2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、单选题
1．已知在圆上到直线的距离为的点恰有三个，则（ ）
A． B． C． D．8
2．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线与圆：交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦尺，弓形高寸，则阴影部分面积约为（注：，，1尺=10寸）
A．6.33平方寸 B．6.35平方寸
C．6.37平方寸 D．6.39平方寸
5．过圆内一点作直线交圆O于A，B两点，过A，B分别作圆的切线交于点P，则点P的坐标满足方程（ ）
A． B． C． D．
6．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
7．已知点为直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．已知点P在直线上，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB距离的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
10．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．外离 D．内切
11．已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
12．若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是（ ）
A．9 B．4 C． D．
13．已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
14．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
15．若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣6=0.直线l过点(0，3)，且与圆C交于A B两点，|AB|=4，则直线l的方程___________.
17．若M，N分别为圆C1：，与圆C2：上的动点，P为直线上的动点，则的最小值为_________．
18．若直线过，且被圆：截得的弦长为，则直线方程为________.
三、解答题
19．已知圆:,直线.
(1)若直线与圆相切,求的值;
(2)若直线与圆交于不同的两点,当∠AOB为锐角时,求k的取值范围;
(3)若,是直线上的动点,过作圆的两条切线,切点为,探究:直线是否过定点．
20．已知圆C的圆心在直线上，且圆C与x轴相切，点在圆C上，点在圆C外．
（1）求圆C的方程；
（2）若过点的直线l交圆C于A，B两点，且，求直线l的方程．
21．已知直线过点，再从下列条件①、条件②、条件③这三个条件中任意选择一个作为已知，求直线的方程.
条件①：直线经过直线与 的交点；
条件②：直线与圆相切；
条件③：直线与坐标轴围成的三角形的面积为．
22．已知点在圆上运动.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
求出圆心到直线的距离，结合题意即可求得的值．
【详解】
解：因为圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
因为在圆上到直线的距离为的点恰有三个，
所以．
故选：．
2．A
将两圆的方程相减可得公共弦方程，从而求得定点，利用点在直线上可得，再代入消元，转化成一元二次函数的取值范围；
【详解】
解：由圆，圆，
得圆与圆的公共弦所在直线方程为，求得定点，
又在直线上，，即.
∴，∴的取值范围是.
故选：A.
本题考查圆的公共弦方程求解、一元二次函数的最值，考查转化与化归思想的运用.
3．D
先求出圆的圆心和半径，根据已知条件可得圆心到直线的距离等于，即可求解.
【详解】
由可得：，
所以圆心，半径，
由为等腰直角三角形知，
圆心到直线的距离，
所以，解得，
故选：D.
4．A
连接OC，设半径为r，则，在直角三角形中应用勾股定理即可求得r，进而求得扇形的面积，减去三角形即可得阴影部分的面积．
【详解】
连接OC，设半径为r，寸，则
在直角三角形中，
即，解得
则 ，所以
则
所以扇形的面积
三角形的面积
所以阴影部分面积为
所以选A
本题考查了直线与圆的位置关系在实际问题中的应用，三角形函数的概念及扇形面积公式的应用，属于基础题．
5．A
设出点坐标，求解出以为直径的圆的方程，将圆的方程与圆的方程作差可得公共弦的方程，结合点在上可得点P的坐标满足的方程.
【详解】
设，则以为直径的圆，即①
因为是圆O的切线，所以，所以A，B在圆M上，
所以是圆O与圆M的公共弦，又因为圆②，
所以由①②得直线的方程为：，
又点满足直线方程，所以，即.
故选：A.
6．B
求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系即可求解.
【详解】
解：直线，即，
由得，所以直线恒过定点，
因为，所以定点在圆内，所以直线与圆相交，
故选：B.
7．C
连接，求出可求四边形面积的最小值.
【详解】
连接，则，
又，故
而四边形面积为，
当且仅当时等号成立.
故选：C.
