5.2导数的运算 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 5.2导数的运算
一、单选题
1．已知函数，若存在点，使得直线与两曲线和都相切，当实数取最小值时，（ ）
A． B． C． D．
2．给出下列命题：①，则；②，则；③，则；④，则.其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
3．已知函数，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
4．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（ ）
A． B．6 C．12 D．
5．已知，若，则等于（ ）
A． B． C． D．1
6．函数y＝3x2在x＝1处的导数为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．12
7．若直线是函数的一条切线，则函数不可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
9．下列关于函数的复合过程与导数运算正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10．已知函数，其导函数记为，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
11．下列结论正确的个数为（ ）
①若y＝ln2，则y′＝；②若f(x)＝，则f′（3）＝－；③若y＝2x，则y′＝2xln2；④若y＝log5x，则y′＝．
A．4
B．1
C．2
D．3
12．设函数的导函数为，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题
13．设函数f(x)=logax，，则a=________.
14．已知函数的导函数，若，则________.
15．若指数函数且与一次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是_________.
16．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于__________.
17．曲线在点处的切线方程为______．
三、解答题
18．已知函数，．
（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．
19．求下列函数的导数：
（l）；
（2）．
20．（1）函数的导数为，求；
（2）设是函数图象的一条切线，证明：与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．
21．函数.
（1）求证：有且仅有两个极值点；
（2）设的两个极值点分别为，，且满足，若函数有三个零点，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
先分别求出函数在点的切线方程，再根据题意可得出，构造函数，求出的最小值即可求出，从而得到.
【详解】
，
，
又，
过点切线方程为：，①
又，
，即，又，
因此过点的切线方程为：，②
由题意知①②都为直线,
，
，
令，，
令，，
和时，单调递减，且时，恒成立，
时，单调递增，
时，，
，
则，
.
故选：.
本题主要考查导数的几何意义、导数与函数的单调性以及函数的极值与最值，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算，是难题.
2．C
利用求导公式和法则逐个分析判断即可
【详解】
①中为常数函数，故，故①错误；
对于②，∵，∴，故②正确；
显然③④正确.
故选：C.
3．B
先求出，再代入求解即可.
【详解】
解：由函数，
则，
又，
则，
即1，
故选：B.
本题考查了导函数的求法，重点考查了运算能力，属基础题.
4．A
先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得的值.
【详解】
由，得，
则曲线在点处的切线斜率为，得.
故选：A.
本题考查导数的几何意义，函数导数的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.
5．A
【详解】
因为，所以，
又，所以，因为，所以，所以.
故选：A.
6．C
求出函数的导数，令即得．
【详解】
利用导数的计算求解即可
解：由得，令，则．
故选：C．
7．A
逐个利用导数的几何意义分析判断 ，先对函数求导，然后使，若方程有解，则直线可能是曲线的切线，否则不是，
【详解】
解：对于A，由得，令无解，故A正确；
对于B，由得，令，解得，故B错误；
对于C，由得，令，有解，故C错误；
对于D，由得，令，解得，故D错误．
故选：A
8．D
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】
详解：
，
将代入得，故选D．
本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
9．C
直接根据函数的结构，找到内层函数和外层函数，即可得解.
【详解】
由复合函数求导法则，知函数由基本初等函数，复合而成，
所以.
故选：C.
10．A
函数，分析其性质可求的值 ，再求并讨论其性质即可作答.
【详解】
由已知得，
则，显然为偶函数.
令，显然为奇函数.
又为偶函数，所以，，
所以.
故选：A.
11．D
由导数的运算求得导数后判断．
【详解】
解：在①中，(ln2)′＝0，错；
②，，正确；
③，，正确；
④，，正确．
共有3个正确，
故选：D．
12．D
利用为奇函数求得的值，由此求得的值.
【详解】
依题意，由于是奇函数，所以，解得，所以，所以.
故选：D
本小题主要考查函数导数的计算，考查函数的奇偶性，属于基础题.
13．
求函数导数得，进而得解.
【详解】
∵，
∴.
∴，即.
故答案为：.
14．
根据导数运算法则可求得，代入即可构造方程求得结果.
【详解】
，
，解得：.
故答案为：.
15．
根据题意可判断，利用函数的导数，转化求解的最大值，从而求出的取值范围.
【详解】
由题意，当时，函数且的图象与一次函数的图象没有交点，
设当时，指数函数且的图象与一次函数的图象恰好有两个不同的交点，则，
设且与相切于，则，，
所以，，解得，此时.
即且与恰好有两个不同的交点时实数的取值范围为.
故答案为：.
本题考查了指数函数的性质，函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.
16．
先对求导，再将代入即可求解.
【详解】
由题意可得，
令得，
即.
故答案为：
本题主要考查了导数的运算，属于基础题.
17．
求出导函数，进而得到斜率，根据点斜式写出切线方程.
【详解】
，，则当时，，所以切线方程为：，整理得：
故答案为：
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
（I）对原函数求导，根据在内的单调性得在上恒成立，构造函数，求出其最大值即可求出的取值范围;
（Ⅱ）函数有两个极值点分别为，，等价于在内有两根，，将极值点代入作差，设，得到时原不等式成立；时，将原不等式转化为，令，，构造函数，证明，即原不等式成立.
【详解】
（I）由题可知，，
在内单调递减，
∴在内恒成立，
即在内恒成立，
令，则，
∴当时，，即在内为增函数，
当时，，即在内为减函数，
∴，即，，
∴；
（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，
则在内有两根，，
，两式相减，得，
不妨设，
当时，恒成立，
当时，要证明，只需证明，
即证明，即证明，
令，，
令，
，
在上单调递减，
，
，
即成立，
.
本题主要考查导数在研究函数中的应用，不等式的转化，构造函数讨论是解决问题的关键.
19．（1）；（2）．
(1)利用二倍角公式化简函数式再求导即得；
(2)把给定函数式写成幂函数，再利用幂函数求导公式即得.
【详解】
（1）因，则，
所以函数的导数是．
（2）因，则，
所以函数的导数是.
20．（1）2；（2）证明见解析．
（1）求出，即得的值；
（2）设切点为，先求出切线的方程为：，再求出与坐标轴所围成的三角形的面积，即得证.
【详解】
（1），
则，
所以；
（2）设切点为，
∵，，∴切线的斜率，
∴切线的方程为：，
令，得，
令，得，
所以与坐标轴所围成的三角形的面积，
因此与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．
本题主要考查导数的运算，考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．（1）证明见解析；（2）答案见解析.
（1）证明方程有两个变号的根即可；
（2）利用韦达定理和条件，求出或，再进行分类讨论，根据三次函数的图象特征得到不等式组，进而求得的取值范围；
【详解】
（1）证明：由题意可得，
令，得方程，
恒成立，所以有两个根，
不妨假设为，，且，
所以当，，单调递增；
当，，单调递减；
当，，单调递增；
故有两个极值点；
（2）由（1）得的两个极值点分别为，，
则，是方程的两根，，，
因为，
所以，
解得：或；
①当时，，，，，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以的极大值为，极小值为，要使得函数有三个零点，只需即可，解得：；
②当时，，，，，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以的极大值为，极小值为，要使得函数有三个零点，只需即可，解得：；
综上所述：当时，；当时，.
本题考查利用导数研究函数的极值点、零点问题，求解时要充分利用三次函数的图象特征，通过极大值、极小值的正负得到参数的取值范围.
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