6.2排列与组合 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 6.2排列与组合 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 339.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-04 14:03:03 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第三册 6.2 排列与组合 同步练习
一、单选题
1．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶 一个有害垃圾桶 一个厨余垃圾桶 一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
2．3位大学生乘坐同一列动车，该动车有8节车厢，则至少有2位大学生在同一节车厢的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．设，的个位数字为，十位数字为，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
5．已知，则等于（ ）
A．6 B．13 C．6或13 D．12
6．埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857×2=285714，142857×3=428571，142857×4=571428，...，所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现：142+857=999，428+571=999，285+714=999，...，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数，剩下的三个数字构成另一个三位数，若，则所有可能的有序实数组的个数为（ ）
A．48 B．60 C．96 D．120
7．若从1，3中选一个数字，从0，2，4中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲 乙 丙 丁 戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（ ）
A．54种 B．60种 C．72种 D．96种
9．作家马伯庸的小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．如图所示是望楼传递信息的一种方式，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息．现要求每一行、每一列上有且只有1个紫色小方格（如图所示即满足要求），则一共可以传递的不同信息种数是（ ）
A．14 B．12 C．9 D．6
10．某传统体育学校计划举行夏季运动会，本次运动会径赛项目有：50米、100米、、3000米共8个项目．为确保径赛项目顺利举办，需要招募一批志愿者，甲、乙两名同学申请报名时，计划在8个项目的服务岗位中各随机选取3项，则两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（ ）
A．420种 B．441种 C．735种 D．840种
11．已知，则满足的有序数组共有（ ）个
A． B． C． D．
12．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知，客运车票增加了62种，则现在车站的个数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
13．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A． B． C． D．
14．通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，笫二部分为由阿拉伯数字与英文字母组成的序号．其中序号的编码规则为：①由0，1，2，…，9这10个阿拉伯数字与除，之外的24个英文字母组成；②最多只能有2个位置是英文字母，如：粤，则采用5位序号编码的粤牌照最多能发放的汽车号牌数为（ ）
A．586万张 B．682万张 C．696万张 D．706万张
15．某职校选出甲 乙 丙等6名学生参加职业技能比赛，并决出第1~6名的名次（无并列）.甲 乙 丙3名学生一同去询问成绩，评委对甲说：很遗憾，你和乙都没有得到冠军，对乙说：你当然不是最后两名，对丙说：你比甲和乙都好，但也不是冠军.从这个人的回答中分析，6人的名次情况共有（ ）
A．72种 B．36种 C．96种 D．48种
二、填空题
16．4个人围坐在如图所示的8张椅子中的4张椅子上聚餐，其中甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，共有__________种不同的坐法(用数字作答)
17．袋中有3个红球，2个白球，现从中取出3个球，则取到的红球个数为2的概率为_________.
18．某学校为了提高学生的安全意识，防止安全事故的发生，学校拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天中恰好仅有天连续的概率为______
三、解答题
19．某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；
（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．
20．有标号为1，2，3，4，5，6的6个小球和标号为1，2，3，4的4个盒.
（1）从6个小球中选出4个放入4个盒中，每盒只放1个小球.
①求奇数号盒只放奇数号小球的不同放法种数；
②求奇数号小球必须放在奇数号盒中的不同放法种数.
（2）若不许空盒且将6个小球都放入4个盒中，求所有不同的放法种数.
21．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？（用数字做答）
（1）至少有一名队长当选．
（2）至多有两名女生当选．
（3）既要有队长，又要有女生当选．
22．如图，某地有南北街道5条、东西街道6条．一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，且途经C地，要求所走路程最短，共有多少种不同的走法？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果.
【详解】
根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，
先选出两个垃圾桶，有种选法，
之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有种放法；
所以不同的摆放方法共有种，
故选：C.
思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：
（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有种选法；
（2）之后就相当于三个元素的一个全排；
（3）利用分步乘法计数原理求得结果.
2．C
先计算出基本事件的总数，然后计算出大学生1个人在不同车厢的事件数，再根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
基本事件的总数有种，
大学生1个人在不同车厢的事件数为.
所以至少有2位大学生在同一节车厢的概率为.
故选：C
3．B
根据给定条件利用分类加法计数原理结合排列、组合知识计算作答.
【详解】
因甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，计算安排种数有两类办法：
若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有种；
若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有种，然后剩下的一个人和甲、乙
被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有种，则共有种，
综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为.
