6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 335.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-04 14:01:51 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第三册 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、单选题
1．用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格 的染色方法种数为（ ）
A．15 B．16 C．18 D．20
2．有如下形状的花坛需要栽种4种不同颜色的花卉，要求有公共边界的两块不能种同种颜色的花，则不同的种花方式共有（ ）
A．96种 B．72种 C．48种 D．24种
3．天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲 乙 丙 丁 戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（ ）
A．54种 B．60种 C．72种 D．96种
4．过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（ ）
A．18 B．30 C．36 D．54
5．从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（ ）个
A．98 B．56 C．84 D．49
6．若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
7．某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行．为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为（ ）
A．3 B．18 C．21 D．24
8．某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为（ ）
A．85 B．86 C．91 D．90
9．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示1-9的一种方法.则据此，3可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1-9这9数字表示的两位数的个数为（ ）
A．9 B．13 C．16 D．18
10．作家马伯庸的小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．如图所示是望楼传递信息的一种方式，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息．现要求每一行、每一列上有且只有1个紫色小方格（如图所示即满足要求），则一共可以传递的不同信息种数是（ ）
A．14 B．12 C．9 D．6
11．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有（ ）
A．360种 B．50种 C．60种 D．90种
12．立德幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果．王老师的果篮里有草莓，苹果，芒果3种水果．李老师的果篮里有苹果，樱桃，香蕉，猕猴桃4种水果．小华可以任选一个水果．小华可能拿到的水果有（ ）．
A．7种 B．6种 C．12种 D．11种
二、填空题
13．从名女同学和名男同学中，选出人主持某次主题班会，不同的选法种数为______．
14．近年来，各地着力打造“美丽乡村”，彩色田野成为美丽乡村的特色风景，某乡村设计一块类似于赵爽弦图的巨型创意农田（如图所示），计划从黄、白、红、绿四种颜色的农作物选种几种种在图中区域，并且每个区域种且只种一种颜色的农作物，相邻区域所种的农作物颜色不同，则共有______种不同的种法.（用数字作答）
15．某校为庆祝元旦举办文艺汇演，原节目单上有7个节目已经排好顺序，现在有2个新节目需要加进去，不改变原来节目的先后顺序，则新节目单的排法有______种．
16．体育老师把9个相同的足球放人编号为1，2，3的三个箱子中，要求每个箱子中放人足球的个数不少于其编号，则不同的放法有_____________种．
17．5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是________；
三、解答题
18．从5名同学中选出正、副组长各1名，有多少种不同的选法？
19．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数.
20．如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路．从甲地到丁地共有多少条不同的路线？
21．某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包中的一种，若集齐三种红包即可获奖，且三种红包在4次点击中出现的顺序不同对应的奖次也不同，甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖，求甲获得奖次的不同情形的种数.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
根据题意，分情况讨论，求出每种情况对应的染色方法种数，即可得出结果．
【详解】
依题意，第一个格子必须为黑色，设格子从左到右的编号分别为1～6．
故①当1，3，5号格子为黑色时：有23＝8种；
②当1，3号为黑色且5号为白色时：若2号为黑色则有22＝4种，若2号为白色，则4号为黑色有2种，故此时共有4+2＝6种；
③当1号为黑色，3号为白色时：2号必为黑色，若4号为白色，则有1×1×1×1×1×2＝2种，若4号为黑色，则有1×1×1×1×2×2＝4种，故此时共有2+4＝6种；
综上，共有8+6+6＝20种．
故选：D．
本题主要考查排列组合，意在考查考生的化归与转化能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理．本题解题的关键在于对1，3，5号格子的颜色进行讨论求解.
2．A
如图，由题意可知②，④同色，或者③，⑤同色，或者①，④同色，或者①，⑤同色，从而可求得结果
【详解】
依题意可知，将区域标号如图.
用4种颜色的花卉完成栽种，需要②，④同色，或者③，⑤同色，或者①，④同色，或者①，⑤同色，故有种.
故选：A
3．A
甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，先排乙，可以是第二，三，四名3种情况，再排甲，也有3种情况，余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理求解即可.
【详解】
由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，
再排甲，也有3种情况，余下3人有种情况，
利用分步相乘计数原理知有种情况
故选：A.
思路点睛：解决排列组合问题的一般过程：
（1）认真审题弄清楚要做什么事情；
（2）要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元素.
4．C
根据题意，分棱柱侧棱与底面边、棱柱侧棱与侧面对角线、底面边与侧面对角线、底面边与底面边、侧面对角线与侧面对角线五类依次计数即可得答案.
