3.2双曲线 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 3.2双曲线 同步练习
一、单选题
1．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
3．已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．
4．已知双曲线的右焦点为F,双曲线C的右支上有一点P满是(点O为坐标原点),那么双曲线C的离心率为( )
A． B． C． D．
5．已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知双曲线：的左 右焦点分别为，，曲线上一点到轴的距离为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线（，）的右焦点为F，过F作渐近线的垂线，垂足为A，且与双曲线C相交于点B，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
8．已知方程的图像是双曲线，那么的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
9．双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，是双曲线的左右顶点，为该双曲线上任一点（与，不重合），已知与斜率之积为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．双曲线的左焦点与右顶点之间的距离等于
A．6 B．8 C．9 D．10
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝________.
14．双曲线的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则的面积为__________．
15．已知双曲线上的点P到点的距离为9，则点P到点的距离为______．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为e，若双曲线上点P，使，则的值为_______．
17．已知点为双曲线的右焦点，两点在双曲线上，且关于原点对称，若，设，且，则该双曲线的焦距的取值范围是________.
三、解答题
18．已知椭圆，其短轴长为，离心率为，双曲线的渐近线为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右焦点为，动直线（不垂直于坐标轴）交椭圆于、不同两点，设直线和的斜率为、，若，试判断该动直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
19．已知双曲线：与点．
（1）是否存在过点的弦，使得的中点为；
（2）如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，证明：、、、四点共圆．
20．已知双曲线，过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？
21．已知双曲线的离心率为，点为上位于第二象限的动点，
（1）若点的坐标为(-2，3，求双曲线的方程；
（2）设分别为双曲线的右顶点 左焦点，是否存在常数，使得如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】
，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.
本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
2．D
写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率
【详解】
双曲线的渐近线为，易知与直线平行，
所以.
故选：D.
3．D
根据三角形周长和双曲线的定义，可得到周长与实半轴和的关系，进而求出的值．
【详解】
：由题意三角形的周长为，
由双曲线的定义，可知，
所以，
由题意，可知，，，
所以，解得．
故选：．
4．D
分析焦点三角形即可
【详解】
如图,设左焦点为,因为,所以
不妨设,则
离心率
故选:D
5．C
求出直线的方程，并设出双曲线的方程，再联立并借助中点坐标即可计算作答.
【详解】
直线的方程为：，即，
设双曲线的方程为：，由消去y并整理得：，
，因弦的中点为，
于是得，即，而，解得，满足，
所以双曲线的方程为，即.
故选：C
6．D
根据给定条件结合双曲线定义求出，再借助余弦定理即可计算作答.
【详解】
作轴于M，如图，依题意，，令，
则，由双曲线定义知，而，
在中，由余弦定理得：，即，
又离心率，于是有，又e>0，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：D
7．A
根据题意可设出垂线的方程，联立解得A点坐标，根据可知点B为FA的中点，由此得其坐标，代入双曲线方程求得离心率.
【详解】
由题意可知右焦点为F(c,0)，
过F作渐近线的垂线，垂足为A，
故可设 方程为 ，联立，
可得 ，
由可知，点B为FA的中点，故 ，
将代入中，可得 ，
即 ，
故选：A.
8．C
根据双曲线标准方程的形式确定，求得的取值范围
【详解】
因为方程的图像是双曲线，
所以，解得：或，
故选：C
9．D
根据已知条件可得，利用勾股定理求出，再利用双曲线的定义可得出关于、的齐次等式，由此可求得双曲线的离心率.
【详解】
因为轴，则，故，
由勾股定理可得，
由双曲线的定义可得，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：D.
10．D
先求出，，与斜率之积为，代入后得，又为该双曲线上任一点，代入后得到，关系.即可得到双曲线的渐近线方程.
【详解】
解： ，是双曲线的左右顶点
，
设，又与斜率之积为
又为该双曲线上任一点（与，不重合）
故可知，可知
所以双曲线的渐近线为，即.
故选：D
11．B
直接由双曲线方程求解左焦点和右顶点坐标，进而可得解.
【详解】
由已知得左焦点的坐标为，右顶点的坐标为，
所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
故选：B.
本题主要考查了由双曲线的方程求解焦点及顶点坐标，属于基础题.
12．B
设，，的方程为：，与双曲线的方程联立可得点的坐标，设，，直线的倾斜角为， 则，运用三角形面积相等，双曲线的定义，可得关于、的方程，由即可得离心率.