故选：B
4．A
根据，可得当自然数n大于或等于10时，的个位数和十位数都是0，从而可得的个位数字和十位数字即为的个位数字和十位数字，求出即可得解.
【详解】
解：因为，
所以当自然数n大于或等于10时，的个位数和十位数都是0，
所以的个位数字和十位数字即为的个位数字和十位数字，
，
所以的个位数字和十位数字分别为4和1，
所以，
所以.
故选：A.
5．A
根据排列数公式，化简计算，结合x的范围，即可得答案.
【详解】
由题意得，
化简可得，解得或6，
因为，所以且，故.
故选：A
6．A
观察，将数字分成三组，每组取一个数字可构成符合条件的，由此分析求解即可.
【详解】
∵这六个数中，，，，共3组
要使六个数字中任意取出3个数字构成一个三位数，剩下的三个数字构成另一个三位数，且，则从每组数字中抽取一个构成，所以共有种情况，的每个数字对应的同组数字按顺序构成对应的，故所有可能的有序实数组的个数也为48.
故选：A
7．B
排列组合中的特殊元素应该考虑优先放置，因为0不能作为数字的首位，可以考虑优先放置.
【详解】
若有0，组成的三位数有个，若不含0，组成的三位数有个；组成无重复数字的三位偶数，若含有0且在个位，组成的三位数偶有个，若含有0且在十位，组成的三位偶数有个，若不含0，组成的三位数偶数有个.所以组成的三位数为偶数的概率是，
故选：B.
8．A
甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，先排乙，可以是第二，三，四名3种情况，再排甲，也有3种情况，余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理求解即可.
【详解】
由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，
再排甲，也有3种情况，余下3人有种情况，
利用分步相乘计数原理知有种情况
故选：A.
思路点睛：解决排列组合问题的一般过程：
（1）认真审题弄清楚要做什么事情；
（2）要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元素.
9．D
由分步乘法原理求传递的不同信息种数.
【详解】
根据每行中紫色小方格的位置，可分三步：第一步，在第一行中，有且只有1个紫色小方格，有3种情况；第二步，在第二行的3个方格中，要求每列有且只有1个紫色小方格，则第二行有2种情况；第三步，在第三行，只有1种情况，则一共可以传递的信息种数是，
故选：D．
10．D
利用分步计数原理即得.
【详解】
根据题意可知，可分三步考虑：第一步，在8项中选取2项，共有种不同的方法；
第二步，甲在剩下6项中选取1项，共有种不同的方法；
第三步，乙在剩下5项中选取1项，共有种不同的方法．
根据分步乘法计数原理可知，两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（种）
故选：D．
11．A
从个位置中选2个位置填上或，其余位置填上0即可.
【详解】
所有有序数组 中,满足的
有序数组 中包含个0，另外两个数在或中选择，每个位置有2种选择，由乘法计数原理得不同的种数为
故选：A.
12．C
由题意得，化简计算可得，由于，，可得，从而可求出，经验证可得答案
【详解】
原来个车站有种车票，新增了个车站，有种车票，
由题意得，即，
整理得，∴，
∵，，∴，∴，解得，即.
当时，均不为整数，只有当时，符合题意，
∴，故现在有17个车站.
故选：C.
13．A
本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．
【详解】
由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．
对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．
14．D
讨论后5位全部为数字、有一个字母、有两个字母三种情况，其中有两个字母再分两个字母相同、不同两种，结合分类分步计数方法求最多能发放的汽车号牌数即可.
【详解】
1、后5位全部为数字，共有张牌，
2、后5位有一个字母：共有张牌，
3、后5位有两个字母：当两个字母相同，有张牌；当两个字母不同，张牌；
综上，共有张牌.
故选：D
15．D
由题意，知甲 乙 丙都不是第1名且乙不是最后两名，丙比甲和乙都好，则丙只能是第2名或第3名，然后利用分步分类计数原理求解即可
【详解】
由题意，知甲 乙 丙都不是第1名且乙不是最后两名，丙比甲和乙都好，则丙只能是第2名或第3名，
当丙是第2名时，乙只能是第3名或第4名，甲只能是3至6名中除乙外的3个名次中的一个，所以有种情况；
当丙是第3名时，乙只能是第4名，甲只能是第5名或第6名，所以有种情况.
故共有种不同的情况.
故选：D.
16．1440
根据甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，则甲、乙两人不能同时坐在1 与8位置或2 与7位置或3 与6位置或4 与5，先确定甲的位置有种，在确定乙的位置有种，最后确定剩下两人的位置有，最后再根据分步乘法原理即可得出答案.
