1.4空间向量的应用 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 1.4 空间向量的应用 同步练习
一、单选题
1．已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（ ）
A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直
3．如图所示，正方体的棱长为，，分别为和上的点，且，则与平面的位置关系是（ ）．
A．斜交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
4．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知平面内的两个向量，且．若为平面的法向量，则的值分别为（ ）
A． B． C．1，2 D．
6．如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，面，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．若直线l的方向向量为，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体，则下列叙述正确的是（ ）
①平面的法向量与平面的法向量垂直；
②异面直线与所成的角为；
③四面体有外接球；
④直线与平面所成的角为.
A．②④ B．③ C．③④ D．①②③④
10．给出以下命题，其中正确的是（ ）
A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
B．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
C．平面α、β的法向量分别为，，则α∥β
D．平面α经过三个点A(1，0，-1)，B(0，-1，0)，C(-1，2，0)，向量是平面α的法向量，则u+t=1
11．如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的取值范围为（ ）(参考数据：)
A． B． C． D．
12．如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且PA=．若点M为PD中点，则直线CM与PB所成角的大小为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．90°
二、填空题
13．在三棱柱中，，，，则该三棱柱的高为______．
14．正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为___________.
15．三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，，点Q为平面ABC内的动点，且满足，记直线PQ与直线AB的所成角为，则的取值范围为___________.
16．已知平面α和平面β的法向量分别为，，且α⊥β，则x=________.
17．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，，则实数______．
三、解答题
18．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.
（1）求点到直线的距离；
（2）求直线到平面的距离.
19．在等腰梯形中，，，，E为中点，将沿着折起，点C变成点P，此时．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3.点M在棱PD上，且DM＝2MP，点N为BC中点.
（1）证明：直线MN∥平面PAB；
（2）求二面角C﹣PD﹣N的正弦值.
21．如图，四边形与均为菱形，，，且.
（1）求证：平面；
（2）求钝二面角的余弦值；
（3）若为线段上的一点，满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
本题首先可根据题意得出，然后求出与，最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果.
【详解】
因为，，所以，
则，，
由点到直线的距离公式得，
故选：A.
2．C
由题设知，根据空间向量共线定理，即可判断平面与平面的位置关系.
【详解】
平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，
，
平面与平面的关系是平行或重合．
故选：C．
3．B
设，，，由空间向量的线性运算可得到，由此证得与，共面，可知平面，进而得到结论.
【详解】
设，，，
由题意知：，又，
，，
则，
与，共面，
平面，又平面平面，平面．
故选：B.
4．C
以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 由题意，计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解.
【详解】
解：如图，以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
因为，
所以，，,
所以点P到AB的距离．
故选：C.
5．A
由空间向量线性关系的坐标运算求坐标，再根据为平面的法向量有，即可求.
【详解】
．
由为平面的法向量，得，即，解得．
故选：A
6．A
以分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量的坐标和的坐标，计算即可求解.
【详解】
在正方体中以分别为轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，
则，，，，，，，
因为面，所以面的一个法向量为，
设与平面所成角为，
因为 则，
故选：A .
7．C
画出四面体，建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可.
【详解】
四面体是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示
建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为
因为异面直线夹角的范围为，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为
故选：C
本题主要考查了利用向量法求异面直线夹角的余弦值，属于中档题.
8．D
设向量起点为原点，终点为，则直线的斜率即为直线的斜率.
【详解】
取坐标平面内两点和，则，则直线斜率即为直线的斜率，而，所以直线的斜率为.
故选：D．
9．C
①由题设四面体相关侧面的关系即可判断正误；②过、作、的平行线且交于，连接，则就是异面直线与的夹角，设求相关边的长度，再应用余弦定理求；③由四面体的性质即可知正误；④由面面垂直确定与平面所成的角是，即知线面角的大小.
【详解】
①平面的法向量与平面的法向量垂直，而与平面的法向量不垂直，故错误；
②过作的平行线，过作的平行线，两平行线交于点，联结，则就是异面直线与的夹角，过作，联结、，
若，则，
由，面面，面面，面，
∴面，面，则，同理可证，
∴，，易得，故错误；
③由于所有的四面体都有外接球，故正确；
④因为平面，所以与平面所成的角是，正确.
故选：C
10．A
判断直线的方向向量和平面的法向量间的关系，判断线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.
【详解】
对于A，∵，
∴，∴l与m垂直，A正确；
对于B，∵与不共线，
∴直线l不垂直平面α，B错误；
对于C，∵与不共线，
∴平面α与平面β不平行，C错误；
对于D，=(-1，-1，1)，=(-1，3，0)，
由n·=-1-u+t=0，n·=-1+3u=0，解得u=，t=，∴u+t=，D错误.
故选：A.
11．B
首先以点为原点建立空间直角坐标系，证明平面，并求，然后将异面直线与所成的角，转化为与所成的角，再如图建立第二个坐标系，利用坐标法求异面直线所成的角的余弦值，再求角的范围.
【详解】
如图，建立空间直接坐标系，连结，交平面于点，
，，，，，
，，，
，，，
平面，
根据等体积转化可知，
即，解得：，
，,
，异面直线与所成的角，转化为与所成的角，
如图，将部分几何体分类出来，再建立一个空间直角坐标系，取的中点，过点作，则以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系
，，，，，
，,
，
即，，
即
，即，
，
因为异面直线所成的角是锐角，并设为，则，
，，
故选：B
关键点点睛：本题的关键是利用空间直角坐标系，解决异面直线所成的角，关键是如何建立坐标系，解决问题，本题建立两个坐标系，目的是方便解决问题.