【详解】
设双曲线的左焦点、右焦点，
设双曲线的一条渐近线方程为：，
可得直线的方程为：，
由可得： ，即，
设，，
可得，
即，整理可得：，
即，
由双曲线的定义可得：，
所以，
设直线的倾斜角为，在中，，
，，所以，
所以，
所以，整理可得：，
解得：或（舍），
所以双曲线的离心率为，
故选：B.
13．1
法一根据椭圆的定义及c2＝a2＋b2列出方程求解即可；
法二是根据焦点三角形的面积公式列出方程求解即可；
【详解】
法一:　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P为双曲线右支上一点，
则
从而c2＝a2＋4，
又，
从而a＝1.
法二:　由题意得，，得b2＝4，
又且c2＝a2＋b2，
所以a＝1.
故答案为：1.
双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系．
14．
由平行线的性质求出斜率，由点斜式求出直线方程，然后求出交点坐标，由三角形面积公式可得结果.
【详解】
双曲线的右顶点，右焦点，
，所以渐近线方程为，
不妨设直线FB的方程为，
将代入双曲线方程整理，得，
解得，，
所以，
所以
故答案为：.
15．17
根据双曲线的定义计算，注意点的位置．
【详解】
易知点是双曲线的右焦点，是双曲线的左焦点，又，
而点P到点的距离为9，，因此在右支上．
因此点P到点的距离为．
故答案为：17．
16．2
由双曲线方程可求得，再由结合正弦定理得，而，所以可求得，再利用余弦定理求出，从而可得的值
【详解】
由双曲线方程得，由双曲线的定义得，
因为，所以由正弦定理得，可解得，
又，根据余弦定理可得，
所以．
故答案为：2
此题考查双曲线的定义和性质的应用，考查正余弦定理的应用，考查转化能力，属于中档题
17．
设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，故，由双曲线定义可得，再求的值域即可.
【详解】
如图，
设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，
故.
在中，
由双曲线的定义可得
，
.
故答案为：
本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.
18．（1）；（2）直线过定点．
（1）求出椭圆的离心率，可求得的值，由此可得出椭圆的方程；
（2）分析可知直线过定点且在轴上，设直线的方程，设点、，将直线与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由结合韦达定理求出的值，即可得出直线所过定点的坐标.
【详解】
（1）由题意可知，双曲线的离心率为，则，则，
椭圆的短轴长为，则，
由题意可得，解得，
因此，椭圆的方程为；
（2）根据椭圆对称性，直线过定点且在轴上，设直线的方程，
联立，消去整理得，
设、，则，，
即，
所以，，即直线过定点.
方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
19．（1）存在；（2）证明见解析.
（1）利用点差法求解；（2）利用点差法和弦长公式求出相关线段的长度，再利用距离公式证明线段相等，可求证得四点共圆.
【详解】
解：（1）双曲线的标准方程为，，．
设存在过点的弦，使得的中点为，
设，，，
两式相减得，即得：，．
存在这样的弦．这时直线的方程为．
（2）设直线方程为，则点在直线上．
则，直线的方程为，
设，，的中点为，，
两式相减得，则，则
又因为在直线上有，解得，
，解得，，
，整理得，则
则
由距离公式得
所以、、、四点共圆．
20．不能，证明见解析.
当直线l垂直x轴时，可得直线l方程，经检验不符合题意；当直线l不垂直x轴时，设，利用点差法，假设点为线段AB的中点，可得直线l的斜率，进而可得直线l的方程，与双曲线联立，判别式，方程无解，l不存在，综合即可得答案.
【详解】
当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为x=1，
又双曲线，右顶点为（1,0）在直线l上
所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意；
当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且，
因为A、B在双曲线上，
所以，两式相减可得，
所以，
若点为线段AB的中点，
则，即，代入上式，
所以，则直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即，
将直线l与双曲线联立，可得，
，故方程无解
所以不存在这样的直线l，
综上，点P不能是线段AB的中点.
21．（1）；（2）存在，.
（1）依题意可得，即可得到方程为，再代入点，即可求出双曲线方程；
（2）由（1）知：双曲线方程，即可表示出，当直线的斜率不存在时求出的值，当直线的斜率存在时，设表示出，再利用二倍角公式计算可得；
【详解】
解：（1）离心率，
又双曲线方程，
把点代入双曲线方程得解得，
故双曲线的方程为
（2）由（1）知：双曲线方程
①当直线的斜率不存在时，则，
此时
②当直线的斜率存在时，设其中
因为故故渐近线方程为，
所以
又，
所以
又
综上：存在常数满足
本题考查待定系数法求双曲线方程，解答第二问的关键是由特殊位置首先求出参数的值，再证明一般情况下也满足；
答案第1页，共2页
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