【详解】
解：因为甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，
则甲、乙两人不能同时坐在1 与8位置或2 与7位置或3 与6位置或4 与5，
所以共有种不同的作法.
故答案为：1440.
17．
先分析从个球中取个球的情况数，然后分析个球中有个红球的情况数，两种情况数相除即可求解出对应概率.
【详解】
从个球中取个球的情况数有：种，
个球中有个红球的情况数有：种，
所以取到的红球数为的概率为：，
故答案为：.
思路点睛：本题考查利用组合数求解概率问题，难度较易.利用排列组合求解概率问题的思路：先利用排列组合求解出总的情况数，然后再分析满足要求的情况数，最后利用两者的比值表示对应的概率.
18．
先判断所有情况，种选择，然后把连续的天看成一个元素，另一天看成一个元素，则这两个元素不相邻，由插空法计算恰有两天连续的情况，代入古典概型公式计算.
【详解】
连续天中随机选择天，有种选择，其中恰好仅有天连续，把连续的天看成一个元素，另一天看成一个元素，则这两个元素不相邻，由插空法知有种选择，所以所求的概率为．
故答案为：
排列组合的实际应用问题中，一般遇到元素必须相邻的情况，采用捆绑法，遇到元素不能相邻的问题，采用插空法，如果既有相邻也有不相邻的综合情况时，注意先捆绑再插空.
19．（Ⅰ）2，1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
（Ⅰ）由甲、乙两组人数的比例是，再根据从甲、乙两组中共抽取3名工人求解.
（Ⅱ）根据古典概型的概率求法，分别计算从车间10名工人抽取2人的基本事件数，从4名女工人抽取1人的基本事件数，代入公式求解.
（Ⅲ）抽取的3名工人中恰有2名男工人分两种情况：甲组2男乙组1女或甲组1男1女乙组1男求解.
【详解】
（Ⅰ）因为车间甲组有10名工人，乙组有5名工人，
所以甲、乙两组的比例是，
又因为从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，
所以从甲、乙两组各抽取的人数是2，1；
（Ⅱ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人，
所以从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；
（Ⅲ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，
所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．
20．（1）①种；②种；（2）种.
(1)①根据题意，结合分步计数原理，先处理奇数号球，再处理偶数号球即可；
②根据题意，结合分类计数原理，讨论取出的奇数号球的个数，即可求解；
(2)根据题意，可知小球可分为1，1，2，2四组或1，1，1，3四组，再结合分类与分步计数原理即可求解.
【详解】
（1）①因为奇数号盒只放奇数号小球，每盒只放一个小球，所以先从3个奇数号小球中任取2个放入奇数号盒中，有种放法；再将剩余的4个小球中的2个放入余下的2个盒中，有种放法.从而不同的放法种数为.
②因为奇数号小球必须放在奇数号盒中，每盒只放一个小球，所以分两类讨论：
第一类，取1个奇数号小球和3个偶数号小球放入盒中，共有种放法；
第二类，取2个奇数号小球和2个偶数号小球放入盒中，共有种放法.
从而不同的放法种数为.
（2）由于不许空盒且将6个小球都放入盒中，所以考虑对6个小球先进行分组再放入盒中，分两类：
第一类，将6个小球分成1，1，2，2四组的不同分法种数为，再放入4个盒中，有种放法；
第二类，将6个小球分成1，1，1，3四组的不同分法种数为，再放入4个盒中，有种放法.
从而所有不同的放法种数为.
21．（1）825；（2）966；（3）790.
（1）分有一名队长和两名队长情况讨论得解；
（2）至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，即得解；
（3）分两种情况讨论，第一类：女队长当选；第二类：女队长不当选，即得解.
【详解】
（1）至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有种．或采用排除法有种．
（2）至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有种．
（3）分两种情况：第一类：女队长当选，有种；第二类：女队长不当选，有种．
故共有种．
22．60
由题可知从A到C，最短路程有种不同的走法，从C到B，最短路程有种不同的走法，再利用分步计数原理即得.