【详解】
解：如图，分以下几类：
棱柱侧棱与底面边之间所构成的异面直线有：对；
棱柱侧棱与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
底面边与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
底面边与底面边之间所构成的异面直线有：对；
侧面对角线与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
所以共有对.
故选：C.
本题考查棱柱的结构特征，异面直线的判断，分类加法计数原理，解题的关键在于根据题意合理分类，做到不重不漏，进而解决，是难题.
5．A
分类讨论当公差为，，……，时，对应的等差数列个数，再根据三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，即可得到答案.
【详解】
当公差为时，数列可以是：，，，……，共13种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共11种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共9种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共7种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，，，共5种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，共3种情况.
当公差为时，数列可以是：，共1种情况.
总的情况是.
又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，
所以这样的等差数列共有个.
故选：A
本题主要考查分类计数原理，同时考查了等差数列的定义，属于简单题.
6．A
根据分步计算原理，每个人选报一科，则每个人有3种报名方法，即可得解.
【详解】
4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有种方法.
故选：A.
7．B
根据题意，分析可得：“多人多足”有3种安排方法，再将踢毽、跳绳、推火车安排在剩下的3个位置，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，
则“多人多足”有3种安排方法，
将踢毽、跳绳、推火车安排在剩下的3个位置，有种安排方法，
则有种安排方法．
故选：B．
8．B
根据题意，分三类，第1类，男生甲入选，女生乙不入选，第2类，男生甲不入选，女生乙入选，第3类，男生甲入选，女生乙入选，分别求得其方法数，然后利用分类计数原理求解.
【详解】
由题意，可分三类：
第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为；
第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为；
第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为．
所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86．
故选：B
9．C
根据题意6根算筹可表示数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；其中数字组合3、3，7、7只表示2个两位数；其余7组每组可表示2个两位数，共个，因此可表示的两位数为16个.
【详解】
根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；
数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数；
数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示个两位数；
则一共可以表示个两位数.
故选:C
本题主要考查了数学文化，并以数学文化为载体考查考生的阅读能力以及逻辑推理能力，属于中档题.
10．D
由分步乘法原理求传递的不同信息种数.
【详解】
根据每行中紫色小方格的位置，可分三步：第一步，在第一行中，有且只有1个紫色小方格，有3种情况；第二步，在第二行的3个方格中，要求每列有且只有1个紫色小方格，则第二行有2种情况；第三步，在第三行，只有1种情况，则一共可以传递的信息种数是，
故选：D．
11．B
首先根据题意分成第一类甲同学选择牛和第二类甲同学选择马，分别计算各类的选法，再相加即可.
【详解】
第一类：甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选法，
选法有1×2×10＝20(种)，
第二类：甲同学选择马，乙有3种选法，丙有10种选法，
选法有1×3×10＝30(种)，
所以共有20＋30＝50(种)选法．
故选：B.
12．B
根据分类加法计数原理计算出正确答案.
【详解】
王老师有3种水果，李老师有4种水果．其中苹果是重复的，所以小华可能拿到的水果总共有（种）．
故选：B
13．
根据分类加法计数原理，即可得出结果.
【详解】
解：选出人作为主持人，可分选出女主持人和男主持人两类，
则选出人作为女主持人，有种不同的选法，
选出人作为男主持人，有种不同的选法，
所以共有种不同的选法.
故答案为：.
14．
分用三种颜色或四种颜色涂色该区域，当用四种颜色涂色该区域时，分两种情况讨论，当区域同色时和不同色时两种情况讨论求解即可.
【详解】
解：当用三种颜色涂色该区域时，先从四种颜色中选三种颜色，有种方案，再用三种颜色涂色，则有种方案，故有种方案；
当用四种颜色涂色该区域时，分两种情况讨论，当区域同色时，有种不同方案，当区域不同色时，有种不同方案，故有种不同方案.
综上，共有种不同方案.
故答案为：
15．72
分两步，分别把两个节目插入原来节目的空中，由分步乘法计数原理即得解
【详解】
第一步：从排好的7个节目中空出的8个位置，加入第1个新节目，有8种方法；
第二步：从排好的8个节目中空出的9个位置，加入第2个新节目，有9种方法．
由分步乘法计数原理得，共有种排法．
故答案为：72
16．10
先在编号为2，3的箱子中分别放入1个、2个足球，再由隔板法可得答案.