12．C
以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出，，利用向量法即可求出.
【详解】
如图所示：以为坐标原点，以，，为单位向量建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
故，，
故，
由异面直线夹角的范围是，故直线与所成角的大小为.
故选：C.
13．2
三棱柱的高即为到平面的距离，利用点到平面距离的空间向量求法可求得结果.
【详解】
由题意知：
该三棱柱的高即点到平面的距离
设是平面的一个法向量
则，令，解得：，
故答案为：2
本题考查空间向量法求解点到平面的距离问题，关键是能够将三棱柱高的求解问题成功转化为点到面的距离的求解问题.
14．2.
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，由得，证明为与平面所成角，令，用三角函数表示出，求解三角函数的最大值得到结果.
【详解】
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则，
，又，
得即；
又平面，为与平面所成角，
令，
当时，最大，即与平面所成角的正切值的最大值为2.
故答案为：2
本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题，一般是建立空间直角坐标，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求解，考查了学生的运算求解能力和直观想象能力.
15．
根据已知条件先确定出在平面内的轨迹，然后通过建立空间直角坐标系，根据两直线方向向量夹角的余弦值结合三角函数值的范围，计算出两直线所成角的正弦值的取值范围.
【详解】
因为两两垂直，且，所以由全等三角形可知，
所以三棱锥为正三棱锥，记在底面内的投影为，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，所以的轨迹是以为圆心半径为的圆，
取中点，连接，可知经过点，建立如下图所示的空间直角坐标系：
设，，
所以，
所以，
所以，
所以，且，
所以，所以，
故答案为：.
思路点睛：异面直线所成角的余弦值的向量求法：
（1）先分别求解出两条异面直线的一个方向向量；
（2）计算出两个方向向量夹角的余弦值；
（3）根据方向向量夹角的余弦值的绝对值等于异面直线所成角的余弦值求解出结果.
16．
根据法向量垂直即可求出的值.
【详解】
∵α⊥β，∴，即，解得.
故答案为：.
17．3
根据题意，结合面面平行的向量证法与向量的共线定理，即可求解.
【详解】
∵，∴，∴存在，使得，解得．
故答案为：3.
18．（1）；（2）.
（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，取，，根据空间向量点到直线距离公式，可得点点到直线的距离；
（2）易证平面，则点到平面的距离为直线到平面的距离，求出平面的一个法向量，再求出，根据点到面的距离公式，可得直线到平面的距离．
【详解】
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，， .
（1）取，，则.
所以，点到直线的距离为.
（2）因为，所以，所以平面.
所以点到平面的距离为直线到平面的距离.
设平面的法向量为，则
所以
所以
取，则.所以，是平面的一个法向量.
又因为，所以点到平面的距离为.
即直线到平面的距离为.
19．（1）见解析；（2）
（1）利用折叠前后不变的量，可得到等边三角形；根据题意，可得四边形ABED是平行四边形、是等边三角形；善用等边三角形“三线合一”的性质得到垂直关系，可证明平面PCH，从而，即.
（2）因为，只需再证平面，即可建立空间直角坐标系.写出各点坐标，求得平面BCP的法向量，代入线面夹角公式求解.
【详解】
（1）证明：取BE中点记为H,连结PH、CH，
是CD中点, ，
，
且，
四边形ABED是平行四边形，
，
是边长为2等边三角形，
由题意可知，，
是边长为2的等边三角形，
是中线，PH是中线，
，，
又，
平面PCH，
，
；
（2）解：由（1）可求得 ，
，
，
，
又，
平面，
以为原点，HB，HC，HP所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系，
，
，
设平面BCP的法向量为 ，
，即，令, 则，
平面BCP的法向量为，
设直线与平面所成角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20．（1）证明见解析；（2）.
（1）如图，以A为原点，分别以方向为x，y，z轴方向建立空间直角坐标系，证明，即得证；
（2）利用向量法求二面角C﹣PD﹣N的正弦值.
【详解】
解：（1）证明：如图，以A为原点，分别以方向为x，y，z轴方向建立空间直角坐标系，由题意，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，3，0），P（0，0，3），M（0，1，2），N（2，1，0）.
显然，是平面ABP的一个法向量，，
故，即，
又因为MN 平面PAB，故直线MN∥平面PAB.
（2）设平面PCD的法向量为，
又，
由，得取z＝2，可得.
由已知，可得.
设平面PDN的法向量为，有，
取z＝1，可得.
所以，
因此
所以二面角C﹣PD﹣N的正弦值为.
21．（1）证明见解析；（2）；（3）.
（1）设与相交于点，连接，利用菱形的性质可得出，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）推导出平面，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得钝二面角的余弦值；
（3）设，求出向量的坐标，利用空间向量法结合已知条件可得出关于的方程，结合可求得的值，由此可求得结果.
【详解】
（1）设与相交于点，连接，
四边形为菱形，，
且为中点，，，
又，平面，平面，平面；
（2）连接，四边形为菱形，且，为等边三角形，
为的中点，，
又，，平面，平面，平面.
、、两两垂直，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如下图所示：
因为，四边形为菱形，，，，
为等边三角形，，
则，，，，
，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，得.
设平面的法向量为，则，
令，则，，得.
所以.
又因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为；
（3）设，
则，
所以，
化简，解得：或（舍）.
所以.
思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：
（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；
（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；
（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.
答案第1页，共2页
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