【详解】
由题意可知，从A经C到B的最短路程，只能向西、向南运动；
从A到C，最短路程需要向南走3次，向西走2次，即从5次中任取2次向西，剩下3次向南，有种不同的走法，
从C到B，最短路程需要向南走2次，向西走2次，即从4次中任取2次向西，剩下2次向南，有种不同的走法，
故从A经C到B的最短路程，共有种不同的走法.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶 一个有害垃圾桶 一个厨余垃圾桶 一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
2．3位大学生乘坐同一列动车，该动车有8节车厢，则至少有2位大学生在同一节车厢的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．设，的个位数字为，十位数字为，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
5．已知，则等于（ ）
A．6 B．13 C．6或13 D．12
6．埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857×2=285714，142857×3=428571，142857×4=571428，...，所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现：142+857=999，428+571=999，285+714=999，...，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数，剩下的三个数字构成另一个三位数，若，则所有可能的有序实数组的个数为（ ）
A．48 B．60 C．96 D．120
7．若从1，3中选一个数字，从0，2，4中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲 乙 丙 丁 戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（ ）
A．54种 B．60种 C．72种 D．96种
9．作家马伯庸的小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．如图所示是望楼传递信息的一种方式，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息．现要求每一行、每一列上有且只有1个紫色小方格（如图所示即满足要求），则一共可以传递的不同信息种数是（ ）
A．14 B．12 C．9 D．6
10．某传统体育学校计划举行夏季运动会，本次运动会径赛项目有：50米、100米、、3000米共8个项目．为确保径赛项目顺利举办，需要招募一批志愿者，甲、乙两名同学申请报名时，计划在8个项目的服务岗位中各随机选取3项，则两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（ ）
A．420种 B．441种 C．735种 D．840种
11．已知，则满足的有序数组共有（ ）个
A． B． C． D．
12．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知，客运车票增加了62种，则现在车站的个数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
13．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A． B． C． D．
14．通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，笫二部分为由阿拉伯数字与英文字母组成的序号．其中序号的编码规则为：①由0，1，2，…，9这10个阿拉伯数字与除，之外的24个英文字母组成；②最多只能有2个位置是英文字母，如：粤，则采用5位序号编码的粤牌照最多能发放的汽车号牌数为（ ）
A．586万张 B．682万张 C．696万张 D．706万张
15．某职校选出甲 乙 丙等6名学生参加职业技能比赛，并决出第1~6名的名次（无并列）.甲 乙 丙3名学生一同去询问成绩，评委对甲说：很遗憾，你和乙都没有得到冠军，对乙说：你当然不是最后两名，对丙说：你比甲和乙都好，但也不是冠军.从这个人的回答中分析，6人的名次情况共有（ ）
A．72种 B．36种 C．96种 D．48种
二、填空题
16．4个人围坐在如图所示的8张椅子中的4张椅子上聚餐，其中甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，共有__________种不同的坐法(用数字作答)
17．袋中有3个红球，2个白球，现从中取出3个球，则取到的红球个数为2的概率为_________.
18．某学校为了提高学生的安全意识，防止安全事故的发生，学校拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天中恰好仅有天连续的概率为______
三、解答题
19．某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；
（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．
20．有标号为1，2，3，4，5，6的6个小球和标号为1，2，3，4的4个盒.
（1）从6个小球中选出4个放入4个盒中，每盒只放1个小球.
①求奇数号盒只放奇数号小球的不同放法种数；
②求奇数号小球必须放在奇数号盒中的不同放法种数.
（2）若不许空盒且将6个小球都放入4个盒中，求所有不同的放法种数.
21．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？（用数字做答）
（1）至少有一名队长当选．
（2）至多有两名女生当选．
（3）既要有队长，又要有女生当选．
22．如图，某地有南北街道5条、东西街道6条．一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，且途经C地，要求所走路程最短，共有多少种不同的走法？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果.
【详解】
根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，
先选出两个垃圾桶，有种选法，
之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有种放法；
所以不同的摆放方法共有种，
故选：C.
思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：
（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有种选法；
（2）之后就相当于三个元素的一个全排；
（3）利用分步乘法计数原理求得结果.
2．C
先计算出基本事件的总数，然后计算出大学生1个人在不同车厢的事件数，再根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
基本事件的总数有种，
大学生1个人在不同车厢的事件数为.
所以至少有2位大学生在同一节车厢的概率为.
故选：C
3．B
根据给定条件利用分类加法计数原理结合排列、组合知识计算作答.
【详解】
因甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，计算安排种数有两类办法：
若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有种；
若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有种，然后剩下的一个人和甲、乙
被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有种，则共有种，
综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为.
故选：B
4．A
根据，可得当自然数n大于或等于10时，的个位数和十位数都是0，从而可得的个位数字和十位数字即为的个位数字和十位数字，求出即可得解.
