4.3等比数列 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 4.3等比数列 同步练习
一、单选题
1．数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知等比数列中，，，则（ ）
A． B． C．或 D．
3．设等比数列的公比，前项和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．等比数列中，若，，则（ ）
A．12 B．10 C．8 D．4
5．已知等比数列的项和，则（ ）
A． B． C． D．
6．在等比数列中，是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
8．等比数列中，，，数列，的前项和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．某人于2020年6月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2021年6月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行定期储蓄的年利率r不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
10．已知等比数列前项和是，前项和是，则前项和是（ ）
A． B． C． D．或
11．已知、、、成等差数列，、、、、成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
12．在等比数列中，已知，那么的前4项和为.
A．81 B．120 C．121 D．192
13．《算法统宗》中有一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，问第二天走了（ ）
A．192里 B．96里 C．48里 D．24里
14．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝13，S40＝（　　）
A．﹣51 B．﹣20 C．27 D．40
15．已知数列中满足，，若前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是（ ）
A．2008 B．2014 C．2021 D．2022
二、填空题
16．记为数列的前项和，若，则_____________．
17．设是数列的前n项和，且，则的通项公式为__________．
18．已知等比数列的前项和为，若，则数列的公比______.
三、解答题
19．已知等差数列的公差为正数，，其前项和为，数列为等比数列，，且，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和.
（3）设，，求数列的前项和.
20．设数列的前项和为，，________给出下列两个条件；
条件①：数列为等比数列，数列也为等比数列；
条件②：点在直线上；
试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和．
21．在①=12，②2=3，③=24这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列是各项均为正数的等比数列，且=，=，求数列的前n项和.
22．已知等差数列的前项和为，，．
（1）求及；
（2）令，求数列的前项和．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值.
【详解】
在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.
故选：C.
本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.
2．B
由等比数列性质可知，即可求解，进而求出．
【详解】
解：由等比数列性质可知，所以或，
但，可知，所以，则，
故选：B
3．D
利用等比数列的通项公式与求和公式可求得的值.
【详解】
由题意可得.
故选：D.
4．D
设等比数列的公比为，由，求得公比即可.
【详解】
设等比数列的公比为，
则，
解得，即，
所以，
故选：D.
5．D
由与的关系可求得，进而可判断出数列也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.
【详解】
已知等比数列的项和.
当时，；
当时，.
由于数列为等比数列，则满足，所以，，解得，
，则，，且，
所以，数列为等比数列，且首项为，公比为，
因此，.
故选：D.
方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：
（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式或进行求解；
（2）前项和法：根据进行求解；
（3）与的关系式法：由与的关系式，类比出与的关系式，然后两式作差，最后检验出是否满足用上面的方法求出的通项；
（4）累加法：当数列中有，即第项与第项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（5）累乘法：当数列中有，即第项与第项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（6）构造法：①一次函数法：在数列中，（、均为常数，且，）.
一般化方法：设，得到，，可得出数列是以的等比数列，可求出；
②取倒数法：这种方法适用于（、、为常数，），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于的式子；
⑦（、为常数且不为零，）型的数列求通项，方法是在等式的两边同时除以，得到一个型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.
6．B
根据是方程的根，利用韦达定理得到，再利用等比数列的性质求解.
【详解】
因为在等比数列中，是方程的根，
所以，
所以，
由等比数列的性质得，
所以，
所以，
故选：B
7．A
设数列和的前项和分别为，然后利用分求出，再利用列方程，由对应项的系数相等可求出结果
【详解】
设数列和的前项和分别为，则
（），
若，则，则，显然没有出现，所以，
所以，
由两边的对应项相等可得，
解得，
所以.
故选：A
8．B
先求出，从而可得，然后利用裂项相消求和法可求出
【详解】
由题意得，所以，
所以.
故选：B
9．D
根据从2021年6月1日起，将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，即求解.
【详解】
设此人2020年6月1日存入银行的钱为元，2021年6月1日存入银行的钱为元，以此类推，
则2025年6月1日存入银行的钱为元，那么此人2025年6月1日从银行取出的钱有元．
由题意，得，，，……，
，
所以．
故选：D．
10．A
设等比数列的公比为，前项和为，推导出、、成等比数列，列方程可求得的值.
【详解】
设等比数列的公比为，前项和为，
则，
，
所以，，，
整理可得，解得或.
当时，，则，显然不成立，故.
故选：A.
11．D
利用等差数列的性质可求得的值，利用等比中项的性质可求得的值，进而可求得结果.
