5.1导数的概念及其意义 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 5.1导数的概念及其意义
一、单选题
1．已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，函数的图象在点处的切线方程是则（ ）
A． B．1 C．2 D．0
3．若曲线在处的切线，也是的切线，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数在处的导数为3，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．设曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
7．函数在处的切线斜率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知物体做直线运动的方程为，则表示的意义是（ ）
A．经过4s后物体向前走了10m B．物体在前4秒内的平均速度为10m/s
C．物体在第4秒内向前走了10m D．物体在第4秒末的瞬时速度为10m/s
9．若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
10．若函数在区间上的平均变化率为3，则等于（ ）
A． B．2 C．3 D．1
11．一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．6
12．若函数的图象经过点，则曲线在点处的切线的斜率（ ）
A．e B． C． D．
二、填空题
13．抛物线在点处的切线方程为______．
14．函数在上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是______．
15．已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则______.
16．曲线在点处的切线方程是___________.
三、解答题
17．已知函数
（1）若函数的图象的一条切线为直线，求的值；
（2）是否存在实数，使得只有唯一的正整数，对于恒有？若存在，求出的取值范围及正整数的值，若不存在，请说明理由？（下表的近似值仅供参考）
2.7 0.69 1.1 1.39 1.61 1.79 1.95 2.08 2.2
18．已知函数，且曲线在点处的切线方程为l，直线m平行于直线l且过点.
(1)求出直线l与m的方程；
(2)指出曲线上哪个点到直线m的距离最短，并求出最短距离.
19．曲线在点M处的切线斜率为2，求点的坐标．
20．已知a，，函数．
(1)若函数在点处的切线与x轴平行，求a，b的值；
(2)，过点可以作曲线的三条切线，求实数a的取值范围．
21．已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
经过恒等变形，原问题变成当时，恒成立，构造函数，利用导数的性质进行求解即可.
【详解】
由，
当时，上式可变形为：，问题转化为：
当时，恒成立，
设，，
，
因为，，所以，因此，
所以当时，单调递减，
当时，单调增，故，要想
当时，恒成立，只需，
设，，
，
当时，，所以函数单调递增，而，
显然当，成立，
故选：B
关键点睛：通过数学运算把问题转化为当时，恒成立，利用构造函数法，结合导数的性质是解题的关键.
2．B
由导数的几何意义得出，再求.
【详解】
由题中图象知，
由导数的几何意义知，
．
故选：B
3．C
利用导数求得曲线在处的切线方程，并设该切线与曲线切于点，利用导数的几何意义求出切点的坐标，代入切线方程可求得实数的值.
【详解】
对于函数，，则，又，
所以，曲线在处的切线方程为，即，
设直线与曲线相切于点，
对于函数，其导数为，由导数的几何意义可得，得，
所以，切点坐标为，代入切线方程得.
故选：C.
本题考查利用两曲线的公切线求参数，解题时要注意以下两点：（1）切线的斜率等于函数在切点处的导数值；（2）切点为函数图象与切线的公共点.
4．A
由导函数的定义计算可得答案.
【详解】
解： 对于A：，故A正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：，故C不正确；
对于D：，故D不正确，
故选：A.
5．D
先根据C在点M处的切线，求出的值，再求得点，然后再求过点抛物线的切线方程.
【详解】
设 ，由题意知，，则，
C在点M处的切线，所以
所以 ，则，
将代入的方程可得，即
抛物线的准线方程为：
则.设与曲线C的切点为，
则，解得或（舍去），
则，所以的方程为.
故选：D
本题考查利用导数求曲线在某点和过某点的切线方程，属于中档题.
6．C
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，写出切线方程，分别求得切线在两坐标轴上的坐标，再由三角形面积公式求解．
【详解】
由，得，
，又切线过点，
曲线在点处的切线方程为，
取，得，取，得．
的面积等于．
故选：C．
7．C
求出在处导数值即可.
【详解】
，，，积切线斜率为0.
故选：C.
8．D
根据导函数的定义判断可得选项.
【详解】
解：由导数的意义知表示物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s．
故选：D.
9．D
因为P点在曲线上，所以需要分两种情况讨论，P点为切点和P点不为切点，分别根据导数的几何意义求解切线方程即可.
