2.3直线的交点坐标与距离公式 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 2.3 直线的交点坐标与距离公式
一、单选题
1．已知直线与直线和的距离相等，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．已知直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（ ）
A． B． C． D．
7．设直线 与直线的交点为,则到直线的距离最大值为
A． B． C． D．
8．直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点坐标为（ ）
A．(－1，1) B．(1，－1)
C．(1，1) D．(－1，－1)
9．若直线x＋3y－9＝0与直线x＋3y－c＝0的距离为，则c的值为（ ）
A．－1 B．19
C．－1或19 D．1或－19
10．设集合，，若，则实数a的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．或2
11．已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知点，，点在轴上，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
二、填空题
13．过原点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰好被点平分，则直线的方程为______________.
14．一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的一般方程为___________.
15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使路线最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在的直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_________.
16．已知m，n，a，，且满足，，则的最小值为________.
三、解答题
17．已知直线l：，（）.
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
18．（1）已知点P是平面上一动点，点，是平面上两个定点，求的最小值，并求此时P的坐标；
（2）求函数的最小值．
19．已知两条直线：和：，求满足下列条件的 的值.
（1），且过点；
（2），且坐标原点到这两条直线的距离相等.
20．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
21．已知的顶点A（3，1），边AB上的高CE所在直线的方程为x+3y-5=0，AC边上中线BD所在的直线方程为x+y-4=0
（1）求直线AB的方程；
（2）求点C的坐标．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
设所求直线方程为：，根据该直线与和的距离相等，建立方程求解可得选项.
【详解】
设所求直线l方程为：，
因为直线l与；距离相等，所以，解得，
所以所求直线方程为：，
故选：D.
2．C
分焦点在x轴和y轴两种情况分别求出焦点坐标，然后根据抛物线的标准形式可得答案．
【详解】
当焦点在x轴上时，根据，可得焦点坐标为得 ，
则抛物线的标准方程为，
当焦点在y轴上时，根据，可得焦点坐标为，
则抛物线的标准方程为.
故选：C．
本题主要考查抛物线的标准方程．解题时注意分焦点在x轴上、焦点在y轴上两种情形讨论．属基础题．
3．C
根据题意得直线恒过点，进而得直线的斜率的取值范围为：或，再根据，解不等式即可得答案.
【详解】
直线方程变形得：.
由得，∴直线恒过点，
，，
由图可知直线的斜率的取值范围为：或，
又，
∴或，即或，
又时直线的方程为，仍与线段相交，
∴的取值范围为.
故选：C.
本题解题的关键在于根据直线系方程得直线恒过点.考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题.
4．C
求出关于的对称点,根据题意，为最短距离，求出即可.
【详解】
设点关于的对称点，设军营所在区域为的圆心为,
根据题意，为最短距离，
的中点为，，直线的斜率为1,
解得：,
，
故选: C.
本题考查点关于直线对称，点与圆心的距离，考查运算求解能力，求解时注意对称性的应用.
5．D
由直线与直线的交点在直线上可设直线，在直线上取一点，由该点到直线与的距离相等列方程即可得解.
【详解】
联立，解得，
所以直线与直线的交点为，
所以点在直线上，
所以可设直线即，
在直线上取一点，则该点到直线与的距离相等，
所以，解得或（舍去）.
所以直线的斜率为.
故选：D.
关键点点睛：解决本题的关键是由直线对称的几何特征转化为代数问题，细心运算即可得解.
6．B
根据中点坐标公式求解出中点的坐标，结合两点间距离公式求解出边上中线的长.
【详解】
设边的中点为.
因为，，所以，，
即，所以，
故选：B.
7．A
先求出的坐标，再求出直线所过的定点，则所求距离的最大值就是的长度.
【详解】
由可以得到，故，
直线的方程可整理为：，故直线过定点，
因为到直线的距离，当且仅当时等号成立，
故，
故选A.
一般地，若直线和直线相交，那么动直线（）必过定点（该定点为的交点）.
8．A
联立两直线方程求解.
【详解】
由
解得
所以直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点坐标为(－1，1)
故选：A
9．C
由题意利用两条平行线间的距离公式，可的c的值．
【详解】
由两平行线间的距离公式得，
d＝＝，
所以| c－9|＝10，得c＝－1或c＝19．
故选：C.
10．C
本题先化简集合A、集合B，再结合，确定直线与平行或直线过点，最后求实数a的值.
【详解】
解：集合A表示直线，即上的点，但除去点，
集合B表示直线上的点，
当时，
直线与平行或直线过点，
所以或，
解得或．
故选：C.
本题考查集合的运算、利用两条直线平行求参数、利用两条直线的交点求参数，是基础题.