【详解】
先在编号为2，3的箱子中分别放入1个、2个足球，
再将剩下的6个足球排成一行，插人两个隔板把它们分成三部分，方法种数为，
故所求不同的放法有10种．
故答案为：10
17．243
根据题意，分析出每位同学有3种选择，进而由分步乘法计数原理可得答案.
【详解】
根据题意，每名同学可自由选择听3个讲座中的任意一个，所以每位同学有3种选择方法，
所以5名同学共有种选择方法.
故答案为：.
18．20种选法
从5人中依次选出正、副组长，由分步乘法计数原理即可得解.
【详解】
先从5人中选出一名组长，共有5种选法，
再从剩下的4人中选出一名副组长，共有4种选法，
所以从5名同学中选出正、副组长各1名，共有种选法.
19．420
分四类，分别是5种颜色全用，只用4种颜色，只用3种颜色，确定每类的方法数，用分类加法计数原理即可得结果.
【详解】
法一按所用颜色种数分类.
第一类：5种颜色全用，共有种不同的方法；
第二类：只用4种颜色，则必有某两个顶点同色（A与C，或B与D），共有种不同的方法；
第三类：只用3种颜色，则A与C，B与D必定同色，共有种不同的方法.
由分类加法计数原理，得不同的染色方法种数为（种）.
法二以S，A，B，C，D顺序分步染色.
第一步：S点染色，有5种方法；
第二步：A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；
第三步：B点染色，与S，A分别在同一条棱上，有3种方法；
第四步：C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×（1×3＋2×2）＝420（种）.
本题考查分布与分类两个基本原理，总体需分类，每类再分步，综合利用两个原理解决，属中档题．
20．14种
按照甲地经乙地到丁地、甲地经丙地到丁地分类，结合分类加法、分步乘法计数原理即可得解.
【详解】
如果由甲地经乙地到丁地，则有种不同的路线；
如果由甲地经丙地到丁地，则有种不同的路线；
因此，从甲地到丁地共有种不同的路线.
21．
根据题意，分析可得甲第4次获得的红包有3种情况，进而可得前三次获得的红包为其余的2种，
分析前三次获得红包的情况，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，若员工甲直到第4次才获奖，
则其第4次才集全“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，
则甲第4次获得的红包有3种情况，
前三次获得的红包为其余的2种，有种情况，
则他获得奖次的不同情形种数为种.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格 的染色方法种数为（ ）
A．15 B．16 C．18 D．20
2．有如下形状的花坛需要栽种4种不同颜色的花卉，要求有公共边界的两块不能种同种颜色的花，则不同的种花方式共有（ ）
A．96种 B．72种 C．48种 D．24种
3．天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲 乙 丙 丁 戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（ ）
A．54种 B．60种 C．72种 D．96种
4．过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（ ）
A．18 B．30 C．36 D．54
5．从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（ ）个
A．98 B．56 C．84 D．49
6．若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
7．某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行．为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为（ ）
A．3 B．18 C．21 D．24
8．某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为（ ）
A．85 B．86 C．91 D．90
9．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示1-9的一种方法.则据此，3可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1-9这9数字表示的两位数的个数为（ ）
A．9 B．13 C．16 D．18
10．作家马伯庸的小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．如图所示是望楼传递信息的一种方式，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息．现要求每一行、每一列上有且只有1个紫色小方格（如图所示即满足要求），则一共可以传递的不同信息种数是（ ）
A．14 B．12 C．9 D．6
11．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有（ ）
A．360种 B．50种 C．60种 D．90种
12．立德幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果．王老师的果篮里有草莓，苹果，芒果3种水果．李老师的果篮里有苹果，樱桃，香蕉，猕猴桃4种水果．小华可以任选一个水果．小华可能拿到的水果有（ ）．
A．7种 B．6种 C．12种 D．11种
二、填空题
13．从名女同学和名男同学中，选出人主持某次主题班会，不同的选法种数为______．
14．近年来，各地着力打造“美丽乡村”，彩色田野成为美丽乡村的特色风景，某乡村设计一块类似于赵爽弦图的巨型创意农田（如图所示），计划从黄、白、红、绿四种颜色的农作物选种几种种在图中区域，并且每个区域种且只种一种颜色的农作物，相邻区域所种的农作物颜色不同，则共有______种不同的种法.（用数字作答）
15．某校为庆祝元旦举办文艺汇演，原节目单上有7个节目已经排好顺序，现在有2个新节目需要加进去，不改变原来节目的先后顺序，则新节目单的排法有______种．
16．体育老师把9个相同的足球放人编号为1，2，3的三个箱子中，要求每个箱子中放人足球的个数不少于其编号，则不同的放法有_____________种．
17．5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是________；
三、解答题
18．从5名同学中选出正、副组长各1名，有多少种不同的选法？
19．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数.