【详解】
解：因为，
所以当自然数n大于或等于10时，的个位数和十位数都是0，
所以的个位数字和十位数字即为的个位数字和十位数字，
，
所以的个位数字和十位数字分别为4和1，
所以，
所以.
故选：A.
5．A
根据排列数公式，化简计算，结合x的范围，即可得答案.
【详解】
由题意得，
化简可得，解得或6，
因为，所以且，故.
故选：A
6．A
观察，将数字分成三组，每组取一个数字可构成符合条件的，由此分析求解即可.
【详解】
∵这六个数中，，，，共3组
要使六个数字中任意取出3个数字构成一个三位数，剩下的三个数字构成另一个三位数，且，则从每组数字中抽取一个构成，所以共有种情况，的每个数字对应的同组数字按顺序构成对应的，故所有可能的有序实数组的个数也为48.
故选：A
7．B
排列组合中的特殊元素应该考虑优先放置，因为0不能作为数字的首位，可以考虑优先放置.
【详解】
若有0，组成的三位数有个，若不含0，组成的三位数有个；组成无重复数字的三位偶数，若含有0且在个位，组成的三位数偶有个，若含有0且在十位，组成的三位偶数有个，若不含0，组成的三位数偶数有个.所以组成的三位数为偶数的概率是，
故选：B.
8．A
甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，先排乙，可以是第二，三，四名3种情况，再排甲，也有3种情况，余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理求解即可.
【详解】
由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，
再排甲，也有3种情况，余下3人有种情况，
利用分步相乘计数原理知有种情况
故选：A.
思路点睛：解决排列组合问题的一般过程：
（1）认真审题弄清楚要做什么事情；
（2）要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元素.
9．D
由分步乘法原理求传递的不同信息种数.
【详解】
根据每行中紫色小方格的位置，可分三步：第一步，在第一行中，有且只有1个紫色小方格，有3种情况；第二步，在第二行的3个方格中，要求每列有且只有1个紫色小方格，则第二行有2种情况；第三步，在第三行，只有1种情况，则一共可以传递的信息种数是，
故选：D．
10．D
利用分步计数原理即得.
【详解】
根据题意可知，可分三步考虑：第一步，在8项中选取2项，共有种不同的方法；
第二步，甲在剩下6项中选取1项，共有种不同的方法；
第三步，乙在剩下5项中选取1项，共有种不同的方法．
根据分步乘法计数原理可知，两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（种）
故选：D．
11．A
从个位置中选2个位置填上或，其余位置填上0即可.
【详解】
所有有序数组 中,满足的
有序数组 中包含个0，另外两个数在或中选择，每个位置有2种选择，由乘法计数原理得不同的种数为
故选：A.
12．C
由题意得，化简计算可得，由于，，可得，从而可求出，经验证可得答案
【详解】
原来个车站有种车票，新增了个车站，有种车票，
由题意得，即，
整理得，∴，
∵，，∴，∴，解得，即.
当时，均不为整数，只有当时，符合题意，
∴，故现在有17个车站.
故选：C.
13．A
本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．
【详解】
由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．
对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．
14．D
讨论后5位全部为数字、有一个字母、有两个字母三种情况，其中有两个字母再分两个字母相同、不同两种，结合分类分步计数方法求最多能发放的汽车号牌数即可.
【详解】
1、后5位全部为数字，共有张牌，
2、后5位有一个字母：共有张牌，
3、后5位有两个字母：当两个字母相同，有张牌；当两个字母不同，张牌；
综上，共有张牌.
故选：D
15．D
由题意，知甲 乙 丙都不是第1名且乙不是最后两名，丙比甲和乙都好，则丙只能是第2名或第3名，然后利用分步分类计数原理求解即可
【详解】
由题意，知甲 乙 丙都不是第1名且乙不是最后两名，丙比甲和乙都好，则丙只能是第2名或第3名，
当丙是第2名时，乙只能是第3名或第4名，甲只能是3至6名中除乙外的3个名次中的一个，所以有种情况；
当丙是第3名时，乙只能是第4名，甲只能是第5名或第6名，所以有种情况.
故共有种不同的情况.
故选：D.
16．1440
根据甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，则甲、乙两人不能同时坐在1 与8位置或2 与7位置或3 与6位置或4 与5，先确定甲的位置有种，在确定乙的位置有种，最后确定剩下两人的位置有，最后再根据分步乘法原理即可得出答案.
