第六章计数原理 单元练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第三册 第六章计数原理 同步练习
一、单选题
1．的展开式中项的系数为（ ）
A．140 B． C． D．1120
2．在关于的二项式的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为，且二项式系数最大的项的值为，则（ ）
A． B．或 C． D．或
3．若，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，该书介绍了我国古代14种算法，其中积算（即筹算） 太乙算 两仪算 三才算 五行算 八卦算 九宫算 运筹算 了知算 成数算 把头算 龟算 珠算13种均需要计算器械.某研究性学习小组3人分工搜集整理这13种计算器械的相关资料，其中一人搜集5种，另两人每人搜集4种，则不同的分配方法种数为（ ）
A． B． C． D．
5．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（ ）
A． B． C． D．
6．的展开式中的系数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
7．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ）
A．51个 B．54个 C．12个 D．45个
8．现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为（ ）
A．484 B．472
C．252 D．232
9．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为
A．30 B．60
C．90 D．120
10．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．12种
11．对于满足的正整数n，（ ）
A． B． C． D．
12．七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙 丙两人必须相邻，则排法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
二、填空题
13．在的二项展开式中，第______项为常数项.
14．若则 ___， __．
15．若，则____________.
16．如图，对“田”字型的四个格子进行染色.每个格子均可从红、黄、蓝三种颜色中选一种，每个格子只染一种颜色，且相邻的格子不能都染红色，则满足要求的染色方法有_________种.
三、解答题
17．由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数.
（1）共可以组成多少个五位数？
（2）其中奇数有多少个？
（3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由.
18．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）选5人排成一排；
（2）排成前后两排，前排4人，后排3人；
（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
（4）全体排成一排，女生必须站在一起；
（5）全体排成一排，男生互不相邻.
19．第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项．共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民．武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：
组别
频数 5 30 40 50 45 20 10
（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求的值（的值四舍五入取整数），并计算；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为．现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望．
（参考数据：；；．）
20．4个男同学，3个女同学站成一排．
(1)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？
(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
(3)3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？
(4)其中甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，则有多少种不同的排法？
(5)若3个女同学身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？
21．在的展开式中.求：
（1）所有项的系数和；
（2）的系数；
（3）系数最大的项.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
利用二项式定理求的展开式中，和项的系数，从而可求的展开式中项的系数.
【详解】
，
的展开式的通项公式为，
令，得，所以；
令，得，所以；
令，得，所以，
所以的展开式中项的系数.
故选：B.
2．D
根据末尾两项二项式系数和可求得，进而确定第项的二项式系数最大，利用展开式第项构造方程求得后，结合特殊角三角函数值可得结果.
【详解】
由题意知：，解得：，展开式的第项的二项式系数最大，
，即，，又，或.
故选：D．
3．A
根据排列数公式，化简得到关于的方程，求解即可.
【详解】
由，得，且
所以
即或舍去）.
故选：A
本题考查排列数方程的求解，注意排列数中不要忽，属于基础题.
4．A
按先分组后分配的方法计算出不同的分配方法种数.
【详解】
依题意，先将13种计算器械分为3组，方法种数为，再分配给3个人，方法种数为.
故选：A.
5．A
分为三人组中包含小明和小李和不包含小明和小李两类，分别计算方案种数即可得结果.
【详解】
由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，
当三人组中包含小明和小李时，安装方案有种；
当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有种，共计有种，
故选：A.
6．C
先求出项式的展开式的通项为，进而可以求出的展开式中含的项，由此即可求出结果.
【详解】
因为二项式的展开式的通项为，所以的展开式中含的项为，所以的系数为.
故选：C．
7．A
由题意分类讨论，结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】
由题意分类讨论：
（1）当这个三位数，数字2和3都有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，这样的三位数有(个).
（2）当这个三位数，2和3只有一个，需从1，4，5中选两个数字，这样的三位数有（个）.
（3）当这个三位数，2和3都没有，由1，4，5组成三位数，这样的三位数有（个）
由分类加法计数原理得共有(个)．
故选：A．
方法点睛：本题考查排列组合，解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步，具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
8．B
用间接法分析.先求出“从16张卡片中任取3张的所有取法数”，再分析“取出的3张为同一种颜色”和“取出的3张有2张绿色卡片”的取法数，从而可求出答案.
【详解】
根据题意，不考虑限制，从16张卡片中任取3张，共有种取法，
如果取出的3张为同一种颜色，则有种情况，
如果取出的3张有2张绿色卡片，则有种情况，
故所求的取法共有种.
故选：B.
9．D
将5艘驱逐舰和3艘核潜艇分两类求解即可得到答案.
【详解】
由题意得2艘驱逐舰和1艘核潜艇，3艘驱逐舰和2艘核潜艇的组建方法种数为，
2艘驱逐舰和2艘核潜艇，3艘驱逐舰和1艘核潜艇的组建方法种数为
共60+60=120种，
故选D
本题考查排列组合的简单应用，属于基础题.
10．C
按甲先传给乙和甲先传给丙分两类，两类方法相等，对第一类用列举法写出不同的传递方式后可得．
【详解】
解析：若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传递方式；同理，甲先传给丙也有3种不同的传递方式.故共有6种不同的传递方式.
