，所以一定成立.
故选:C.
本题考查了不等式的性质，属于基础题.
8．D
不等式等价于，即，且，由此求得不等式的解集．
【详解】
不等式等价于，即，且，解得，
故不等式的解集为，
故选：D．
9．A
由题意转化条件得或对任意的正整数k成立，在同一直角坐标系内作出函数与的图象，并标出取正整数的点，数形结合即可得解.
【详解】
不等式对任意的正整数k成立，
或对任意的正整数k成立，
即或对任意的正整数k成立，
在同一直角坐标系内作出函数与的图象，并标出取正整数的点，如图：
数形结合可知，若要使或对任意的正整数k成立，
则.
故选：A.
本题考查了分式不等式的求解及二次函数图象的应用，考查了转化化归思想与数形结合思想，属于中档题.
10．D
根据已知条件求得，由此求得所求表达式的值.
【详解】
两式作差消元得：，反代回去得：
，同理可得：，由同构及韦达定理有：
继而有：
.
故选：D
11．B
根据，可将表示为，利用数量积运算及基本不等式，可求的最大值．
【详解】
由题意，
∵
∴1
∵x＞0，y＞0，且x+y＝1
∴xy
∴﹣11
当且仅当x＝y时，取等号
∴当x＝y时，的最大值为
故选：B．
本题考查向量知识的运用，考查向量的加法，考查向量的数量积，考查基本不等式的运用，综合性强．
12．D
由条件变形，再结合基本不等式求最小值.
【详解】
由条件可知，，
所以
，
当，即，结合条件 ，
可知时，等号成立，所以的最小值为.
故选：D
13．
直接利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：由题设可得：，即，
∴，即，当且仅当时取“=”，
故答案为：．
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽了某个条件，就会出现错误．
14．
将不等式移项，通分，转化为，等价于，利用一元二次不等式的求法，求解即可得到不等式的解集．
【详解】
解：不等式可以转化为，
等价于，
，
，
不等式的解集为．
故答案为：．
15．
根据题意得出，进而可得出，结合基本不等式求的最小值即可.
【详解】
因为里步，由图可知，步里，步里，
，则，且，
所以，，所以，，则，
所以，该小城的周长为（里）.
故答案为：.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
16．
由已知可得，利用两元换一元及基本不等式即得．
【详解】
由x2+xy=1，得，
所以，
当且仅当 时取等号.
故答案为：.
17．（1）；（2）.
（1）先将不等式问题转化为方程问题求出的值，然后就可以解不等式了；
（2）一元二次不等式恒成立，即考虑其判别式.
【详解】
（1）因为的解集为，
所以与是方程的两个实数根，
由根与系数的关系得解得
不等式，
即，整理得，解得.
即不等式的解集为.
（2）由题意可得，，即，整理得，
解得.
18．答案见解析.
将原不等式转化为ax2＋(a－2)x－2≥0．根据二次函数开口方向和方程根的大小，分a＝0，a＞0，a＜0，a＜－2，－2＜a＜0五种情况讨论求解.
【详解】
原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0．
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1．
②当a＞0时，原不等式化为 (x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1．
③当a＜0时，原不等式化为 (x＋1)≤0．
当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当＜－1，即－2＜a＜0，解得≤x≤－1．
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＞0时，不等式的解集为或；
当－2＜a＜0时，不等式的解集为；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a＜－2时，不等式的解集为．
本题主要考查含参一元二次不等式的解法，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
19．(1) y＝＋x，x∈[50，100] (或y＝＋x，x∈[50，100]).(2) 当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.
（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式，（2）利用基本不等式求最值即得结果.
【详解】
(1)设所用时间为t＝ (h)，
y＝×2×＋14×，x∈[50，100].
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50，100]
(或y＝＋x，x∈[50，100]).
(2)y＝＋x≥26，
当且仅当＝x，
即x＝18时等号成立.
故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.
本题考查函数解析式以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
20．（1）；（2）1；（3）
（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；
（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；
（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.
【详解】
（1），
当且仅当，即时，取等号.
故所求的值为.
（2）因为，所以，
则.
当且仅当，即时，取等号.
故的最大值为1.
（3）
.
当且仅当，即时，取等号.
故函数的最小值为.
21．（1）最大值为；（2）最小值为5.
（1）直接用基本不等式求解；
（2）依题意，，进而用基本不等式可求得结果.
【详解】
（1）因为所以，
即当且仅当取等号.
又，所以当时，的最大值为
（2）因为且.
当且仅当即取等号.又，所以当时，的最小值为5.
答案第1页，共2页
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