1.3空间向量及其运算的坐标表示 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 1.3 空间向量及其运算的坐标表示
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则
A． B． C． D．
2．如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则它在下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知空间四点，，，共面，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知三维数组，，且，则实数（ ）
A．-2 B．-9 C． D．2
6．已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知两个向量，，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．正方体的棱长为2，且，过P作垂直于平面的直线l，l交正方体的表面于M，N两点.下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．四边形面积的最大值为
C．若四边形的面积为，则
D．若，则四棱锥的体积为
9．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
10．向量，向量，若，则实数（ ）
A． B．1 C． D．
11．若与共线，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
12．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是_______．
14．与向量共线的单位向量是__________________________________．
15．已知直线l的方向向量，且l过和，则______．
16．在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝，则m的值为________.
三、解答题
17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点.
（1）求异面直线与间的距离；
（2）在侧面PAB内找一点N，使平面，并求出N到AB和AP的距离.
18．已知，，．
(1)求以线段，为邻边的平行四边形的面积；
(2)是否存在点，使四边形为等腰梯形，且？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．已知，，求，，，，．
20．已知，，．求：
（1）；
（2）．
21．如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AC⊥AB，AC=AB=4，AA1=6，点E、F分别为CA1、AB的中点.
（1）证明:平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
由题意，根据点关于平面的对称点，求得的坐标，利用向量的数量积的坐标运算，即求解.
【详解】
由题意，空间直角坐标系中，点关于平面的对称点，
所以,则，故选D.
本题主要考查了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记空间向量数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2．D
过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，证明此时的使得最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，的最小值为.
【详解】
过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点.
可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时.
在点D处建立如图所示空间直角坐标系，
则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以,
又点F距平面的距离为1，所以,
的最小值为.
故选：D
3．C
【详解】
设向量在基底下的坐标为，
则，
所以解得
故在基底下的坐标为.
故选：C.
本题解题的关键是设向量在基底下的坐标为，进而根据向量相等列方程求解，考查运算求解能力，是基础题.
4．D
求得、、的坐标，根据题意可知存在实数、，使得，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，进而可求得实数的值.
【详解】
依题意得，，，
、、、四点共面，、、共面，
存在实数、，使得，
即，所以，解得.
故选：D.
本题考查利用空间向量法处理四点共面的问题，考查计算能力，属于中等题.
5．D
由空间向量的数量积运算即可求解．
【详解】
∵，，，，，，且，
∴，解得．
故选：D．
6．C
建立空间直角坐标系，
【详解】
由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标法计算，利用不是平角，可得为钝角等价于，即，即可求出实数的取值范围.
设正方体的棱长为1，
则有
∴，∴设，
∴，
，
由图知不是平角，∴为钝角等价于，
∴，
∴，
解得
∴的取值范围是
故选：C.
7．C
由，可知，使，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.
【详解】
∵，∴，使，得，解得：，所以
故选：C
思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知，引入参数，使，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由，得，求出m，n.
8．B
以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出四边形的面积，依据相应条件分别对进行计算，可判断的正确性
【详解】
因为与不垂直，所以与平面不垂直，A不正确.
如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，.
因为，所以.因为平面，
所以，则，
.若平面，则，
即，，；若平面，则，即，，.因为，
所以四边形的面积.
当时，四边形的面积最大，且最大值为，
点B到直线的距离为，
即点B到平面的距离为，故四棱锥的体积，B正确，D不正确.
若四边形的面积为，则或，解得或，C不正确，
故选：B.
9．A
由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案．
【详解】
解：向量，
则，，，
所以向量在向量上的投影向量为．
故选：．
10．C
由空间向量垂直的坐标表示列方程即可求解.
【详解】
因为向量，向量，若，
则，解得：，
故选：C.
11．D
根据与共线，由求解.
【详解】
∴与共线，
∴，即，
∴，.
故选：D
12．C
利用空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】
因为，，
所以，
故选：C.
13．
利用，即可求解．
【详解】
，
，
，
故答案为：．
本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
14．和
利用与共线的单位向量为或求解即可
【详解】
设，则
所以与共线的单位向量为
或，
故答案为：和
结论点睛：本题考查求空间向量的单位向量，利用与共线的单位向量为或求解即可，考查学生的运算求解能力，属于基础题.
15．0
根据向量共线得到，解出未知量即可.
【详解】
由题意可得与共线，则，
解得，，则．
故答案为：0.
16．或13
由空间两点间的距离公式可得答案.
【详解】
，
所以，即
所以m＝－7或13.
故答案为：m＝－7或13.
17．（1）；（2）到的距离为，到的距离为.
（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与间的距离.
（2）设，利用平面列方程，求得，由此求得点的坐标，从而求得到和的距离.
【详解】
（1）由题意得AB⊥AD，PA⊥AD，PA⊥AB.
以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0，0，0)，C(，1，0)，P(0，0，2)，B(，0，0)，
∴=(，1，0)，=(，0，-2)，=(0，0，2)，
设异面直线AC、PB的公垂线的方向向量为，则，，
∴令x=1，则y=-，z=，即.
设异面直线AC、PB之间的距离为d，
则d===.
（2）设在侧面PAB内存在一点N(a，0，c)，使NE⊥平面PAC，
由（1）知E，
∴=，
∴,
解得,
∴，
∴N到AB的距离为，N 到AP的距离为.
18．(1)
(2)不存在，理由见解析
（1）先求出向量的坐标，进而得出其夹角的余弦值，再求出其正弦值，从而可得答案.
（2）假设存在点满足条件， 得出向量，的坐标，由四边形是等腰梯形，且，且，求出的值，再检验，得出答案.
(1)
由于，，，
因此，，
而，所以，
所以．
即以线段，为邻边的平行四边形的面积为．
(2)
假设存在点满足条件，则，．
因为四边形是等腰梯形，且，所以．
又，，所以，
解得或．
当，，时，，故此时四边形为平行四边形，不合题意；
当，，时，点与点重合，不合随意．
故假设不成立，即不存在满足条件的点．
19．；；；；
.
根据空间向量运算的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】
；
；
；
；
.
20．（1）9，（2）
（1）先求出，再利用数量积运算性质求解即可；
（2）直接利用向量坐标的加减法运算性质求解
【详解】
解：（1）因为，，
所以，
因为，
所以，
（2）因为，，，
所以
21．（1）证明见解析；（2）.
（1）通过证明来证得平面.
（1）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量来计算出与平面所成角的正弦值.
【详解】
（1）如图，连接EC1、BC1，
因为三棱柱A1B1C1-ABC为直三棱柱，
所以E为AC1的中点.
又因为F为AB的中点，所以.
又EF 平面BCC1B1，BC1 平面BCC1B1，所以平面.
（2）以A1为原点，A1C1、A1B1、A1A所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(0，0，6)，B1(0，4，0)，E(2，0，3)，F(0，2，6)，
所以=(0，-2，6)，=(2，0，-3)，=(0，2，0)，
设平面AEF的法向量为，则
令x=3，得，
记B1F与平面AEF所成角为θ，则.
答案第1页，共2页
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