答案：C．
11．C
根据排列数定义，确定元素总数和选取个数即可得出结论.
【详解】
根据排列数定义，要确定元素总数和选取个数，元素总数为，
选取个数为，.
故选：C．
本题考查排列数的概念，属于基础题型.
12．D
特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，再利用捆绑法即求.
【详解】
特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余四个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有(种)．
故选：D
13．7
直接利用二项式的通项公式，令的指数为0，求出即可．
【详解】
解：的二项展开式的通项为，令，解得，即时，二项展开式为常数项，即第7项是常数项．
故答案为：7．
14． 1 13
先令可求的值，再对恒等式两边求导数后令可求的值，从而可得所求的值.
【详解】
设，
则，
令，则，
在恒等式中令，
则即，
故.
故答案为：1，13．
15．28
由组合数的性质可得答案.
【详解】
由，
得或，
解得，或舍去，.
故答案为：28.
16．56
按“没有一格染红色”、“恰有一格染红色”、“恰有两格染红色”分类即可.
【详解】
若4个格子中没有一格染红色，每格都染黄或蓝，有 种不同染法：
若4个格子中恰有一格染红色，4格中选一格染红，其余3格染黄或蓝，有种不同染法；
若4个格子中恰有两格染红色，有2种情况，其余2格染黄或蓝，有种不同所以不同染法.
共有56种.
故答案为:56
17．(1) 120 (2) 72 (3) 85
（1）利用全排列，可得结论；
（2）由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位奇数，第五位是有限制条件的元素，第五个数字必须从1、3、5中选出，其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列；
（3）根据题意，先有排列数公式求出用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数的个数，再分4种情况讨论分析大于43125的数个数，由间接法分析可得答案．
【详解】
解：（1）由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，共可以组成A55＝120个五位数
（2）∵由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数的奇数，
∴第五个数字必须从1、3、5中选出，共有C31种结果，
其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列，共有A44种结果，
根据分步计数原理得到共有C31A44＝72；
（3）根据题意，用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，有A55＝120种情况，即一共有120个五位数，
再考虑大于43125的数，分为以下四类讨论：
1、5在首位，将其他4个数字全排列即可，有A44＝24个，
2、4在首位，5在千位，将其他3个数字全排列即可，有A33＝6个，
3、4在首位，3在千位，5在百位，将其他2个数字全排列即可，有A22＝2个，
4、43215，43251，43152，共3个
故不大于43125的五位数有120﹣（24+6+2+3）＝85个，
即43125是第85项．
本题考查排列组合，简单计数原理，解排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．属于中档题.
18．（1）2520种（2）5040种（3）3600种（4）576种（5）1440种
（1）按照排列的定义求解..
（2）分两步完成，先选4人站前排进行排列，余下3人站后排进行排列，然后相乘求解..
（3）先考虑甲，再其余6人进行排列，然后相乘求解.
（4）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，再将女生全排列，然后相乘求解.
（5）先排女生，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，然后相乘求解.
【详解】
（1）从7人中选5人排列，有（种）.
（2）分两步完成，先选4人站前排，有种方法，余下3人站后排，有种方法，共有（种）.
（3）（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有（种）.
（4）（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有（种）.
（5）（插空法）先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有种方法，共有（种）.
本题主要考查了对排列的理解和排列数的计算，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
19．（1），；；（2）分布列见解析；期望为．
（1）根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而X～N（65，142），根据3σ原则，计算P（51＜X＜93）即可；
（2）列出Y所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望．
【详解】
解：（1）由已知得，
，
由，则，而，所以，则X服从正态分布，
所以；
（2）显然，，
所以所有Y的取值为15，30，45，60，
，，
，，
所以Y的分布列为：
Y 15 30 45 60
P
所以.
20．(1)720
(2)1440
(3)144
(4)960
(5)840
小问1：我们可视排好的女同学为一整体有种排法，再与男同学排队即可；
小问2：先将男同学排好，共有种排法，再利用插空法即可；
小问3：根据分步乘法计数原理先排男生再排女生即可；
小问4：先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，再把甲、乙看一整体排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中即可；
小问5：从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．再在余下的3个空位置中排女生按身高排列有一种排法，即可求解．
(1)
3个女同学是特殊元素，她们排在一起，共有种排法．我们可视排好的女同学为一整体，
再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有种排法．由分步乘法计数原理，得共
有（种）不同的排法；
(2)
先将男同学排好，共有种排法，再在这4个男同学之间及两头的5个空当中插入3个女
同学有种方案，故符合条件的不同的排法共有（种）；
(3)
3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有（种）；
(4)
先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有种排法；
由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有种排法；
最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中有种排法．
故总共有（种）不同的排法；
(5)
从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．再在余下的3个空位置中排女
生，由于女生要按身高排列，故仅有1种排法．故总共有（种）不同的排法．
21．（1）；（2）；（3）.
（1）令求解即可.
（2）先求得展开式的通项公式， 再令求解.
（3）设第项的系数最大，由求解.
【详解】
（1）令，该展开式中所有项的系数和为.
（2）该展开式的通项公式为，，
令，解得，
故的系数为.
（3）设第项的系数最大，
则，
解得，
又，
所以，
故该展开式中系数最大的项为.
答案第1页，共2页
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