8．B
由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【详解】
由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
9．D
假设点，然后得到以OP为直径的圆的方程，与已知圆的方程作差可得直线AB的方程，然后可知直线AB过定点，最后简单判断和计算可得结果.
【详解】
设，则，
以OP为直径的圆的方程是，
与圆O的方程相减，得直线AB的方程为，即，
因为，所以，代入直线AB的方程，得，
即，当且，即，时该方程恒成立，
所以直线AB过定点N(1，1)，
点M到直线AB距离的最大值即为点M，N之间的距离，，
所以点M(3，2)到直线AB距离的最大值为.
故选:D
关键点点睛：解决本题的关键在于得到直线AB的方程以及观察得到该直线过定点.
10．A
首先根据已知条件分别求出两圆的圆心和半径，然后利用圆心距和两圆半径的和差进行比较即可求解.
【详解】
由题意可知，圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
故两圆的圆心距为，
从而，
故圆与圆的位置关系是相交.
故选：A.
11．C
求得两个圆的圆心和半径，求得圆心距，由此确定正确选项.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
可化为，
圆的圆心为，半径为，
圆心距,
，
所以两个圆的位置关系是相交.
故选：C
12．A
根据题意，结合直线被圆所截的弦长，求出和的关系，再根据均值不等式，即可求解.
【详解】
由题意得圆的标准方程为，且圆心为，半径为.
∵直线被圆截得的弦长为4，∴圆心在直线上，∴，即.
又，，∴，
当且仅当，即，时等号成立，∴的最小值是9.
故选：A.
13．B
由题意画图，数形结合可知，当圆心在C处时，点到直线的距离最大，进而可求结果.
【详解】
如图：圆心为，经过原点，可得
则圆心在单位圆上，原点到直线的距离为
延长BO交于点C，以C为圆心，OC为半径作圆C，BC延长线交圆C于点D，
当圆心在C处时，点到直线的距离最大为
此时，圆上点D到直线的距离最大为
故选：B
关键的点睛：由题意画图，数形结合可得，点D到直线的距离最大是解题的关键.本题考查了作图能力，数形结合思想，运算求解能力，属于一般题目.
14．D
计算出圆心距，比较圆心距与两圆半径差的绝对值的大小关系，可得出结论.
【详解】
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
，因此，两圆内切.
故选：D.
15．B
由题意分析得知：直线经过圆心，求出b；由直线与直线垂直，求出k；
【详解】
∵直线与圆的两个交点关于直线对称，
∴直线经过圆心（-2,0）且直线与直线垂直，
∴解得：
故选：B
(1)坐标法是解析几何的基本方法；
(2)解析几何归根结底还是几何，寻找合适的几何关系可以简化运算．
16．或
根据题意，分析圆C的圆心以及半径，由直线与圆的位置关系可得点C到直线l的距离d=2，分直线l的斜率是否存在2种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案.
【详解】
解：根据题意，圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣6=0即(x﹣1)2+(y﹣1)2=8，圆心C(1，1)，半径r=2，
又由直线l与圆C交于A B两点，|AB|=4，则点C到直线l的距离，
若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x=0，点C到直线l的距离d=1，不符合题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，
则有，解可得或；
故直线l的方程为或；
故答案为：或.
本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题.
17．9
连接，要求的最小值，可以转化为求点到两个圆心的距离再减去两个圆的半径的和的最小值，从而可得答案．
【详解】
由题意点C1(-6，5)半径为2，C2(2，1)半径为1，
设点C1关于直线的对称点为C3(，)，
如图：
则，解得，即C3(-10，1)，连接C2C3，
求的最小值可以转化为P点到两个圆心的距离再减去两个圆的半径的和的最小值，
再由点C1、C3关于直线的对称，
所以，
又，故答案为9．
18．或
将圆化为，求出圆心，半径，讨论直线的斜率存在或不存在，分别利用圆心到直线的距离，利用点到直线的距离即可求解.