【详解】
①易知P点在曲线上，当P点为切点时，.
②当P点不是切点时，设切点为，由定义可求得切线的斜率为.
∵A在曲线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或 (舍去)，
∴，k=3，
此时切线方程为y+1=3(x+1)，
即.
故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或.
故选：D
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
10．B
根据平均变化率的定义可得关于的方程，从而可求的值.
【详解】
在区间上的平均变化率为，
故，
故选：B.
11．B
根据平均速度的定义有，结合已知函数模型求参数m即可.
【详解】
由已知，得，
∴，解得，
故选：B．
12．D
先根据条件求出的值，然后由导数的几何意义可得答案.
【详解】
函数的图象经过点,所以，解得，
即函数，又，
得曲线在点处切线的斜率.
故选：D
13．##y＝2x－2
利用导数的几何意义即可求解.
【详解】
，，
∴在（1,0）处切线为：，即.
故答案为：.
14．##
根据导数的定义分别求出从到和从到的平均变化率，利用作差法比较的大小即可.
【详解】
∵函数
从到的改变量为，
∴．
∵函数
从到的改变量为，
∴．∵，而，∴．
15．
根据函数，求导，再根据曲线在处的切线与直线平行，由求解.
【详解】
因为函数，
所以，
又因为曲线在处的切线与直线平行，
所以，
解得，
故答案为：
本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
16．
先求出，再求出结合直线的点斜式方程即可求解.
【详解】
解：由题意，，
所以，所以切线方程为，即.
故答案为：.
17．（1）；（2）4.
（1）根据切线方程得到关于的方程，解出即可；
（2）问题转化为，构造函数，求出函数单调性，根据函数值的情况，即可求出的值．
【详解】
解：（1）函数，则，，
，由切线为直线
则，，
故，，解得：；
（2）函数，则，，
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，
即，
即只有唯一的正整数解，
，
设，
，
，，
设，
，
在上单调递减，在上单调递增，
，，
存在使得，
在上单调递增，在上单调递减，在，上单调递增，
(3)，
(4)，
(5)，
(3)(5)(4)，
，，
此时．
18．(1)直线：，直线：；
(2)
（1）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程，根据直线平行则斜率相等，即可求出直线的方程；
（2）显然（1）中的切点到直线的距离最短，再利用点到直线的距离公式计算可得；
(1)
解：因为，所以，所以，又，即切点为，所以切线的方程为，即，直线与直线平行，所以斜率为，且直线过点，所以直线的方程为，即，即直线：，直线：；
(2)
解：依题意点到直线：的距离最短，最短距离
19．
根据导数的定义求得，设，进而根据导数的几何意义得，进而得，即点的坐标为
【详解】
解：∵，
∴
．
设，因为曲线在点处的切线斜率为2
当时，，又．
∴点的坐标为．
20．(1)，
(2)
（1）求导，根据函数在点处的切线与x轴平行，由求解；
（2）由，得到，，设过点的直线与曲线相切于点，得到，进而得到，根据过点可以作曲线的三条切线，由关于x的方程有三个不等实根，利用导数法求解.
(1)
解：，
∵函数在点处的切线与x轴平行，
∴
∴，
解得，；
(2)
∵，
∴，
设过点的直线与曲线相切于点
则，
∴，
即，
易知，
∵过点可以作曲线的三条切线，
∴关于x的方程有三个不等实根，
设，则，
∴当时，，当时，，
∴在，上单调递增，在上单调递减，
∴
即，解得．
∴实数a的取值范围是.
21．（1）；（2）存在；或．
（1）当时，，，故，再根据点斜式方程求解即可；
（2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则根据切点在切线上，也在曲线上得，整理得，再分当时和时两种情况求解即可.
【详解】
（1）当时，，，
曲线在点处的切线方程为：，
代入整理得：.
（2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，，
曲线在点处的切线为：
与曲线相切于点，则
由①得：，则
将、代入②得：，
整理得：
当时，，即
当时，，，因此，即
存在这样的直线，直线为或
本题考查导数的几何意义，解题的关键在于把握切点即在曲线上又在切线上且切点处的导数值为切线的斜率这三个方面列方程求解，考查运算求解能力，是中档题.
答案第1页，共2页
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