20．如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路．从甲地到丁地共有多少条不同的路线？
21．某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包中的一种，若集齐三种红包即可获奖，且三种红包在4次点击中出现的顺序不同对应的奖次也不同，甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖，求甲获得奖次的不同情形的种数.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
根据题意，分情况讨论，求出每种情况对应的染色方法种数，即可得出结果．
【详解】
依题意，第一个格子必须为黑色，设格子从左到右的编号分别为1～6．
故①当1，3，5号格子为黑色时：有23＝8种；
②当1，3号为黑色且5号为白色时：若2号为黑色则有22＝4种，若2号为白色，则4号为黑色有2种，故此时共有4+2＝6种；
③当1号为黑色，3号为白色时：2号必为黑色，若4号为白色，则有1×1×1×1×1×2＝2种，若4号为黑色，则有1×1×1×1×2×2＝4种，故此时共有2+4＝6种；
综上，共有8+6+6＝20种．
故选：D．
本题主要考查排列组合，意在考查考生的化归与转化能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理．本题解题的关键在于对1，3，5号格子的颜色进行讨论求解.
2．A
如图，由题意可知②，④同色，或者③，⑤同色，或者①，④同色，或者①，⑤同色，从而可求得结果
【详解】
依题意可知，将区域标号如图.
用4种颜色的花卉完成栽种，需要②，④同色，或者③，⑤同色，或者①，④同色，或者①，⑤同色，故有种.
故选：A
3．A
甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，先排乙，可以是第二，三，四名3种情况，再排甲，也有3种情况，余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理求解即可.
【详解】
由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，
再排甲，也有3种情况，余下3人有种情况，
利用分步相乘计数原理知有种情况
故选：A.
思路点睛：解决排列组合问题的一般过程：
（1）认真审题弄清楚要做什么事情；
（2）要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元素.
4．C
根据题意，分棱柱侧棱与底面边、棱柱侧棱与侧面对角线、底面边与侧面对角线、底面边与底面边、侧面对角线与侧面对角线五类依次计数即可得答案.
【详解】
解：如图，分以下几类：
棱柱侧棱与底面边之间所构成的异面直线有：对；
棱柱侧棱与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
底面边与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
底面边与底面边之间所构成的异面直线有：对；
侧面对角线与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
所以共有对.
故选：C.
本题考查棱柱的结构特征，异面直线的判断，分类加法计数原理，解题的关键在于根据题意合理分类，做到不重不漏，进而解决，是难题.
5．A
分类讨论当公差为，，……，时，对应的等差数列个数，再根据三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，即可得到答案.
【详解】
当公差为时，数列可以是：，，，……，共13种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共11种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共9种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共7种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，，，共5种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，共3种情况.
当公差为时，数列可以是：，共1种情况.
总的情况是.
又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，
所以这样的等差数列共有个.
故选：A
本题主要考查分类计数原理，同时考查了等差数列的定义，属于简单题.
6．A
根据分步计算原理，每个人选报一科，则每个人有3种报名方法，即可得解.
【详解】
4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有种方法.
故选：A.
7．B
根据题意，分析可得：“多人多足”有3种安排方法，再将踢毽、跳绳、推火车安排在剩下的3个位置，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，
则“多人多足”有3种安排方法，
将踢毽、跳绳、推火车安排在剩下的3个位置，有种安排方法，
则有种安排方法．
故选：B．
8．B
根据题意，分三类，第1类，男生甲入选，女生乙不入选，第2类，男生甲不入选，女生乙入选，第3类，男生甲入选，女生乙入选，分别求得其方法数，然后利用分类计数原理求解.
【详解】
由题意，可分三类：
第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为；
第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为；
第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为．
所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86．
故选：B
9．C
根据题意6根算筹可表示数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；其中数字组合3、3，7、7只表示2个两位数；其余7组每组可表示2个两位数，共个，因此可表示的两位数为16个.
【详解】
根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；
数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数；
数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示个两位数；
则一共可以表示个两位数.
故选:C
本题主要考查了数学文化，并以数学文化为载体考查考生的阅读能力以及逻辑推理能力，属于中档题.
10．D
由分步乘法原理求传递的不同信息种数.