【详解】
由于、、、成等差数列，可得，
设等比数列、、、、的公比为，则，
由等比中项的性质可得，，因此，.
故选：D.
12．B
根据求出公比，利用等比数列的前n项和公式即可求出.
【详解】
,
.故选B
本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，属于中档题.
13．B
由题可知每天走的里数形成公比为的等比数列，且，求出即可.
【详解】
设每天走的里数形成数列，则由题可得是公比为的等比数列，
且，即，解得，
则，即第二天走了96里.
故选：B.
14．D
由{an}是等比数列可得S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，列方程组，从而即可求出S40的值．
【详解】
由{an}是等比数列，且S10＝1＞0，S30＝13＞0，得S20＞0，S40＞0，且1＜S20＜13，S40＞13
所以S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，
即1，S20﹣1，13﹣S20，S40﹣13构成等比数列，
∴（S20﹣1）2＝1×（13﹣S20），解得S20＝4或S20＝﹣3（舍去），
∴（13﹣S20）2＝（S20﹣1）（S40﹣13），即92＝3×（S40﹣13），解得S40＝40．
故选：D．
15．B
由题设条件可得，即是以4为首项，为公比的等比数列，可求得，分析可得关于单调递增，结合选项分析可得解
【详解】
由题意，
，又
是以4为首项，为公比的等比数列
记的前n项之和为
由于单调递增，单调递减，故关于单调递增
由于
，由于
故满足不等式的最小整数n是2014
故选：B
16．
首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值.
【详解】
根据，可得，
两式相减得，即，
当时，，解得，
所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列，
所以，故答案是.
点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
17．
根据已知条件，利用一般数列的和与项的关系消去和，得到项的递推关系，进而凑项，转化为等比数列问题求解.
【详解】
当时，
当时，，
∴，∴，
∵，∴，∴．
故答案为：.
18．
时，，与矛盾；时，利用等比数列的求和公式代入可求出，再代入即可求得m的值从而求得公比q.
【详解】
当数列的公比时，，与矛盾，故不符合题意.
当时，，所以.
因为，所以，即，则.
故答案为：
19．（1）；；（2）；（3）.
（1）假设公差和公比，由等差和等比数列通项与求和公式可构造方程求得，由等差和等比通项公式可求得结果；
（2）由（1）可得，利用错位相减法可求得结果；
（3）由（1）可得，利用分组求和的方法，结合等比数列求和公式和裂项相消法可求得结果.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，等比数列公比为，
，解得：，
；；
（2）由（1）得：，
，
，
两式作差得：，
.
（3）由（1）得：，
则.
方法点睛：当数列通项公式满足等差等比的形式时，采用错位相减法求解数列的前项和，具体步骤如下：
①列出的形式；
②左右两侧同乘通项中的等比部分的公比，得到；
③上下两式作差得到，结合等比数列求和公式可整理等式右侧的部分；
④整理所得式子求得.
20．(1)
(2)
（1）选条件①，利用成等比数列求得公比，由此求得.
选条件②，利用来求得.
（2）利用裂项求和法求得.
(1)
选条件①，，设公比为，则，
由于数列也为等比数列，所以成等比数列，
即成等比数列，
也即成等比数列，
所以， 由于，故解得，
所以.
选条件②，，
当时，，
当时，，
，
由于，所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以.
(2)
，
.
21．（1）答案见解析；（2）答案见解析.
（1）设数列的公差为，由题意可得，根据所选条件求得的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）设等比数列的公比为，根据所选条件求得和的值，可求得数列的通项公式，然后利用分组求和法可求得数列的前项和.
【详解】
（1）设数列的公差为.
因为，，成等比数列，则，
故，化简得.
因为，所以，所以.
若选①，则，即，则；
若选②，则，即，则；
若选③，则，即，则；
（2）因为数列是各项均为正数的等比数列，且，，
设数列的公比为，则.
若选①，则，故，，
所以，由，得.
又，则，所以，
所以.
若选②，则，故，，
所以，由，得.
又，则，所以，
所以.
若选③，则，故，，
所以，由，得.
又，则，所以，
则.
本题考查等差数列通项公式的求解以及分组求和法的运用，着重考查学生的计算能力，难度一般.
22．（1），；（2）．
（1）由已知可得，解方程组求出，从而可求出及；
（2）由（1）可得，然后利用分组求和与裂项相消法求
【详解】
解：（1）由题意，设等差数列的公差为，
则，整理得，解得，
∴，．
（2），
∴
．
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