【详解】
圆：，即，
即圆心，半径，
当直线的斜率不存在时，直线，
此时弦心距，弦长为，满足条件；
当所求直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由弦长公式可得弦心距，
再利用点到直线的距离公式可得，解得，
故此直线方程为，
综上可得，满足条件的直线方程为或.
故答案为：或.
本题考查了直线与圆的位置关系，根据弦长求直线方程，考查了分类讨论的思想，属于基础题.
19．（1） ； （2）或； （3） .
（1）由直线l与圆O相切，得圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r=，由此能求出k．
（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），将直线l：y=kx﹣2代入x2+y2=2，得（1+k2）x2﹣4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k的取值范围．
（3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，），其方程为，C，D在圆O：x2+y2=2上，求出直线CD：（x﹣）t﹣2y﹣2=0，联立方程组能求出直线CD过定点（）．
【详解】
(1)由圆心O到直线l的距离，可得k=±1．
(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
将直线l:y=kx-2代入x2+y2=2,整理,得(1+k2)·x2-4kx+2=0,
所以,Δ=(-4k)2-8(1+k2)>0,即k2>1当∠AOB为锐角时,
则
,可得k2<>
又因为k2>1,故k的取值范围为或．
(3)设切点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
动点P的坐标为(x0,y0),则过切点C的切线方程为:x·x1+y·y1=2,所以x0·x1+y0·y1=2
同理,过切点D的切线方程为:x0·x2+y0·y2=2,
所以过C,D的直线方程为:x0·x+y0·y=2
又,将其代入上式并化简整理,
得,而x0∈R,
故且-2y-2=0,可得,y=-1,即直线CD过定点．
本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
20．（1）；（2）或．
（1）由题意设圆的方程为，再将点的坐标代入方程中可求出的值，众而可求出圆的方程；
（2）利用圆心距、弦和半径的关系求出圆心距的长，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况，利用点到直线的距离公式列方程求解即可
【详解】
（1）设圆心，半径，
则圆C的方程可设为，因为点在圆C上，
所以，解得或．
因为点在圆C外，经检验不符，舍去．
所以圆C的方程为．
（2）由（1）可知圆C的半径，，所以圆心到直线的距离．
当k不存在时，直线方程，符合题意；
当k存在时，设直线方程为，整理得
所以圆心C到直线l的距离，即，解得，
所以，所以直线l的方程为．
∴综上，直线方程为或．
21．答案见解析.
选择条件①：解方程组求得已知两直线的交点坐标，根据斜率公式求得直线的斜率，
然后利用斜截式写出直线的方程并化为一般形式；
选择条件②：先判定直线的斜率存在，射出点斜式方程，利用直线与圆相切的条件列式求得直线的斜率得到方程；
选择条件③：先判定直线不与坐标轴平行，设处直线的方程的点斜式，求得横截距，进而利用已知三角形的面积求得斜率的之，得到直线的方程.
【详解】
选择条件①：
解方程组 得
则直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
选择条件②：
设直线的方程为（显然直线的斜率存在），即.
圆的圆心为，半径为.
因为 直线与圆相切，
所以 . 解得.
所以直线的方程为，即.
选择条件③：
设直线的方程为（显然直线不与坐标轴平行），
令 得.
则 .
解得.
所以直线的方程为，即，.
本题考查直线方程的各种求法，涉及直线与圆相切的条件，注意判定直线的斜率是否存在，注意思维的严密性.
22．（1）； （2）.
（1）设，转化为直线，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求解；
（2）设，转化为，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求解.
【详解】
（1）由题意，点在圆上运动，
设，整理得，则表示点与点连线的斜率，
当该直线与圆相切时，取得最大值和最小值，
又由，解得，所以
所以的最大值为.
（2）设，整理得，
则表示直线在轴上的截距，
当该直线与圆相切时，取得最大值和最小值，
由，解得，所以
所以的最小值为.
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