【详解】
解：因为甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，
则甲、乙两人不能同时坐在1 与8位置或2 与7位置或3 与6位置或4 与5，
所以共有种不同的作法.
故答案为：1440.
17．
先分析从个球中取个球的情况数，然后分析个球中有个红球的情况数，两种情况数相除即可求解出对应概率.
【详解】
从个球中取个球的情况数有：种，
个球中有个红球的情况数有：种，
所以取到的红球数为的概率为：，
故答案为：.
思路点睛：本题考查利用组合数求解概率问题，难度较易.利用排列组合求解概率问题的思路：先利用排列组合求解出总的情况数，然后再分析满足要求的情况数，最后利用两者的比值表示对应的概率.
18．
先判断所有情况，种选择，然后把连续的天看成一个元素，另一天看成一个元素，则这两个元素不相邻，由插空法计算恰有两天连续的情况，代入古典概型公式计算.
【详解】
连续天中随机选择天，有种选择，其中恰好仅有天连续，把连续的天看成一个元素，另一天看成一个元素，则这两个元素不相邻，由插空法知有种选择，所以所求的概率为．
故答案为：
排列组合的实际应用问题中，一般遇到元素必须相邻的情况，采用捆绑法，遇到元素不能相邻的问题，采用插空法，如果既有相邻也有不相邻的综合情况时，注意先捆绑再插空.
19．（Ⅰ）2，1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
（Ⅰ）由甲、乙两组人数的比例是，再根据从甲、乙两组中共抽取3名工人求解.
（Ⅱ）根据古典概型的概率求法，分别计算从车间10名工人抽取2人的基本事件数，从4名女工人抽取1人的基本事件数，代入公式求解.
（Ⅲ）抽取的3名工人中恰有2名男工人分两种情况：甲组2男乙组1女或甲组1男1女乙组1男求解.
【详解】
（Ⅰ）因为车间甲组有10名工人，乙组有5名工人，
所以甲、乙两组的比例是，
又因为从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，
所以从甲、乙两组各抽取的人数是2，1；
（Ⅱ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人，
所以从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；
（Ⅲ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，
所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．
20．（1）①种；②种；（2）种.
(1)①根据题意，结合分步计数原理，先处理奇数号球，再处理偶数号球即可；
②根据题意，结合分类计数原理，讨论取出的奇数号球的个数，即可求解；
(2)根据题意，可知小球可分为1，1，2，2四组或1，1，1，3四组，再结合分类与分步计数原理即可求解.
【详解】
（1）①因为奇数号盒只放奇数号小球，每盒只放一个小球，所以先从3个奇数号小球中任取2个放入奇数号盒中，有种放法；再将剩余的4个小球中的2个放入余下的2个盒中，有种放法.从而不同的放法种数为.
②因为奇数号小球必须放在奇数号盒中，每盒只放一个小球，所以分两类讨论：
第一类，取1个奇数号小球和3个偶数号小球放入盒中，共有种放法；
第二类，取2个奇数号小球和2个偶数号小球放入盒中，共有种放法.
从而不同的放法种数为.
（2）由于不许空盒且将6个小球都放入盒中，所以考虑对6个小球先进行分组再放入盒中，分两类：
第一类，将6个小球分成1，1，2，2四组的不同分法种数为，再放入4个盒中，有种放法；
第二类，将6个小球分成1，1，1，3四组的不同分法种数为，再放入4个盒中，有种放法.
从而所有不同的放法种数为.
21．（1）825；（2）966；（3）790.
（1）分有一名队长和两名队长情况讨论得解；
（2）至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，即得解；
（3）分两种情况讨论，第一类：女队长当选；第二类：女队长不当选，即得解.
【详解】
（1）至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有种．或采用排除法有种．
（2）至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有种．
（3）分两种情况：第一类：女队长当选，有种；第二类：女队长不当选，有种．
故共有种．
22．60
由题可知从A到C，最短路程有种不同的走法，从C到B，最短路程有种不同的走法，再利用分步计数原理即得.
【详解】
由题意可知，从A经C到B的最短路程，只能向西、向南运动；
从A到C，最短路程需要向南走3次，向西走2次，即从5次中任取2次向西，剩下3次向南，有种不同的走法，
从C到B，最短路程需要向南走2次，向西走2次，即从4次中任取2次向西，剩下2次向南，有种不同的走法，
故从A经C到B的最短路程，共有种不同的走法.
答案第1页，共2页
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