11．C
求出点的轨迹方程，确定点轨迹，然后通过几何意义求得最大值．
【详解】
由，消去参数得，
所以在以为圆心，为半径的圆上，
又点B是圆上的动点，此圆圆心为，半径为，
，
∴的最大值为．
故选：C.
本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式．由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最大值可以转化为到圆心的距离与半径的和．
12．B
利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可.
【详解】
点，，点在轴上，
点关系轴的对称点为，
.
故选：B.
13．
设两交点分别为，，利用中点为原点求解a,b，得到A点坐标，即得解.
【详解】
设两交点分别为，，
则故点，
所以直线的方程为.
故答案为：
本题考查了直线与直线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于中档题.
14．
根据条件，求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点(0，2)关于直线的对称点即可.
【详解】
由光的反射定律知，反射光线所在直线与直线关于直线对称，
则得，即有光线的入射点为，
设直线上的点(0，2)关于直线对称点为，则，解得，
因此，反射光线所在直线必过点和点，直线AB方程为：，整理得：，
所以反射光线所在直线的一般方程为：.
故答案为：
15．
利用点关于直线对称点的求法可求得点关于直线的对称点的坐标，由此可知所求最短路线为.
【详解】
设点关于直线的对称点为，
则，解得：，即，
“将军饮马”的最短总路程为.
故答案为：.
16．1
设点，，直线，直线， 的最小值可转化为点与点两点间距离的最小值，显然最小值为两平行线之间的距离.
【详解】
设点，，直线，直线，
由题意知点在直线上，点在直线上，
所以，
显然，所以的最小值就是两平行线之间的距离，
即.
故答案为：1.
本题考查两点间的距离公式，考查两平行线之间的距离公式，考查逻辑思维能力和计算能力，考查转化思想，属于常考题.
17．(1)；(2) S的最小值为16，直线l的方程为
(1)直线含参先求出定点，再利用数形结合求出k的取值范围；
(2)直线过定点求面积的最值，可将直线直接设为截距式，再利用基本不等式求出其面积最小值及直线方程.
【详解】
(1) 直线方程为：，所以直线恒过.由图可得，
当直线由逆时针旋转到时，直线不过第四象限，所以.
(2)设直线l为，因为在直线上，所以.
又，所以，两边同时平方得：，，当且仅当，即，时取等号，所以的面积为，此时直线方程为，化简得：.
18．（1）最小值为5，此时；（2）．
(1)设，利用两点距离公式，构建关于x、y的函数，由函数式的几何意义即可得最小值及对应坐标；
(2)将函数转化为动点到两定点的距离问题，结合坐标系即可求得最小值
【详解】
（1）设，
则，
，
即P到距离最小时，最小
当，时，的值最小．
故的最小值为5，此时．
（2）
设，，，如图，则上述问题转化为求的最小值．
点A关于x轴的对称点为，即可转化为P在x轴移动过程最短问题
的最小值为．
本题考查了两点距离公式，根据函数解析式的几何意义，结合坐标系求最值，需注意代数式的几何含义以及两点间线段最短等知识的应用
19．（1），；（2），或，.
（1）由两线垂直的判定及点在直线上列方程组求参数即可；
（2）由两线平行的判定，两直线到原点距离相等即y轴截距互为相反数，列方程组求参数，注意验证所得结果是否存在两线重合的情况.
【详解】
（1）知：，又过点有，
∴，代入得：，即，故.
（2）知：，则，
又坐标原点到这两条直线的距离相等，即y轴上的截距互为相反数，故，
∴
∴时，；时，；
将 代入直线方程验证可知： 均不重合，
∴，或，.
20．(1)(－2，3) （2）(12,10)
(1)首先判定A、B两点在直线的同侧还是异侧，在同侧需要找对称点，利用三点共线求最小值.
（2）首先判定A、B两点在直线的同侧还是异侧，在异侧需要找对称点，利用三角形两边之差小于第三边求最大值.
【详解】
（1）根据题意可知：A、B在直线同侧，
设A点关于直线l的对称点为，的坐标（）.
则有：，
解得：
直线的方程为：x=-2，直线与l的交点为（-2，3）.
则|PA|＋|PB|的值最小值.
(2)由（1）知A、B在直线同侧，求得直线AB方程：y=x-2,
直线AB与l的交点为（12,10）时，||PB|－|PA||最大.
本题考查点与直线的位置关系，点关于直线的对称问题，以及平面几何知识.
21．（1）；（2）．
（1）求出直线AB的斜率为，再利用点斜式即可求解.
（2）设，由题意可知为AC中点可得，代入直线CE所在直线，再由，联立方程即可求解.
【详解】
（1）∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为，
∴直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为，即；
（2）设，
由为AC中点可得，
∴，
解得，代入，
∴．
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