【详解】
根据每行中紫色小方格的位置，可分三步：第一步，在第一行中，有且只有1个紫色小方格，有3种情况；第二步，在第二行的3个方格中，要求每列有且只有1个紫色小方格，则第二行有2种情况；第三步，在第三行，只有1种情况，则一共可以传递的信息种数是，
故选：D．
11．B
首先根据题意分成第一类甲同学选择牛和第二类甲同学选择马，分别计算各类的选法，再相加即可.
【详解】
第一类：甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选法，
选法有1×2×10＝20(种)，
第二类：甲同学选择马，乙有3种选法，丙有10种选法，
选法有1×3×10＝30(种)，
所以共有20＋30＝50(种)选法．
故选：B.
12．B
根据分类加法计数原理计算出正确答案.
【详解】
王老师有3种水果，李老师有4种水果．其中苹果是重复的，所以小华可能拿到的水果总共有（种）．
故选：B
13．
根据分类加法计数原理，即可得出结果.
【详解】
解：选出人作为主持人，可分选出女主持人和男主持人两类，
则选出人作为女主持人，有种不同的选法，
选出人作为男主持人，有种不同的选法，
所以共有种不同的选法.
故答案为：.
14．
分用三种颜色或四种颜色涂色该区域，当用四种颜色涂色该区域时，分两种情况讨论，当区域同色时和不同色时两种情况讨论求解即可.
【详解】
解：当用三种颜色涂色该区域时，先从四种颜色中选三种颜色，有种方案，再用三种颜色涂色，则有种方案，故有种方案；
当用四种颜色涂色该区域时，分两种情况讨论，当区域同色时，有种不同方案，当区域不同色时，有种不同方案，故有种不同方案.
综上，共有种不同方案.
故答案为：
15．72
分两步，分别把两个节目插入原来节目的空中，由分步乘法计数原理即得解
【详解】
第一步：从排好的7个节目中空出的8个位置，加入第1个新节目，有8种方法；
第二步：从排好的8个节目中空出的9个位置，加入第2个新节目，有9种方法．
由分步乘法计数原理得，共有种排法．
故答案为：72
16．10
先在编号为2，3的箱子中分别放入1个、2个足球，再由隔板法可得答案.
【详解】
先在编号为2，3的箱子中分别放入1个、2个足球，
再将剩下的6个足球排成一行，插人两个隔板把它们分成三部分，方法种数为，
故所求不同的放法有10种．
故答案为：10
17．243
根据题意，分析出每位同学有3种选择，进而由分步乘法计数原理可得答案.
【详解】
根据题意，每名同学可自由选择听3个讲座中的任意一个，所以每位同学有3种选择方法，
所以5名同学共有种选择方法.
故答案为：.
18．20种选法
从5人中依次选出正、副组长，由分步乘法计数原理即可得解.
【详解】
先从5人中选出一名组长，共有5种选法，
再从剩下的4人中选出一名副组长，共有4种选法，
所以从5名同学中选出正、副组长各1名，共有种选法.
19．420
分四类，分别是5种颜色全用，只用4种颜色，只用3种颜色，确定每类的方法数，用分类加法计数原理即可得结果.
【详解】
法一按所用颜色种数分类.
第一类：5种颜色全用，共有种不同的方法；
第二类：只用4种颜色，则必有某两个顶点同色（A与C，或B与D），共有种不同的方法；
第三类：只用3种颜色，则A与C，B与D必定同色，共有种不同的方法.
由分类加法计数原理，得不同的染色方法种数为（种）.
法二以S，A，B，C，D顺序分步染色.
第一步：S点染色，有5种方法；
第二步：A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；
第三步：B点染色，与S，A分别在同一条棱上，有3种方法；
第四步：C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×（1×3＋2×2）＝420（种）.
本题考查分布与分类两个基本原理，总体需分类，每类再分步，综合利用两个原理解决，属中档题．
20．14种
按照甲地经乙地到丁地、甲地经丙地到丁地分类，结合分类加法、分步乘法计数原理即可得解.
【详解】
如果由甲地经乙地到丁地，则有种不同的路线；
如果由甲地经丙地到丁地，则有种不同的路线；
因此，从甲地到丁地共有种不同的路线.
21．
根据题意，分析可得甲第4次获得的红包有3种情况，进而可得前三次获得的红包为其余的2种，
分析前三次获得红包的情况，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，若员工甲直到第4次才获奖，
则其第4次才集全“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，
则甲第4次获得的红包有3种情况，
前三次获得的红包为其余的2种，有种情况，
则他获得奖次的不同情形种数为种.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页